基于線性矩陣不等式的一類廣義系統觀測器設計

孫延修，潘 斌

(1.沈陽工學院基礎課部，遼寧 撫順 113122；2.遼寧石油化工大學理學院，遼寧 撫順 113001)

0 引言

觀測器的設計是控制理論的核心問題，在控制理論中具有廣泛的應用。如系統的鎮定、故障檢測、最優控制等，均需要引入狀態反饋得以實現。而許多控制問題由于系統狀態不易測量或無法獲取系統狀態，需要重構系統的狀態，即設計觀測器。線性系統狀態觀測器的設計問題已經得到了很好的解決[1]。非線性系統觀測器設計方法主要有：擴展的卡爾曼濾波器、擴展的Luenberger觀測器[2-7]、魯棒觀測器[8]、自適應觀測器、比例積分觀測器[9]等。在觀測器的設計方法中，擴展的Luenberger 觀測器可以對非線性項滿足Lipschitz 條件的非線性系統進行設計。文獻[10]針對一般形式的非線性系統，基于Lyapunov穩定意義下觀測器存在性的概念，討論了降維觀測器的存在性并設計了系統降維觀測器。文獻[11]針對滿足Lipschitz條件的非線性系統的全維、降維觀測器進行了設計，并以定理形式給出了觀測器存在的充分條件。文獻[12]針對存在未知干擾的Lipschitz非線性系統，探討了基于滑模觀測器的執行器故障檢測的方法。文獻[13]利用李雅普諾夫理論隊觀測器進行了設計，進而獲得了原系統狀態與虛擬執行器故障的漸近估計；通過線性矩陣不等式方法，實現了線性矩陣不等式的求解，完成了觀測器設計。

目前，針對非線性廣義系統的觀測器研究不足，本文針對系統中含有滿足Lipschitz非線性項的一類非線性廣義系統，提出一種全維觀測器與降維觀測器的設計方法。首先，利用 Lyapunov函數，獲得了觀測器誤差系統漸近穩定性的充分條件。其次，采用Schur補引理，給出了兩種觀測器存在的充分條件。最后，給出數值算例，通過線性矩陣不等式得到所設計的兩種觀測器的增益矩陣，驗證了觀測器設計方法的可行性。

1 問題描述

考慮如下非線性廣義系統：

(1)

式中：E∈Rn×n為奇異矩陣且滿足rank(E)=q

假設1 廣義系統(1)可觀測，且系統中的非線性項Φ(x,u)滿足Lipschitz條件，即：

式中：LΦ為大于0的Lipschitz常數。

TE+NC=In

根據引理1，系統(1)經線性變換可轉化為：

(2)

(3)

假設2 系統(1)經線性變換后得到式(3)中的非線性項Φ′(z,u)，滿足Lipschitz條件，即：

式中：LΦ′為大于0的Lipschitz常數。

2 廣義系統全維觀測器的設計

針對系統(1)的變換式(3)，可以設計如下全維觀測器：

(4)

定理1 若存在對稱正定矩陣P和增益矩陣L,滿足下列不等式(5)，則式(4)為系統(3)的全維觀測器：

(5)

選取李雅普諾夫函數V(t)=eT(t)Pe(t)，則有：

根據假設2，可得：

eT(t)(αPTP+αI)e(t)

式中：α=LΦ′‖T‖。

3 廣義系統降維觀測器的設計

假設C=(Ip0),則有y(t)=Cx(t)x1(t)。由z(t)-Ny(t)=(I-NC)x(t)可知，z1(t)=(I-NC)×x1(t)=(I-NC)y(t)。

(6)

式中：L為相應的增益矩陣。

(7)

由于Φ′[z(t),u(t)]滿足Lipschitz條件，可知：

故有：

4 數值算例

考慮廣義系統(1)的參數如下：

由系統的可觀測性,可得行滿秩矩陣[TN]中的矩陣T、N，分別為：

對系統(1)進行兩次線性變換，可以轉化為式(3)的形式。 根據文獻[11]中針對增益矩陣的求解方法，利用線性矩陣不等式，可以得出含Lipschitz非線性項廣義系統觀測器的增益矩陣。

全維觀測器的增益矩陣為：

降維觀測器的增益矩陣為：

5 結束語

觀測器可以通過重構的途徑,解決狀態不能直接測量的問題。該方法已在控制工程的許多方面得到了實際應用。針對一類非線性廣義系統，研究了系統全維及降維觀測器的設計問題。基于廣義系統的線性變換與正常系統狀態觀測器的設計方法，設計了含Lipschitz非線性項的廣義系統全維觀測器和降維觀測器。根據Schur補引理，給出定理1和定理2。最后，通過數值算例驗證了系統的兩種觀測器設計方法的可行性，同時為類似系統觀測器的設計提供了方法。