一道平面幾何試題的探究歷程

☉安徽省滁州市第二中學 張廣慶

每一道試題都是有源頭的，我們在解題時只要能突破“背景”，構造出合適的基本圖形和數量關系，問題就易于解決了.下面以一道模考試題為例，談談我的一些粗淺見解，與廣大同行共勉.

一、原題呈現

已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3.

（1）如圖1，P為AB邊上一點，以PD、PC為邊作平行四邊形PCQD，請問：對角線PQ、DC的長能否相等？為什么？

圖1

圖2

（2）如圖1，若P為AB邊上任意一點，以PD、PC為邊作平行四邊形PCQD，請問：對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由.

（3）如圖2，若P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DE=PD，再以PE、PC為邊作平行四邊形PCQE，請探究對角線PQ的長是否存在最小值.如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由.

（4）如圖3，若P為DC邊上任意一點，延長PA到E，使AE=nPA（n為常數），以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請探究對角線PQ的長是否存在最小值.如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由.

圖3

二、解法探究

在解決問題時，首先應弄清問題的背景，獲取相關信息；然后基于背景的相關知識展開聯想，對信息進行處理、加工，抽象出相關的基本圖形和對應的數量關系，從而獲得解決問題的路徑.

對于問題（1），結合圖形和條件，發現直接說明對角線PQ、DC的長能否相等，感到無從下手，我們不妨從結論出發：假設對角線PQ、DC的長相等，則平行四邊形PCQD就會成為矩形，從而得到∠DPC=90°.（即當∠DPC=90°時，PQ=DC）現在的問題就是：∠DPC能否等于90°？若∠DPC=90°，一個基本圖形——凹槽型（如圖4）浮現出來了.（圖中的兩個直角三角形相似）

設PB=x，則AP=2-x.

圖4

則x2-2x+3=0.而b2-4ac=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以此方程無實數解.

所以假設不成立，即對角線PQ、DC的長不可能相等.

點評：由凹槽型相似，能得到對應邊成比例，對應角相等.特別地，當有一組對應邊相等時，兩個三角形全等.此類圖形對于解決一些涉及邊的數量關系的復雜圖形的題目時有著“柳暗花明又一村”的功效.

對于問題（2），設PQ與CD相交于點O.由平行四邊形PCQD，可得PQ與CD互相平分于點O，即PQ=2OP（O為定點）.要求PQ的最小值，可轉化為求OP的最小值.其實際背景就是：定點O與定線段AB上任意一點連接的線段中，哪一條線段最短？這樣易聯想到一個數量關系“垂線段最短”.

圖5

如圖5，根據垂線段最短，過CD的中點O作OP⊥AB，垂足為P，延長PO至點Q，使OQ=OP，連接PC、CQ、QD、DP，則四邊形PCQD為平行四邊形，PQ為所求.

因為AB⊥BC，OP⊥AB，所以PO∥BC.而點O為CD的中點，由平行線分線段成比例定理，得點P為AB的中點，從而OP為梯形ABCD的中位線，則又AD=1，BC=3，所以OP=2，從而得到PQ的最小值為4.

對于問題（3），給出以下兩種解法：

解法1：由DE=PD，易聯想到三角形的中位線的基本圖形，過點E作AD的平行線交BA的延長線于點M.由于定值），易聯想到在BC的延長線上補上一段與ME等長的線段CN，這樣可把平行四邊形PEQC放到以BM、BN為鄰邊的矩形BNHM中，說明點Q始終在線段HN上運動，聯想到一個數量關系“兩平行線間的距離最短”（如圖6）.

圖6

圖7

則NC=2AD=2.

所以BN=BC+CN=5.

當PQ⊥AB時，PQ最短.此時有矩形PQNB.則PQ=BN=5.

換一個角度，這道題也可以利用二次函數求最值來解決.

解法2：觀察圖形發現，隨著AP長的變化，PQ的長也在變化，它們之間有沒有聯系呢？又如何將這些分散的線段集中起來呢？便想到構造一個以PQ為斜邊的直角三角形，利用勾股定理表示出PQ，從而利用函數模型求PQ的最值.

如圖7，作QN⊥AB于點N，作QM⊥BC，交BC的延長線于點M.則有矩形BNQM.設AP=x，則BP=2-x，其中x的取值范圍是0≤x≤2.

對于問題（4），有了解決問題（3）的經驗，可以模仿求解，但值得一提的是，PQ不可能與CD垂直，所以采用函數模型求解比較好.（應注意變量PM的取值范圍為0≤x≤2）

如圖8，設PM=x，則NH=MC=x，AO=2-x，PO=BM=3-x.

由△APO △QBH，可 得 QH=（n+1）（2-x），BH=（n+1）（3-x）.

圖8

因為a=2（n+2）2＞0，所以當時，PQ2隨x的增大而減小.

點評：求線段最值的常用方法：（1）利用性質求最值，如“兩點之間線段最短”“垂線段最短”“兩平行線間的距離最短”；（2）利用函數模型求最值；（3）利用圖形變換求最值……這些方法可以使復雜的問題情境數學化，數學模型便躍然紙上，思路便豁然開朗.羅增儒教授在《解題信息論》一文中指出，數學解題需要：“捕捉信息——弄清題意；提取信息——從“存儲機構”中提取出本問題有關的性質、類型（基本模式）……加工信息——將相關信息結合起來，進行加工、重組與再生……”等五個過程.也就是說，拿到一道題，我們應先辨別是否屬于已經掌握的類型，如果屬于，那就提取出該類型來解答；如果不直接屬于，那就進行適當的變化……在日常教學中，我們應指導學生首先弄清問題背景，讓他們學會在紛繁復雜的背景中抽象出“模式圖形”和“數量關系”，最終實現“有效轉化”，探索出解題途徑.W