淺談由動點產生的等腰三角形存在性問題的轉化策略

☉上海市嶺南中學 劉華為

眾所周知，構圖、分類和求值是處理因動點產生的等腰三角形存在性問題的三大基本步驟.其中構圖較易操作（主要以某條邊為基準，若該邊為底邊則作其垂直平分線；若該邊為腰則分別以其兩端點為圓心、長為半徑畫圓，即可得滿足條件的三個等腰三角形），分類（即以三角形的三邊兩兩相等分三種情況討論）也不棘手，但究竟如何求值不易把握，甚至常常有束手無策之感.本文不揣淺陋，就求值的轉化策略談幾點膚淺的認識，以拋磚引玉.

一、轉化策略

1.利用三邊兩兩相等分類列方程轉化

例1（2018年上海虹口一模第25題）如圖1，已知AB=，點C、E分別為射線BG上的動點（點C、E都不與點B重合），連接AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射線EA交射線CD于點F.設

（1）當x=4時，求AF的長；

（2）當點E在點C的右側時，求y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；

（3）連接BD交AE于點P，若△ADP是等腰三角形，直接寫出x的值.

圖1

圖2

思路剖析

（3）對于△APD而言，由于AD=4，因此若能把AP和DP用含x的代數式表示，然后依據PA=PD、AP=AD和DA=DP三種情況分別列方程即可求出相應的x值.注意到△APD △EPB，則即則問題轉化為EB、AE和BD的值（或用含x的代數式表示）.由∠BAC=∠DAE=∠BEA和∠ABC=∠EBA，知△BAC △BEA，依據對應邊成比例可得而要求AE和BD的值，自然想到分別過點A、D作BC的垂線AM與DN（垂足分別為M與N，如圖2），構造直角三角形求解，易得代入前一比例式可得然后列方程可解得x的值分別為和表面上看，本解法所列方程的形式與過程較復雜，但求解相當便捷，大可不必畏“繁”而退.

說明：利用三邊兩兩相等處理等腰三角形存在性問題的轉化策略，其優越性在于：思維指向十分明確，解題思路較為單一.因此，若所涉三角形的三邊易求（或用相關變量表示），運用本轉化策略處理往往可化難為易.

2.利用定角的三角函數轉化

例2（2018年上海松江一模第25題）如圖3，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交邊AB于點D，P是射線CD上一點，連接AP.

（1）求線段CD的長；

圖3

（2）當點P在CD的延長線上，且∠PAB=45°時，求CP的長；

（3）記點M為邊AB的中點，連接CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的長.

思路剖析：（1）過點D作DE∥AC，交BC于點E.由以及勾股定理，得

圖4

圖5

如何求∠MCP的余弦值呢？自然想到重新構造直角三角形，即過點D作DF⊥CM，垂足為F（如圖5），則問題又轉化為求DF的長了.由△CDM的面積想到過點C作CG⊥AB，垂足為G.易求得所以進而得故CP=其實，輔助線CG一旦作出，由∠BCD=∠ACD和∠BCM=∠B=∠ACG，可直接求得cos∠MCP=所以輔助線DF也無需構造了，計算量自然大大減少.

若CP=MP（如圖6），構造直角三角形CPQ，求出CP=也就是手到擒來之舉了.

說明：當所研究的三角形中既有定角又有定邊時，可借助“等腰三角形三線合一”構造直角三角形，并通過解直角三角形求出相關量.

圖6

圖7

例3（2018年上海崇明一模第25題）如圖7，已知△ABC中D是AB邊的中點，E是AC邊上一點，連接DE，過點D作DF⊥DE交BC邊于點F，連接EF.

（1）當DE⊥AC時，求EF的長.

（2）當點E在AC邊上移動時，∠DFE的正切值是否會發生變化？如果變化，請說出變化情況；如果保持不變，請求出∠DFE的正切值.

（3）連接CD，交EF于點Q，當△CQF是等腰三角形時，請直接寫出BF的長.

思路剖析：（1）EF=5.

（3）因為BC=6，所以要求BF實際上就是求CF的長.顯然，在△CQF中，∠QCF=∠B是一定角，且正、余弦值分別是與但與例2不同的是，其三邊CQ、CF與QF均是變量，不能像例2一樣直接解直角三角形求出CF的長，需引入變量，不妨設CF=5m.

若FQ=FC=5m，過點F作FG⊥CQ，垂足為G（如圖7），則CQ=2CG=6m.下面只需構造等式，列出關于m的方程即可.注意到tan∠DEF=tan∠A，所以∠DEF=∠B=∠QCF，則△DEQ △FCQ，則由于比例式中ED、EQ、DQ均不能直接用m表示，所以需再引入新變量，注意到DE∶DF∶EF=3∶4∶5，所以可設DE=3n，EF=5n，故，解得進而得

若CQ=FQ，則過點Q作QH⊥CF，垂足為H（如圖8）.易得所以解得m=故BF=3.

當然，對于CQ=FQ時，由∠QFC=∠QCF=∠B和∠DFE=∠A，可得∠DFC=90°，進而得EF∥AB，易得BF=3.

圖8

不過前者與另兩種情形融為一體，是通性通法，而后者雖然簡捷，但技巧性強，自然應用的局限性也強.

說明：當等腰三角形中只有定角而缺少定邊時，可巧設變量先把三邊表示出來，再借助其他條件列方程（組）求解.

3.利用相似三角形華麗轉身

例4（2016年上海市徐匯區一模第25題）如圖9，四邊形ABCD中，∠C=60°，AB=AD=5，CB=CD=8，P、Q分別是邊AD、BC上的動點，AQ和BP交于點E，且∠BAD，設A、P兩點的距離為x.

（1）求∠BEQ的正切值；

圖9

（3）當△AEP是等腰三角形時，求B、Q兩點的距離.

思路剖析：（1）由∠BAD和AB=AD、CB=CD想到連接AC，得再由∠BAD想到連接BD，交AC于點O，則∠BEQ=∠ABO，得其正切值為

（2）易證△AEP △ADF和△BEF △BDP.由對應邊成比例可得

（3）對于△AEP而言，由于三個內角均非定角且三邊都不易求解，所以直接處理頗為棘手，但若借助與其相似的△ADF轉化，則可巧奪天工.

在△ADF中，若AF=AD=5，則Q、F、E均與點B重合，∠BEQ不存在，故不成立.

若AF=DF，由∠DAF=∠ADF＜∠DAO，知點F在線段OD上，此時點Q不在邊BC上，也不成立.

若FD=AD=5，則BF=3，FO=1.不妨設BQ=t，下面只需列出關于t的方程（即尋找含有t的相關線段的等式）即可.注意到∠CBD=60°，所以過點Q作QG⊥BD，垂足為G，則且代入相關量即可求得

說明：若所研究的三角形中有多個相似三角形，應選擇存在定角（定邊）或邊長易用相關變量表示的三角形，再依照前面的策略逐步轉化求解.

二、兩點思考

1.習題教學應以加強學法指導為抓手

數學教學離不開習題教學，但究竟如何開展習題教學常常是仁者見仁智者見智，很難有統一標準.不過筆者覺得習題教學至少要以學法指導為抓手，從知識轉化角度切入，剖析解題思路的生成過程，充分挖掘解題策略形成的必然性與操作性，從而引導學生學會“怎樣想”，提升他們分析問題和解決問題的轉化能力.如“腰相等”“底角相等”“三線合一”是等腰三角形的三個重要性質，當然也是處理由動點產生的等腰三角形存在性問題的三大切入點.本文的四道例題均是先由這三個性質切入（其中例1由“邊相等”直接切入；例2則是由“邊相等”和“三線合一”共同打開解題思路；例3更是把三者進行了有機融合后打通思維通道；例4是從“邊相等”和“角相等”入手使問題迎刃而解），一舉找到解題思路的突破口，再逐步完善轉化過程，值得細細品味.

2.解題教學應以追求以題會類為境界

習題永遠做不完，但處理同類問題的策略或方法就那么多.因此，如何精選例題，以涵蓋同類問題的常見類型與處理問題的基本策略，著重培養學生的類化能力和遷移能力，力求達到“以題會類”的習題教學最高境界，恐怕是值得每位執教者深入思考與扎實推進的課題.對于由動點產生的等腰三角形存在性問題而言，用相關變量表示出三邊（或求出具體值）再依據兩兩相等分類列方程求解是處理問題的基本策略（如例1），但當三邊不易用含變量的代數式表示時，可借助某一定角的三角函數巧妙轉化（如例2、例3）；若不僅三邊不易表示而且沒有定角，則可借助與其相似（含全等）且符合上述特征之一的三角形轉化（如例4）.經此提煉，學生面對“等腰三角形存在性問題”就有了明確的思考方向與轉化策略，處理起來自然就更加得心應手了.

當然，隨著情境的變化和綜合性的強化，處理由動點產生的等腰三角形存在性問題的轉化策略也會不盡相同.但只要我們做個有心人，深入挖掘解決問題的本質，就一定能不斷歸納出處理問題的通性通法，追求“以題會類”的習題教學最高境界，從而擺脫“題海戰術”的桎梏，真正把“減負增效”落到實處，最終提升自己造福學生.