高考數學填空題的解題方法與技巧

■河南省淮陽中學 宋秀錦

高中數學題分客觀題與主觀題兩大類，而客觀題分為選擇題與填空題，選擇題屬于“小靈通”題，其解題過程“不講道理”，所以解答選擇題的基本策略是：充分利用題干和選項兩方面的條件所提供的信息作出判斷，先定性后定量，先特殊后推理，先間接后直接，先排除后求解。而填空題是不要求寫出計算或推理過程，只需要將結論直接寫出的“求解題”。解答此類題目的方法一般有直接法、特例法、數形結合法、構造法、排除法等。

一、直接法

方法詮釋直接從題設條件出發(fā)，運用有關概念、性質、定理、法則和公式等知識，通過嚴密的推理和準確的運算，從而得出正確的結論適應范圍涉及概念、性質的辨析或運算較簡單的題目常用直接法

例1(1)(2018年全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有____種；(用數字填寫答案)

解析：(1)按參加的女生人數可分兩類：只有1位女生參加有種；有2位女生參加有種。故共有=2×6+1×4=16(種)。

因為a＞0，所以a=4。

方法點撥：直接法解決計算型客觀題的關鍵：①根據題目的要求準確轉化為相關基本量的運算。②注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化從而得到結果。

二、特例法

方法詮釋從題干(或選項)出發(fā)，通過選取構造特殊情況代入，將問題特殊化，再進行判斷。特殊化法是“小題小做”的重要策略，要注意在怎樣的情況下才可使用，特殊情況可能是：特殊值、特殊點、特殊位置、特殊數列等適用范圍適用于題目中含有字母或具有一般性結論的題目

例2已知雙曲線=1(a＞0，b＞0)。若矩形ABCD 的四個頂點在E上，AB，CD 的中點為E 的兩個焦 點，且2|AB|=3|BC|，則E 的離心率是____。

解析：不妨設|AB|=3，則|BC|=2。已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，則AB的中點為F1，故。根據雙曲線的定義知2a=1，又2c=2，所以該。

方法點撥：特例法解填空題需注意兩點：①取的特例盡可能簡單，有利于計算和推理；②若在不同的特殊情況下有兩個或兩個以上的結論相符，則應選另一特例情況再檢驗，或改用其他方法求解。雙曲線的離心率為

三、圖解法(數形結合法)

方法詮釋根據題設條件作出所研究問題的曲線或有關圖形，利用函數圖像或數學表達式的幾何意義，將數的問題(如解方程、解不等式、求最值、求取值范圍等)與某些圖形結合起來，利用直觀性，再輔以簡單計算，從而求出正確答案適用范圍適用于求解問題中含有幾何意義的題目

例3不等式·sin x＜0，x∈[-π，2π]的解集為_____。

圖1

四、構造法

方法詮釋構造型客觀題的求解，需要利用已知條件和結論的特殊性構造出新的數學模型(如構造函數、方程或圖形)，從而簡化推理與計算過程，使較復雜的數學問題得到簡捷地解決，它來源于對基礎知識和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進行提煉概括，積極聯想，橫向類比，從曾經遇到過的類似問題中尋找靈感適用范圍適用于需構造出相應的函數、幾何圖像等具體的數學模型進行求解的題目

例4已知點P 是正方體ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1內任意一點，AP 與棱AA1，AB，AD 的夾角分別為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=____。

解析：如圖2，過點P作平面PQQ'P'與平面PRR'P'，使它們分別與平面 B1C1CB 和 平 面C1D1DC 平行，則構成一個長方體 AQ'P'R'-A1QPR，故cos2α+cos2β+cos2γ=1。

圖2

方法點撥：破解此類題的關鍵：①“取特殊模型”，即構造長方體或正方體模型，把不規(guī)則的空間幾何體(空間線、面)放置其中去研究；②“用公式(定理)”，即利用柱體、錐體的表面積與體積公式(空間線、面平行與垂直的判定定理、性質定理)，即可求其表面積與體積(判斷空間線、面平行與垂直關系)。

跟蹤訓練：

1.記Sn為等差數列{an}的前n 項和，若a4+a5=24，S6=48，則{an}的公差為_____。

解析：設公差為d，則a4+a5=a1+3d+a1+4d=2a1+7d=24，S6=6a1+×d=6a1+15d=48。兩式聯立得方程組

2.在△ABC 中，內角A，B，C 所對的邊分 別 為a，b，c。已 知△ABC 的 面 積 為，b-c=2，cos A=，則a 的值為_____。

3.如 圖3 所 示，在?ABCD__中，AP ⊥BD，垂足為點P，且AP=3，則_____。

圖3

解析：把?ABCD 看成正方形，則點P

4.設數列{an}的前n 項和為Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，則a1=_____，S5=_____。

解析：因為an+1=2Sn+1，所以Sn+1-Sn=2Sn+1，所以Sn+1=3Sn+1，所以Sn+1+，所以數列是公比

又S2=4，所以S1=1，所以a1=1。

5.如圖4，已知球O 的球面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，則球O 的體積等于____。

圖4

圖5

解析：如圖5，以DA，AB，BC 為棱長構造正方體，設正方體的外接球O 的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O 的直徑，所以2R，所以，故球O 的體積