初中數(shù)學“綜合與實踐”活動研究—例談建構(gòu)主義學習環(huán)境下的初中數(shù)學建模活動

曾凡霖 吳 威

（1.福建省福州三牧中學，福建福州 350001；2.福建省福州第一中學，福建福州 350001）

引 言

《義務教育數(shù)學課程標準》中強調(diào)：在初中階段，學生將進一步參與綜合實踐活動，探討一些具有挑戰(zhàn)性的研究課題，發(fā)展應用數(shù)學知識解決問題的意識和能力，學生需要經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應用”的基本過程；體驗數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步形成對數(shù)學整體性的認識；獲得一些研究問題的方法和經(jīng)驗，發(fā)展思維能力，加深理解相關的數(shù)學知識；通過獲得成功的體驗和克服困難的經(jīng)歷，增強應用數(shù)學的信心[1]。

一、建構(gòu)主義學習環(huán)境下的學習和指導

在建構(gòu)主義學習環(huán)境中，學生需要對數(shù)學模型進行探索，清晰表述自身已具備的知識以及學到的內(nèi)容，并以此為基礎進行推測猜想，建構(gòu)和檢驗自身的理論與模型，反思建模行為的全過程，分析自己的行為，這些都是建模學習過程不可或缺的[2]。

教師在進行適時的指導過程中，需要向?qū)W生教授知識，并進行示范，幫助學生模仿、練習，讓學生能夠解釋自己所使用的策略，支持學生知識的建構(gòu)和元認知[3]。教師的示范是建構(gòu)主義學習環(huán)境中最簡單的教學策略，能夠為學生提供一種希望達到的實作案例，呈現(xiàn)出有經(jīng)驗的問題解決者是如何解決問題的，讓學生將學習注意力從關注問題的解決方法轉(zhuǎn)向關注問題的狀態(tài)結(jié)構(gòu)和相關步驟，對認知過程進行分析和理解，掌握為何要這樣做以及怎樣做。

為了學習，學生一般會嘗試先模仿教師或某些材料中的示范，慢慢由最初的粗糙模仿，到將過程清晰化并習慣該行為方式，最后成為熟練的建模者。

好的指導者能向?qū)W生提供足夠的動機驅(qū)動，會讓學生知道建模學習的重要性。當學生開始解決問題時，可能對建模任務的興趣不高，教師應不斷提高學生的自信心，為學生提供積極參與建模的動力，在問題解決的初期更應如此。當學生投入解決問題時，教師還需要向?qū)W生提供另外的、間斷性的驅(qū)動。

因此，在本文的數(shù)學建?；顒友芯恐?，學生選定了“洗發(fā)水定價問題”進行研究，教師具體的行為如下：（1）調(diào)整任務難度，通過調(diào)整腳手架，設置適合學習者完成的任務；（2）重構(gòu)任務以代替知識，即重新設計任務，當學生不能獨立完成建模任務時，幫助他們重新設計任務或幫助他們學習需要具備的技能；（3）提供新評價，當學生在建模過程中遭遇失敗時，教師通過典型案例幫助學生分析問題的本質(zhì)，使學生大致理解問題的解決方案，從而設計問題的表征和問題的分解過程。

二、“洗發(fā)水定價問題”建模及指導

（一）原始問題

我們知道，在日常生活中購買一種商品時，往往買大包裝比買小包裝的商品更劃算，這是由商品的出廠價決定的。

在商場中往往會出現(xiàn)這樣的情形：同種商品有不同大小的型號，價格也各不相同，如某品牌的牙膏有40 克、120 克、165 克三種包裝，價格也各不相同。此時，可安排學生以小組為單位嘗試研究包裝大小和價格的規(guī)律。目的是確定某種規(guī)格的產(chǎn)品的出廠價格，并幫助顧客在選擇包裝時，判斷購買商品是否劃算。

（二）實施過程

（1）學生：小組成員需要討論調(diào)查目標、調(diào)查范圍（地點）、方式、分工，充分做好市場調(diào)查，有能力的學生可以更深入地研究價格規(guī)律。

（2）教師：指導學生查閱資料，并到不同地區(qū)的市場和超市采集數(shù)據(jù)，了解不同型號的相關產(chǎn)品價格，并借助函數(shù)來研究價格和型號之間的關系；鼓勵學生分工合作完成調(diào)查和統(tǒng)計；在操作過程中，對不合理的方法和做法，要進行適當引導，讓學生發(fā)現(xiàn)問題，自主尋求解決問題的方法，也可以將其作為反思的案例；在學生完成任務后，組織各小組進行討論交流，讓學生將調(diào)查結(jié)果、分析方法、猜想規(guī)律等進行交流，分享自己的收獲。

（三）模型的建立和分析總結(jié)報告

鑒于該課題以初等函數(shù)模型為背景，與所采集的數(shù)據(jù)密切相關，適合采用 “數(shù)據(jù)擬合法”進行數(shù)據(jù)處理，結(jié)合“理論分析法”選擇適合的函數(shù)模型。

例如，“飄柔”洗發(fā)水的凈含量和價格的關系，這一模型的建立比較容易，對大眾常用的 “飄柔”洗發(fā)水進行市場調(diào)查，也能使建模結(jié)果的模擬更有應用空間。

通過調(diào)查，得到表1。

表1 飄柔洗發(fā)水價格表

模型一：一次函數(shù)模型

部分小組成員認為，商品價格與凈含量可以近似為一次函數(shù)關系，設每瓶洗發(fā)水的凈含量為x毫升，價格為y元，關系為一次函數(shù)y=kx+b(k≠ 0)。

將數(shù)據(jù)代入我們發(fā)現(xiàn)：

當 750x= 時，與實際價格差別較大。

同理，人參滋養(yǎng)功能與杏仁長效柔順功能的洗發(fā)水估計價格與實際價格相比都高出許多。

經(jīng)過分析，很容易得出：如果將一次函數(shù)作為擬合函數(shù)，其實是一種假設，價格隨著洗發(fā)水凈含量的增加而提高，即每增加毫升量的洗發(fā)水，價格增加是一定的，顯然市場的定價與這一規(guī)律不相符。

模型二：多因素線性模型

由上文分析可知，只考慮單一的因素是遠遠不夠的。除了生產(chǎn)成本外，商品的銷售價格還受到很多因素的影響，如包裝、運輸、消費者心理等。如果綜合考慮所有的因素，模型可能非常復雜，無法建立，因此，學生可以選擇對商品價格變化影響較大，且方便研究的因素進行分析。

模型假設：（1）洗發(fā)水的生產(chǎn)成本1y和包裝成本2y決定洗發(fā)水的價格y；（2）洗發(fā)水的生產(chǎn)成本與洗發(fā)水的凈含量成正比，且每瓶洗發(fā)水裝滿；（3）洗發(fā)水的包裝成本與洗發(fā)水包裝殼的表面積成正比。

模型建立：設每瓶洗發(fā)水的凈含量為x毫升，價格為y元，每毫升洗發(fā)水的成本為a元，則洗發(fā)水的生產(chǎn)成本為ax元；由于洗發(fā)水的包裝表面積與洗發(fā)水體積的次冪成正比，因此包裝成本為于是洗發(fā)水的價格為

模型檢驗：

把x= 750代入，驗證得：yA≈ 34.49，與原始調(diào)查數(shù)據(jù)比較接近。

檢驗結(jié)果分析：

（1）洗發(fā)水的實際出廠價格除了洗發(fā)水成本和包裝成本外，還有其他成本（如外包裝），另外，由于需要以營利為目的，因此模擬的價格與實際情況有一定的差距；

（2）此模型假設成本與洗發(fā)水凈含量以及與表面積成正比，都是理想中的簡化模型，當考慮因素更多或者調(diào)查數(shù)據(jù)更充分時，可以得到更準確的關系；

（3）在此模型相對合理的基礎上，我們還可以考查運輸成本以及商品的利潤等因素，進一步改進模型，讓市場價格變得更加合理；

（4）由分析結(jié)果可知，對于包裝費、運輸費等，小包裝洗發(fā)水的每毫升平均費用比大包裝洗發(fā)水更高，因此在實際生活中，應選擇大包裝洗發(fā)水更合算；

（5）在建模過程中研究的洗發(fā)水模型有著廣泛的適用性，當考慮包裝相似的產(chǎn)品，如牙膏、飲料、奶粉等都可以使用，但如果包裝不同或產(chǎn)品的具體類型不同，就不適合采用此模型估計價格。

以上案例包含多種典型初等數(shù)學模型，是初等函數(shù)模型在價格估算方面的應用案例。解決該案例的數(shù)學模型主要在中學數(shù)學系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)基礎上進行，是在初等數(shù)學的原理上建立起來的。

結(jié) 語

在本文中的初中數(shù)學建模活動案例是具有“問題引領、操作實踐”特征的建模實踐活動。在建模過程中綜合采用了多種典型的建模方法，如理論分析法、類比分析法、模擬方法、理想化方法、函數(shù)擬合法等，并在實踐研究中證明它們適合在初中數(shù)學建模活動中應用。學生在數(shù)學建模過程中，能夠基于中學數(shù)學系統(tǒng)知識，盡量使用初等數(shù)學原理、法則刻畫出數(shù)學模型，完整地解決生活中的實際問題。活動使學生做數(shù)學、學數(shù)學、應用數(shù)學方面的經(jīng)驗得到積累，對數(shù)學美、數(shù)學文化、數(shù)學價值有了新的認知，也提升了學生的應用意識和應用數(shù)學的能力。