不確定中立型變時滯系統基于狀態觀測器的滑?？刂?

高存臣， 袁雪嬌， 張彩虹

(1.中國海洋大學數學科學學院， 山東 青島 266100； 2.青島大學自動化與電氣工程學院， 山東 青島 266071)

滑模變結構控制(VSC)方法作為控制理論的一種重要設計方法，應用廣泛，例如在制造系統、生物系統、動力系統、車輛飛行器控制等領域均有所涉及?；SC的特性是通過控制量的轉換，使被控狀態能夠沿滑模切換面滑動，并且具有不變性。因此，研究滑模變控制系統具有重要的理論與實際意義。我國學者已經對時滯型、變時滯型、不確定時滯型等系統的VSC問題做了大量研究[1-7]。通過利用Lyapunov泛函法以及線性矩陣不等式(LMI)等技術，得到了時滯系統的穩定條件[8-10]。注意到時滯型、超前型、中立型等泛函微分方程的區別，中立型系統對時間滯后特別敏感，很容易造成系統的不穩定的結果。研究中立型問題相對其他系統復雜一些，因此將滑模變結構思想與系統穩定性聯系在一起，將得到更好的動態品質。目前也有一些有關滑?？刂葡碌闹辛⑿偷认到y的研究成果[11-16]。利用VSC研究基于狀態觀測器下的不確定變時滯中立型系統，是其他文獻未涉及的。

在前人研究的基礎上，本文研究了在非線性擾動下時變時滯不確定中立系統的具有輸入輸出的滑模VSC問題，通過構造觀測器，以及對誤差系統分析，利用Lyapunov泛函法以及線性矩陣不等式(LMI)等技術，得到了系統為漸近穩定的充分條件。

1 系統的描述與相關引理

考慮如下一類不確定中立型變時滯輸入輸出系統

(1)

其中，x(t)∈Rn為狀態向量，u(t)∈Rm為控制輸入，f(x(t))為非線性擾動，y(t)∈Rp為系統輸出向量，A,A1,B,C0,C,D為相應維數的常數矩陣，τ1>0為常數，φ(t)∈C1([-τ,0];Rn)為初始連續可微向量函數，ψ(t)∈C([-τ,0];Rn)為初始連續向量函數。ΔA和ΔA1為參數不確定函數矩陣，并且滿足如下條件：ΔA(t)=EF(t)H1,ΔA1(t)=EF(t)H2，其中，E,H1,H2為已知的相應維數的常數矩陣，F(t)為未知的矩陣函數且滿足:

FT(t)F(t)≤I，t∈R+。

(2)

以下是本文用到的假設和引理，保證本文結果的有效性。

假設1 (A,B)為完全可控的；(A,C)為完全可觀測的。

假設3 對任意的x1,x2,f(x)滿足Lipschitz條件

(3)

其中l>0為Lipschitz常數。

(4)

引理2[5](Jensen不等式)對于任意實矩陣M∈Rm×m，M=MT,標量γ>0，ω:[0,γ]→Rm為可積向量函數，則有如下的積分不等式成立：

(5)

引理3[10]設U,V和W(t)是具有適當維數的實矩陣，并且滿足WT(t)W(t)≤I，則對任意實數α>0，以下不等式成立：

UW(t)V+VTWT(t)UT≤αUTU+α-1VTV。

(6)

引理4[17]設X∈Rn,Y∈Rn,則對任意實數α>0，以下不等式成立：

2XTY≤αYTY+α-1XTX。

(7)

2 觀測器的設計

為了估計本文所研究的不確定變時滯系統(1)的狀態，設計如下非脆弱觀測器

(8)

其中：L∈Rn×q為觀測器的增益矩陣；ΔL(t)為已知的非線性函數矩陣且滿足

(9)

其中δ>0。

(A-LC+ΔA)e(t)-ΔLCe(t)+

(A1+ΔA1)e(t-τ(t))+

(L+ΔL(t))Dx(t-τ(t))+

(10)

第一步：構造滑模切換函數

(11)

其中

(12)

此處K為選定矩陣，BTB為非奇異矩陣。

第二步：設計系統(1)的控制輸入使得系統(8)中的估計狀態能夠趨近滑模面。設計合適的滑模控制律如下：

(13)

定理1 如果設計的控制律u(t)為(13)式，那么，系統(8)的運動軌跡會在有限時間內到達滑模面s(t)=0。

(14)

(15)

將(13)代入不等式(15)，顯然得到

(16)

由Lyapunov 漸進穩定性定理，系統(8)的解將在有限時間內到達滑模面s(t)=0，故定理1得證。

(17)

代入所設計的觀測器系統(8)中，得到在估計狀態空間中的滑模運動微分方程：

[(PL+ΔL(t))C]e(t)+[P(L+ΔL(t))D]e(t-

(18)

其中P=I-B(BTB)-1BT。因此，可以通過(18)式以及偏差系統(10)來分析我們所要研究的變時滯不確定中立系統(1)的零解穩定性等問題。

定理2 考慮誤差系統(10)和滑模動力方程(18)，切換函數(11)，以及滑?？刂坡?14)，若存在矩陣Q1>0,Q2>0,M1>0,M2>0,M3>0,M4>0,L,Kεi>0，(i=1,2,…,16)，滿足下面線性矩陣不等式

Ω=

(19)

其中，

Ω11=Q1(A-LC)+(A-LC)TQ1+2l2I+M1+M3+

Ω13=CTLTPTQ2；Ω14=-Q1LD；

(1-h)M1；

Ω23=DTLTPTQ2；Ω25=-(A1-LD)TQ1C0；

Ω26=-DTLTPTQ2C0；Ω36=-(PA-BK)TQ2C0；

[Q2(PA-BK)+(PA-BK)TQ2]+M2+M4+2l2I；

(1-h)M2；

Π1=[Q1E,Q1E,Q1,Q1,Q1,Q1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]；

Π2=[0,0,0,0,0,0,Q2P,Q2P,Q2P,Q2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]；

Π5=diag[-ε1I,-ε2I,-ε3I,-ε4I,-ε5I,-I,-ε6I,-ε7I,-ε8I,-I,-ε9I,-ε10I,-ε11I,-ε12I,-ε13I,-I,-ε14I,-ε15I,-ε16I,-I]。

則誤差系統(10)和滑模動力系統(18)的零解是漸近穩定的。

注：*代表對稱矩陣的相應元素。

證明 構造李雅普諾夫向量函數

(20)

其中，V1(t)=[e(t)-C0e(t-τ1)]TQ1[e(t)-C0e(t-τ1)]；

(21)

由(10)、(11)及(21)式，得

2eT(t)Q1[ΔAe(t)+ΔA1e(t-τ(t)]+

2eT(t)Q1(A1-LD)e(t-τ(t))-2eT(t)Q1ΔLCe(t)-

eT(t)M3e(t)-e(t-τ1)TM3e(t-τ1)+

(22)

由引理3和引理4，可得

2eT(t)Q1[ΔAe(t)+ΔA1e(t-τ(t)]≤

ε3δ2eT(t)CTCe(t)

-2eT(t)Q1ΔLDe(t-τ(t))≤

τ(t))，

τ(t))。

(23)

由假設2.3，又得

eT(t)Q1Q1e(t)+l2eT(t)e(t)，

(24)

同理可得

ε12δ2eT(t-τ(t))DTDe(t-τ(t))，

ε14δ2eT(t)CTCe(t)，

ε15δ2eT(t-τ(t))DTDe(t-τ(t))，

(25)

類似(23)容易的得到下面不等式

(26)

將 (23)、(24)、(25)、(26)式代入(22)中，得到

(27)

其中

Τ11=Q1(A-LC) + (A-LC)TQ1+

M1+M3，

Τ13=CTLTPTQ2，Τ14= -Q1LD，

(1-h)M1，

Τ23=DTLTPTQ2，Τ25=-(A1-LD)TQ1C0，

Τ36=-(PA-BK)TQ2C0，

(1-h)M2，

注[17]：使用MATLAB中的LMI工具箱求解時，為了簡化操作步驟，令Q1=Q2=I。

3 數值算例

考慮誤差系統(10)和系統(18)中的矩陣

f(x)=0.5sinx，l=0.5,

應用MATLAB中的LMI工具箱求解定理2中的LMI，得到如下結果

ε1=13.479 7,ε2=13.900 4,ε3=6.393 4,

ε4=53.676 9,ε5=55.652 9,ε6=6.353 3,

ε7=53.680 3,ε8=55.652 4,ε9=13.479 5,

ε10=13.900 3,ε11=5.906 6,ε12=53.077 3,

ε13=55.042 4,ε14=5.906 6,ε15=53.077 0,

ε16=55.042 1。

圖的軌跡

圖2 e(t)的軌跡

因此，該系統是漸近穩定的。

4 結語

本文研究了具有非線性不確定變時滯中立系統的滑模控制，設計了系統的觀測器和滑模控制律，并保證了切換面的有限時間可達性，基于線性矩陣不等式技術以及變結構控制理論，得到了誤差系統和滑模動力方程的零解漸近穩定性的充分條件，并通過算例說明了本文算法的有效性。