根據目標信息，巧解數學問題

☉山東省濟南市萊蕪區雪野鎮中心中學 許迎新

圖1

在我們解決數學問題時，總要根據數學問題蘊含的解題信息才能求解.當然，很多時候數學問題蘊含的解題信息往往不止一個，甚至是多個解題信息.例如，如圖1，正方形ABCD的邊長為1，對角線AC、BD相交于點O，求OC的長.在這個問題中，就蘊含很多解題信息.如數量關系方面的信息：AB=BC=CD=AD=1，OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，對角線AC平分∠DAB和∠BCD，對角線BD平分∠ABC和∠ADC；位置方面的關系：AB∥CD，AD∥BC，對角線AC與BD互相垂直平分，△AOB、△BOC、△COD、△AOD、△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是等腰直角三角形.在眾多的解題信息中，我們可能只用到部分解題信息.而且不同的人由于使用的解法不一樣，因而用到的解題信息也不盡相同.再如化簡這個式子中包含的解題信息有無論是數與式，還是幾何圖形或函數圖像，都蘊含有解題信息.而我們把那些與解題目標最為密切的解題信息稱為目標信息.下面舉例說明在解決數學問題時如何利用目標信息使數學問題獲得巧解.

一、巧用式中的數量關系

許多代數式都蘊含很多解題信息.我們可以通過作和、差、倍、分，甚至平方和、平方差等多種手段對代數式進行處理，以便發現這些代數式中蘊含的解題信息，然后選取與解題目標關系最密切的信息，從而使問題便捷求解.

例1解方程（x-2）（x-5）=-2.

本題若按常規解法，只需把原方程化為一元二次方程的一般形式x2-7x+12=0，然后對左邊進行因式分解，得（x-3）（x-4）=0.則x-3=0或x-4=0.則原方程的解為x1=3，x2=4.仔細觀察原方程等號左邊，我們發現兩個因式x-2與x-5正好相差3，即（x-2）-（x-5）=3，而右邊的-2正好可以分成兩個相差3的數相乘，即-2=1×（-2）=2×（-1），因此必有x-2=1（或x-5=-2），或者x-2=2（或x-5=-1）.則x=3或x=4.這樣也可以求出原方程的解為x1=3，x2=4.這種解法不需要對原方程進行化簡整理，不需要進行因式分解，而只需進行因數分解，大大減少了運算量，甚至可以口算，不得不說這是一種在認識觀察方程結構的基礎上得出的巧妙解法，更是一種創新解法，確實是“化腐朽為神奇”！

二、巧對常數進行變形

我們知道，當一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判別式大于0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根.反之，若則x1、x2又可以看作一元二次方程的兩不相等實根，這實際上是對一元二次方程根的定義的逆向應用.在逆向應用一元二次方程根的定義時要注意觀察所給方程的結構特征是否具有或者可以化成和的形式.

本題若按常規方法，可以先對原方程組進行整理，即將原方程組化成整系數方程，得然后解方程組，這樣做本身無可厚非.如果仔細觀察方程組中的兩個方程，我們發現，若將36化成62，將49化成72，原方程組可以化成的形式，這樣兩個方程都具有的結構，逆用一元二次方程根的定義可知和是一元二次方程xp2-yp+1=0的兩根.由一元二次方程根與系數的關系定理，得則這樣我們把一個看似與一元二次方程無關的方程組問題，通過對方程組中的方程變形，巧妙地利用一元二次方程的知識求解，得到了本題的創新解法，極大地開闊了學生的視野，開拓了學生的思維能力.

三、巧用已知條件和待求結論之間的倍分關系

在列方程解決實際問題時，一般情況下，我們都是根據能夠表示全部數量關系的相等關系列方程求解.但在某些情況下，如果直接根據相等關系列方程，思路雖然簡單，方程也容易列出，但由于所列方程比較繁雜，無疑增加了求解困難和運算量，此時我們可以對相等關系進行變通，或者另外尋求突破口，使問題的求解變得相對簡單.

例3如圖2，在矩形ABCD中，AB=20厘米，BC=16厘米，動點M從點A出發沿AB以4厘米/秒的速度向終點B運動，同時動點N從點B出發沿BC以2厘米/秒的速度向終點C運動，它們到達終點后停止運動.幾秒后，點M、D之間的距離是點M、N之間的距離的2倍？

圖2

假設t秒后，點M、D之間的距離是點M、N之間的距離的2倍.此時AM=4t，BM=20-4t，BN=2t.在Rt△ADM中，由勾股定理，得在Rt△BMN中，由勾股定理，得根據“點M、D之間的距離是點M、N之間的距離的2倍”列方程得這是一個無理方程，求解比較困難.注意到點M的運動速度是點N的運動速度的2倍，因此AM=2BN，而點M、D之間的距離是點M、N之間的距離的2倍意即DM=2MN.則而且△ADM和△BMN都是直角三角形，根據“斜邊、直角邊”可知△ADM △BMN.則.即，即解得t=3.不難看出，由于我們對“點M、D之間的距離是點M、N之間的距離的2倍”這個可以列方程的等量關系進行轉換，轉化成“△ADM △BMN”，所列方程簡單多了.

以上我們談了如何根據目標信息解決一些數學問題.這樣的例子還有很多，如已知方程組的值。常規方法是先求出方程組的解然后再計算x+y的值。事實上，由于我們要求的是x+y的值，也可以先將x+y從兩個方程中分離出來，即將方程組轉化為（Ⅰ）的形式，在方程組（Ⅰ）中，由②-①×2，不難求出x+y=20；在方程組（Ⅱ）中，由①×4-②，得3（x+y）=60，所以x+y=20.再如已知方程組求x+y的值，我們就沒有必要求出方程組的解，而是直接將兩個方程的左右兩邊相加，可得，即這樣很容易求出x+y=9.9。再如，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，DA=DB=DC，如圖3所示. 如果∠CAB=2∠ACB，且∠ADB=46°，你能求出∠BDC的度數嗎？對于該題，如果利用常規方法，需要根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求解，運算量大，比較麻煩.如果能夠注意到“DA=DB=DC”這個條件，聯想到圓的定義，不難斷定點A、B、C都在以點D為圓心的圓上，因此可以通過構造輔助圓（如圖4）求解，這樣就簡單多了.希望學生在今后的學習中多加總結，注意根據目標信息對數學問題進行巧妙求解，提高解題效率，讓解法“大放光彩”.

圖3

圖4