初中數學“綜合與實踐”活動研究—例談問題解決理論下的數學建模活動

吳 威

（福建省福州第一中學，福建福州 350000）

引 言

在本文的數學建模活動研究中，問題解決模式為：指導教師引導學生從現實中提取信息，與已學的知識加以聯系，并進行信息加工，從而將現實問題轉化為數學問題，在自身能力所及的范圍內解決此問題，再爭取將數學問題的解決應用到實際生活中[1]。

一、問題解決理論下的數學建模活動

強調“問題解決”是目前構建數學課程改革的重要趨勢。目前的國際數學課程改革強調以下三點：（1）強調“解決問題和數學應用”；（2）強調“綜合活動”，我國《全日制義務教育數學課程標準》中強調，在初中學段，學生將進一步參與綜合實踐活動，探討一些具有挑戰性的研究課題，發展應用數學知識解決問題的意識和能力；（3）強調“非常規問題”。

二、“測量學校內建筑物高度”的建模過程和指導

（一）原始問題

測量建筑物高度是一個常見的數學問題。測量的方法可以以幾何為主，也可以結合三角方法和物理方法，如求線段長、相似三角形、氣壓性質、自由落體試驗、幾何光學試驗等。

測量的對象：（1）本校旗桿的高度；（2）校外高建筑物（不可及）的高度。

（二）實施過程

（1）學生。小組成員經過討論，需要確定建模過程中的小組成員分工、測量目標、測量方式和測量工具，及時記錄測量數據，做好多種方法的設計。有能力的小組可以做誤差分析。

（2）教師。指導學生查閱資料，了解相關的測量方法和技巧。鼓勵學生合作完成測量，不局限測量的方式。對學生提出的新穎的測量方式要及時加以引導和組織討論；在測量過程中，對學生不合理的方法和做法，要適當地引導他們發現問題，讓他們自己尋求解決方法，也可以將其作為反思的例子；在學生完成測量后，組織各小組進行討論交流，讓學生將測量結果、測量方式、誤差估計方式等一一做交流，讓學生談談自己的收獲。

（三）測量方法總結報告

（1）測量本校旗桿的高度。由于學校的旗桿下有階梯和底座，因此可以將這個模型看作被測建筑物底部不可到達的模型。

方法一：鑒于旗桿的前方是空曠的操場，選擇測量的位置比較自由，C組利用量角器測量，運用三角函數知識求值（見圖 1）。

①設旗桿建筑MN底部的階梯高度為m，在旗桿建筑底部N所在的水平面上，選取A，B兩個位置，使A，B，N三點共線；

②在人眼的位置，分別測量A，B兩個位置的仰角，測得仰角的度數為x，y，兩觀測點間的距離AB=a，人眼高度AA'=b；

圖1

方法二：由于在試驗中發現，利用量角器測量仰角得到的數據誤差比較大，于是D組同學將C組的方法做了改進，不測量角度，轉而利用三角函數定義，測量三角形兩邊之比（見圖 2）。

①設旗桿建筑MN底部的階梯高度為m，在旗桿建筑底部N所在的水平面上，選取A，B兩個位置，使A，B，N三點共線，人眼的位置為A'和B'；

②分別在C，D位置豎一根桿子，使人的視線經過桿的頂端時，剛好能看見旗桿的頂端M，測量BD，AC間的距離a和b，A，B兩個位置間的距離c，桿子的長度DD'為h，在D位置到旗桿的距離DN為d，設MB高度為x，人的高度為n；

圖2

如果有平面鏡等工具，也可以利用平面鏡放射等光學原理來設計試驗。

2.在校內測量校外高建筑物的高度

由于校外的樓比較龐大，學生在校內測量，樓底被遮擋，測量遇到一定困難。

方法一：由于在校內有教學樓（其他建筑物）可以利用，教師指導C組學生采取與上文測量旗桿相類似的方法，在豎直方向選擇兩個測量點進行操作（見圖3）。

①在教學樓底部A的豎直方向上，再找一個測量點C（在教學樓的一層）；

②分別測量A'和C兩個位置的仰角，測得仰角的度數為x和y，測得人眼高度AA'=b，教學樓一層的高度為a；

圖3

與此方法同理，學生也可以借助之前試驗中求得的教學樓高為數據進行計算。

方法二：考慮到高建筑物在學校外，無法看到其底部，因此無法準確判斷點是否與建筑物底部質點共線，容易產生誤差。D小組的學生沒有采用測量旗桿的方法，而是結合平面幾何的知識，即三角形中線定理給出了一個更具普遍性和應用性的方法（見圖4）。

①由于被測的高樓比較龐大，樓底被遮擋難以確定位置。因此，在被測對象前方，也就是學校內，與被測高樓同一水平面上任取共線的三點A'，E'，D'，使E'為A'D'的中點；

②測得AE=ED=a，學生分別站在A'，E'，D'處測量仰角，測得 ∠BAC=x,∠BEC=y,∠BDC=z，人眼高度為m，

設AB=b,BE=c,BD=d，BC=x；

③根據中線定理，可得b2+d2= 2a2+ 2c2，

由三角函數知識可以得知：b· ta nx=c· ta ny=d· ta nz=x， 由 此可得則被測高樓的高度為

圖4

三、模型結果和評估

（一）測量本校旗桿的高度

在實際模擬中，測得a=5m，b==1.5m， 44x= °， 65y°= ，m=0.6m，代入得

由于大多數學校的旗桿高度為10米到12米，因此借助測角儀測得的數據，用于模擬計算旗桿高度較為準確。

但這種設計方式，對于較遠的建筑而言，由于底部看不清位置，無法準確選定三點共線的位置，估算的數值容易有較大誤差。

（二）在校內測量校外高建筑物的高度

由于校外的樓比較龐大，學生在校內測量，樓底被遮擋，無法看到其底部，因此無法準確判斷點是否與建筑物底部質點共線，容易產生誤差， 操作時采取方法二，即被測高樓的高度為測 得x= 7 0°，y= 6 5°z=62°，m=1.5m，a=10m， 代 入 得

結 語

在建模過程完成后，學生需要回顧自己已經解決的模型，正視自己正在解決的模型，展望自己能夠解決的模型。在將自己的新想法付諸實踐時，需要不斷地學習、改進，使這些觀念適合現實的問題情境。由此可見，通過數學建模活動，能夠有效培養學生的問題意識、知識應用意識和創新意識，在活動中使學生積累經驗，提高學生解決現實問題的能力。