選擇題中的創新題追根溯源

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河南省淮陽中學 王艷玲

分析：先將2提出來，再由左加右減的原則進行平移即可。

解：因為y=sin

點評：本試題主要考查三角函數圖像的平移。平移都是對單個的x 來說的。

圖1

例2已知圖1所示的是函數y=Asin(ωx+φ)的圖像的一部分。為了得到這個函數的圖像，只要將y=sin x(x∈R)的圖像上所有的點( )。

分析：先根據函數的周期和振幅確定w和A 的值，再代入特殊點可確定φ 的一個值，進而得到函數的解析式，再進行平移變換即可。

解：由圖像可知函數的周期為π，振幅為1，所以函數的表達式可以是y=sin(2x+φ)，將代入可得φ 的一個值為，故圖像中函數的一個表達式是y =sin，即y=sin。

所以只需將y=sin x(x∈R)的圖像上所有的點向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變。故選A。

點評：本題主要考查三角函數的圖像與圖像變換的基礎知識，屬于基礎題。根據圖像求函數的表達式時，一般先求周期、振幅，最后求φ。三角函數圖像進行平移變換時注意提取x 的系數，進行周期變換時，需要將x的系數變為原來的。

例3將函數y=的圖像向右平移個單位長度，所得圖像對應的函數( )。

分析：直接由函數的圖像平移得到平移后的圖像所對應的函數解析式，然后利用復合函數的單調性的求法求出函數的增區間，

解：把函數y=的圖像向右平移個單位長度，得到的圖像所對應的函數解析式為y=3sin，即y=3sin。

點評：本題考查了函數圖像的平移和復合函數單調性的求法，復合函數的單調性滿足“同增異減”原則，屬于中檔題。

例4為了得到函數y=sin 3x+cos 3x 的圖像，可以將函數y=3x 的圖像( )。

分析：利用兩角和與差的三角函數，將已知函數化簡為一個角的一個三角函數的形式，然后利用平移原則判斷選項即可。

解法一：函數y=sin 3x+cos 3x=，故只需將函數y=3x的圖像向右平移個單位，得到y =的圖像。

解法二：函數y=sin 3x+cos 3x=，故只需將函數y=3x的圖像向右平移個單位，得 到 y = sin=的圖像。故選C。

點評：本題考查兩角和與差的三角函數及三角函數的平移變換的應用。

例5將函數f(x)=sin 2x 的圖像向右平移個單位后得到函數g(x)的圖像。若對滿足|f(x1)-g(x2)|=

2的x1，x2，有，則φ=( )。

分析：利用三角函數的最值，求出自變量x1，x2的值，然后判斷選項即可。

解法一：因為函數f(x)=sin 2x 的周期為π，將函數f (x)的圖像向右平移個單位后得到函數g(x)的圖像。由|f(x1)-g(x2)|=2可知兩個函數的最大值與最小值的差為2，有|x1-x2|min=。不妨設，即g(x)在x2=處取得最小值，即=-1，此時φ=，不合題意；設x1=，x2=，即g(x)在x2=處取得最大值，即=1，此時，滿足題意。

解法二：f(x)=sin 2x，g(x)=sin(2x-2φ)，設2x1=2kπ+，k∈Z，2x2-2φ=-+2mπ，m ∈Z，則x1-x2=-φ+(k-m)π。

由|x1-x2|min=，可得，解得。故選D。

點評：本題考查三角函數的圖像平移、函數的最值及函數的周期，考查考生的分析問題和解決問題的能力。該題是一道好題，題目新穎，有一定難度，可以用回代驗證的方法快速解答。

跟蹤練習：的圖像，只需把函數y=sin 2x 的圖像上所有的點( )。

1.為了得到函數y=sin

分析：根據函數y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規律，可得結論。

解：把函數y=sin 2x 的圖像向右平移個單位長度，可得函數y=sin2的圖像。故選D。

點評：本題主要考查函數y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規律，屬于基礎題。

分析：求得函數y 的最小正周期，即得所對的函數式為y=2sin，化簡整理即可得到所求函數的解析式。

解：函數y=2sin的周期為=π，由函數y=2sin的圖像向右平移個單位，可得圖像對應的函數的解析式為y=2sin，即y=2sin。故選D。

點評：本題主要考查三角函數的圖像平移變換，注意相位變換針對自變量x 而言，考查運算能力，屬于基礎題和易錯題。

3.已 知 函 數f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A＞0，ω＞0，）的圖像如圖2所示，為了得到函數g(x)=Acos ωx 的圖像，只需把函數y=f(x)的圖像上所有的點( )。

圖2

分析：由函數圖像的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ，從而可得f(x)的解析式，再利用函數y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規律，得出結論。

解：根據函數f(x)=Asin(ωx+φ)的圖像，可得A=1。因為，所以ω=2。

點評：本題主要考查由函數y=Asin(ωx+φ)的部分圖像求解析式，由函數的圖像的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ，從而得出結論，屬于基礎題。

4.已知曲線C1：y=sin 2x，曲線C2：y=cos x，則下列說法正確的是( )。

A.將C1上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標不變，再將所得曲線向左平移個單位，得到C2

B.將C1上所有點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標不變，再將所得曲線向左平移個單位，得到C2

C.將C1上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標不變，再將所得曲線向左平移個單位，得到C2

D.將C1上所有點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標不變，再將所得曲線向左平移個單位，得到C2

分析：利用誘導公式和函數y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規律求解。

解：對于曲線C1：y=sin 2x，曲線C2：y=cos x，將C1上所有點的橫坐標縮小到原來的2 倍，縱坐標不變，可得y=sin x 的圖像；再將所得曲線向左平移個單位，得到C2：y==cos x 的圖像。故選C。

點評：本題主要考查誘導公式的應用，以及函數y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規律，屬于基礎題。

5.已知曲線C1：y=cos x，曲線C2：y=，則下面結論正確的是( )。

A.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到C2

B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到C2

C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到C2

D.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到C2

分析：利用三角函數的伸縮變換及平移變換規律求解即可。

解：把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到函數y=cos 2x 的圖像，再把得到的曲線向左平移個單位長度，即可得到函數 y = cos的圖像，即曲線C2。故選D。

點評：本題主要考查三角函數的圖像變換，以及誘導公式的應用，考查考生的計算能力。

6.若將函數f(x)=sin 2x+cos 2x 的圖像向右平移φ 個單位，所得圖像關于y 軸對稱，則φ 的最小正值是( )。

分析：利用兩角和的正弦函數對解析式進行化簡，由所得到的圖像關于y 軸對稱，根據對稱軸方程求出φ 的最小值。

解：函數f(x)=sin 2x+cos 2x=的圖像向右平移φ 個單位，所得圖像是函數y=由圖像關于y 軸對稱，可得-2φ=kπ+，即φ=。當k=-1 時，φ 的 最小正值是。故選C。

點評：本題主要考查三角函數的圖像變換和正弦函數圖像的特點，屬于基礎題。

7.已知函數f(x)=sin(ωx+θ)，其中ω＞0，θ∈，f'(x1)=f'(x2)=0(x1 ≠x2)，|x1-x2|min將函數f(x)的圖像向左平移個單位長度得到函數g(x)的圖像，則函數g(x)的單調遞減區間是( )。

分析：利用正弦函數的周期性及圖像的對稱性求得f(x)的解析式，利用函數y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規律求得g(x)的解析式，利用余弦函數的單調性求得g(x)的單調遞減區間。

解：因為f(x)=sin(ωx+θ)，其中ω＞0，θ∈，f'(x1)=f'(x2)=0，|x2-，所以，所以ω=2，所以f(x)=sin(2x+θ)。

點評：本題主要考查正弦函數的周期性、圖像的對稱性，以及函數y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規律，余弦函數的單調性，屬于中檔題。

A.2 B.3 C.4 D.6

分析：根據平移關系求出g(x)的表達式，結合函數的單調性進行轉化即可。

解：將函數f(x)=0)的圖像向右平移個單位長度，得到函數y=g(x)=2sin=2sin ωx的圖像。

點評：本題主要考查三角函數的圖像和性質，求出函數的解析式及利用三角函數的單調性是解決本題的關鍵。