圓錐曲線的離心率

■河南省淮陽中學 劉 娜

圓錐曲線包括橢圓(圓為橢圓的特例)、雙曲線、拋物線。求離心率問題的實質就是找出a，b，c 之間的關系，再利用c2=a2-b2(橢圓)，或c2=a2+b2(雙曲線)，轉化為a，c之間的關系。

圓錐曲線的統一定義：到定點(焦點)的距離與到定直線(準線)的距離的商是常數e(離心率)的點的軌跡。當e＞1時，為雙曲線的一支；當e=1 時，為拋物線；當0＜e＜1時，為橢圓；當e=0時，為一點。

考慮“焦點—準線”觀點下的圓錐曲線定義。定義中提到的定點，稱為圓錐曲線的焦點；定直線稱為圓錐曲線的準線；固定的常數(即圓錐曲線上一點到焦點與準線的距離比值)稱為圓錐曲線的離心率；焦點到準線的距離稱為焦準距；焦點到曲線上一點的線段稱為焦半徑。過焦點、平行于準線的直線與圓錐曲線相交于兩點，此兩點間的線段稱為圓錐曲線的通徑。

一、橢圓

文字語言定義：平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個小于1的正常數e；平面內一個動點到兩個定點(焦點)的距離和等于定長2a 的點的集合(設動點為P，兩個定點為F1和F2，則PF1+PF2=2a)。定點是橢圓的焦點，定直線是橢圓的準線，常數e 是橢圓的離心率。

1.標準方程。

2.參數方程。

二、雙曲線（其中一支）

文字語言定義：平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個大于1的常數e；平面內一個動點到兩個定點(焦點)的距離差等于定長2a 的點的集合(設動點為P，兩個定點為F1和F2，則|│PF1|-|PF2│|=2a)。定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線，常數e是雙曲線的離心率。

1.標準方程。

2.參數方程。

三、拋物線

文字語言定義：平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比等于1。定點是拋物線的焦點，定直線是拋物線的準線。

1.參數方程。

2.直角坐標。

y=ax2+bx+c(開口方向為y 軸，a≠0)；x=ay2+by+c(開口方向為x 軸，a≠0)。

四、例題展示

例1如圖1，在平面直角坐標系xOy中，F 是橢圓=1(a＞b＞0)的右焦點，直線與橢圓交于B，C 兩點，且∠BFC=90°，則該橢圓的離心率是_____。

圖1

分析：設右焦點F(c，0)，將代入橢圓方程求得B，C 的坐標，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，結合離心率公式，計算即可得到所求值。此題還可以運用向量的數量積的性質，向量垂直的條件：數量積為0，結合離心率公式計算也可得到所求值。

解法一：設右焦點F(c，0)，將代入橢圓方程可得所以

由∠BFC=90°，可得kBF·kCF=-1，即

化簡得b2=3a2-4c2。

由b2=a2-c2，得3c2=2a2。

解法二：設右焦點F(c，0)，將代入橢圓方程可得所以

因為b2=a2-c2，代入得3c2=2a2。

解法三：設BC 的中點為H，連接HF，可得FH=HC=

在Rt△OHF 中，OF2+OH2=FH2，即有c2-

因為b2=a2-c2，代入得3c2=2a2。

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題。

跟蹤練習：

分析：利用雙曲線的離心率，列出方程求解m 即可。

解：由雙曲線=1(m＞0)的離心率為，解得m=2。

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，考查計算能力。

2.設F1，F2是 雙 曲 線=1(a＞0，b＞0)的兩個焦點。若在C 上存在一點P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，則C的離心率為____。

分析：根據題意可知∠F1PF2=90°，∠PF2F1=60°，|F1F2|=2c，求得|PF1|和|PF2|，進而利用雙曲線定義建立等式，求得a 和c 的關系，則可得離心率的值。

解：依題意可知∠F1PF2=90°，|F1F2|=2c，所以|PF1|=

由雙曲線定義可知|PF1|-|PF2|=2a=(-1)c，所以

點評：本題主要考查雙曲線的簡單性質，特別是雙曲線定義的運用，屬于基礎題。

分析：根據條件分別求出A，B，D 的坐標，利用AD⊥F1B 建立方程關系，解方程即可得到結論。

解：如圖2，連接AF1，因為OD∥AB，O為F1F2的中點，所以D 為BF1的中點。

又AD⊥BF1，所以|AF1|=|AB|。

所以|AF1|=2|AF2|。

設|AF2|=n，則|AF1|=2n，|F1F2|=，所以

圖2

點評：本題主要考查橢圓離心率的求解，根據條件求出對應點的坐標，利用直線垂直時斜率之間的關系是解決本題的關鍵，運算量較大。為了方便，可以先確定一個參數的值。

分析：根據“d2=d1”，結合橢圓的半焦距，短半軸，長半軸構成直角三角形，再由等面積法可得，從而得到a 與b 的關系，可求得，從而求出離心率。

解：如圖3，準線

圖3

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質，即通過半焦距，短半軸，長半軸構成的直角三角形來考查其離心率，還涉及了等面積法。

分析：利用點差法，結合M 是線段AB 的中點，斜率為-，即可求出橢圓C 的離心率。

解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)。

點評：本題主要考查橢圓的離心率，考查同學們的計算能力，正確運用點差法是關鍵。

分析：設橢圓的右焦點為F'，連接AF'，BF'，可得四邊形AFBF'為平行四邊形，得|AF|=|BF'|=6。在△ABF 中，利用余弦定理算出|BF|=8，從而|AF|2+|BF|2=|AB|2，所以∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5。根據橢圓的定義得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后結合橢圓的離心率公式計算即可。

解：設橢圓的右焦點為F'，連接AF'，BF'，如圖4。因為AB 與FF'互相平分，所以四邊形AFBF'為平行四邊形，得|AF|=|BF'|=6。

圖4

在△ABF 中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|×|BF|·cos∠ABF，即62=102+|BF|2-2×10×|BF|×，解得|BF|=8。

所以2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7。

在△ABF 中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2，所 以∠AFB =90°，可 得|OF|=|AB|=5，即c=5。

點評：本題給出經過橢圓中心的弦AB與左焦點構成三邊分別為6，8，10的直角三角形，求橢圓的離心率。著重考查了橢圓的定義與標準方程、橢圓的簡單幾何性質等知識，屬于中檔題。

分析：由直線y=(x+c)可知斜率為，可得直線的傾斜角α=60°。又直線與橢圓Γ 的一個交點 M 滿足∠MF1F2=2∠MF2F1，可 得 ∠MF2F1= 30°，進 而∠F1MF2=90°。設|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、橢圓的定義及其邊角關系可列方程組解 出a，c 即 可。

圖5

解：如圖5 所示，由直線y=(x+c)可知傾斜角α 與斜率有關系tan α=，所以α=60°。

設|MF2| = m，|MF1| =n，則解得

點評：本題綜合考查直線的斜率與傾斜角的關系、勾股定理、含30°角的直角三角形的邊角關系、橢圓的定義及離心率等基礎知識，考查同學們的推理能力、計算能力及數形結合能力。