“特殊圖形法”在數學解題教學中的應用

☉甘肅省涇川縣第二中學 吳麥科

在解決數學問題時，有時為了解題的需要，可以先將問題的一般情形轉化為特殊情形，從而便于找到解決問題的一般思路，這就是特例法.在幾何中，從分析研究一些簡單的特殊圖形，或圖形上的特殊點，或圖形的特殊位置等入手，探索幾何命題解題途徑的方法稱為特殊圖形法.特殊圖形法是特例法的一種，在解題中不僅有著獨特的作用，而且對培養學生的探索能力，激發學生的創新思維也至關重要.下面用例子說明應用特殊圖形法探索解題途徑的幾種策略.

一、一般圖形特殊化

例1 如圖1所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點，EF⊥AD于點F，AD=4，EF=5，則梯形ABCD的面積是（ ）

A.40 B.30 C.20 D.10

圖1

圖2

本題若按常規解法，可延長DE交AB的延長線于點M，并連接AE（如圖2），將梯形ABCD的面積轉化為△AMD的面積，而△AMD的面積等于△AED面積的2倍，且△AED的面積容易求出，從而順利求出梯形ABCD的面積.

當然也可過點E作MN∥AD，交DC的延長線于點M，交AB于點N（如圖3），將梯形ABCD的面積轉化為平行四邊形ANMD的面積，而平行四邊形ANMD的面積容易求出（一邊AD及該邊上的高EF已知），從而順利求出梯形ABCD的面積.

圖3

圖4

注意到“EF⊥AD，E是BC的中點”這個條件，因此可取梯形ABCD為直角梯形的情形（如圖4），此時EF是梯形ABCD的中位線，AD是梯形ABCD的高，根據“梯形的面積等于中位線與高的乘積”可以快速求出梯形ABCD的面積是20.顯然這樣方便快捷.

答案為C.

二、點的位置特殊化

例2如圖5所示，正方形ABCD的邊長為2，在其中一條對角線BD上取一點E（不與點B和點D重合），使BE=2.連接CE，再在CE上取一點O（不與點C和點E重合），過點O分別作BC、BD的垂線段OM、ON，則OM+ON=（ ）.

圖5

圖6

本題若按常規方法，需要證明OM+ON等于等腰三角形BEC一腰上的高，這可運用面積法.如圖6，接接BO，過點C作CP⊥BD于點P，則則又BC=BE=2，則OM+ON=CP.這樣求解比較麻煩.

不妨取點O與點C重合時的情況進行分析.如圖7所示，過點O作OQ⊥BD，垂足為Q，則OM+ON=OQ，使用三角形面積公式可求得顯然這樣簡化了推算過程.

答案為A.

三、圖形位置特殊化

例3 如圖8所示為三個邊長為2的正方形，其中O1既是第一個正方形的中心，又是第二個正方形的一個頂點，O2既是第二個正方形的中心，又是第三個正方形的一個頂點.那么陰影部分的面積是______.

圖7

圖8

解答本題首先要弄清兩個正方形重疊部分的面積與其中一個正方形面積的關系.若按常規方法，需要作輔助線證明兩個三角形全等.如圖9，表示其中相鄰的兩個正方形ABCD和A1B1C1D1.連接A1B、A1C（如圖10），然后證明△EA1B △FA1C.或者過點A1分別作AB、BC的垂線段A1E、A1F（如圖11），然后證明△EA1M △FA1N.這兩種方法都可以得出重疊部分的面積等于其中一個正方形面積的不過比較麻煩.

圖9

圖10

圖11

圖12

若將其中一個正方形旋轉至如圖12的位置，此時從圖形可以直觀得到結論.這樣不難求出陰影部分的面積大大提高了解題效率.

例4如圖13，等邊△DEF的頂點E在等邊△ABC的內部，且邊EF與BC相交于點O.如果點O恰為BC和EF的中點，連接AD、BE，則AD∶BE的值為（ ）.

本題若按常規方法，需要連接DO、AO，如圖14所示，通過證明△AOD △BOE求解，難度較大.

若取BC⊥EF，由△DEF為等邊三角形，O為EF的中點，得DO⊥EF.則點D必然在BC上.再取點D與C重合，如圖15.在Rt△BOE中設OE=1，則則.則AD∶

圖13

圖14

答案為A.

本題先取BC⊥EF，這是圖形位置特殊化，而取點D與C重合，屬于點的位置特殊化.因此本例兼有圖形位置特殊化和點的位置特殊化.

圖15

不難看出，以上所舉例子全部是選擇題或填空題，因為選擇題或填空題不需要解答過程，只注重問題結果，因此“特殊圖形法”一般來說是對選擇題或填空題而言適合采取的一種解題方法.但是對于那些需要求解過程的解答題來說，解題過程不能采用“特殊圖形法”，它只能作為一種找到解決問題思路的方法，只具有借鑒作用.W