類比教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的運用

☉江蘇省無錫市東絳實驗學(xué)校 薛 鶯

☉江蘇省無錫市太湖格致中學(xué) 陳 鋒

一、問題的提出

類比是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種有效方法，它在學(xué)生數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)、實際問題的解決等方面都有著重要意義.當(dāng)前，類比教學(xué)已成為初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要手段之一.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何從學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，通過類比進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知體驗，完成對數(shù)學(xué)知識和解決問題能力的有效改進(jìn)，是數(shù)學(xué)教師需要不斷研究的問題.現(xiàn)在結(jié)合課堂教學(xué)的實踐，將類比教學(xué)的體會和思考述至成文，歡迎各位批評指正.

二、類比教學(xué)的理論與模式

1.數(shù)學(xué)類比教學(xué)的理論依據(jù)

數(shù)學(xué)類比教學(xué)是指在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，根據(jù)兩類不同本質(zhì)對象之間的相似性，通過新、舊知識結(jié)構(gòu)的相似點，用舊知識進(jìn)行橫向的聯(lián)系和對比，從已知到未知，進(jìn)而為新知的學(xué)習(xí)提供相同的研究策略和方向指導(dǎo)，從而達(dá)到觸類旁通的作用.所以類比不僅是學(xué)習(xí)概念、定理、法則的認(rèn)知工具，也是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法.在課堂教學(xué)中采用類比的教學(xué)方法，可以有效地降低感知的難度，激活認(rèn)知的生長點，促進(jìn)知識的有效遷移，同時激發(fā)想象的欲望，喚醒學(xué)生的創(chuàng)新意識.

2.數(shù)學(xué)類比教學(xué)的模式

三、類比教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的策略

1.巧用新、舊類比，在新授課上溫故知新，拓展知識系統(tǒng)

數(shù)學(xué)教學(xué)必須建立在學(xué)生已有的認(rèn)知水平和知識結(jié)構(gòu)上，教師在講授新知識時，若能巧妙地聯(lián)系學(xué)生已有的知識，將新、舊知識進(jìn)行類比分析，就可以讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)新知識，從而溫故知新.這樣建構(gòu)的新知識更易于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從而有效突破新授課概念教學(xué)的難點，促進(jìn)概念的生成和相關(guān)知識點的遷移，進(jìn)而降低教學(xué)梯度和難度.

案例1：在“分式”教學(xué)中，可以用如下方法類比遷移出分式.

第一步：舉列引舊知.

師：你能列舉幾個小學(xué)時學(xué)過的分?jǐn)?shù)嗎？

第二步：對比觀異同.

生3：它們都有分?jǐn)?shù)線.

生4：它們都被分?jǐn)?shù)線分成上、下兩部分.

師：它們之間有什么不同點嗎？

生2：我們說的式子都是由數(shù)組成的，而老師說的式子中有字母.

生4：而且我發(fā)現(xiàn)老師說的式子中的字母都在分母上.

師：其實老師列舉的這類分母上含有字母的式子，就是我們今天要學(xué)習(xí)的分式.（教師板書）

第三步：類比找特點.

師：我們知道分?jǐn)?shù)的分母不能為0，那么，分式的分母可以為0嗎？

生4：不能.

師：你能告訴大家你的理由嗎？

生4：因為分式中分母是除數(shù)，而除數(shù)是不能為0的.

師：也就是說，要成為分式，分式中的分母是有條件的.

生2：是的，分式中的分母不能為0.

……

接著在學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)時，教師繼續(xù)類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，讓學(xué)生猜想分式的基本性質(zhì)，這樣學(xué)生很自然地就能學(xué)會分式的基本性質(zhì).

效能分析：在這一教學(xué)過程中，教師利用學(xué)生熟悉的分?jǐn)?shù)，類比遷移出分式的概念、特征及基本性質(zhì).學(xué)生很自然地從對分?jǐn)?shù)的認(rèn)知拓展到對分式的理解，由此可見，如果教師能掌握新、舊知識的縱向延伸和橫向聯(lián)系，抓住新、舊知識的連接點，巧妙運用舊知識進(jìn)行類比轉(zhuǎn)化，不僅可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時易于同化，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，而且讓學(xué)生學(xué)得輕松，讓自己教得愉快，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

2.強化系統(tǒng)類比，在復(fù)習(xí)課上觸類旁通，建構(gòu)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)

教學(xué)實踐表明，點狀化的知識不易理解，容易遺忘，而結(jié)構(gòu)化的網(wǎng)狀知識易于學(xué)習(xí)和掌握，更有易于延伸和拓展.因此，在復(fù)習(xí)課上，教師如果利用知識間的系統(tǒng)類比進(jìn)行教學(xué)，可以幫助學(xué)生關(guān)聯(lián)點狀知識間的相互聯(lián)系，使點狀知識類比化，進(jìn)而真正將知識做到連點成線，連線成面，形成知識網(wǎng)絡(luò)，同時可以讓學(xué)生從對點狀知識的表征感性認(rèn)識上升到對網(wǎng)狀知識本質(zhì)屬性及規(guī)律的理性認(rèn)識.

案例2：在中考復(fù)習(xí)“全等三角形”知識時，我是這樣類比相似三角形進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí)的.

第一步：回憶點狀知識.

師：你知道相似三角形的性質(zhì)嗎？

生1：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.

生2：相似三角形的對應(yīng)線段成比例，相似三角形對應(yīng)面積的比等于相似比的平方.

師：全等三角形有哪些性質(zhì)呢？

生3：全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等.

生4：全等三角形的對應(yīng)線段相等，對應(yīng)周長相等，對應(yīng)面積也相等.

第二步：突出類比本質(zhì).

師：為什么全等三角形的對應(yīng)邊相等？

生1：全等三角形是相似比為1的特殊相似三角形.

生4：相似三角形，對應(yīng)邊成比例，而全等三角形是相似比為1的相似三角形，所以全等三角形對應(yīng)邊的比為1，即對應(yīng)邊相等.

第三步：通聯(lián)網(wǎng)狀脈絡(luò).

師：你知道相似三角形的判定定理嗎？

生2：兩組角相等，兩個三角形相似；兩組邊成比例并且夾角相等，兩個三角形相似；三組邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似.

師：你能類似得到全等三角形的判定定理嗎？

……

效能分析：在這節(jié)復(fù)習(xí)課中，教師運用類比教學(xué)法溝通了兩類不同三角形，將相似三角形和全等三角形之間各知識點都串聯(lián)了起來，實現(xiàn)知識間的縱橫類比，從而幫助學(xué)生建構(gòu)了一個系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生在知識上融會貫通，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更加輕松，記憶更方便，同時是在原有知識基礎(chǔ)上的一種延伸、拓展，使知識更加系統(tǒng)化.

3.借助生活類比，在探究課上深入淺出，實現(xiàn)思維超越

數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)思想方法與生活中的事物有相通之處，在數(shù)學(xué)探究教學(xué)中合理利用生活實例與數(shù)學(xué)知識進(jìn)行類比教學(xué)，為學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識搭建一個緩沖的橋梁，使學(xué)生能輕松接受并理解數(shù)學(xué)知識，從而大大降低學(xué)習(xí)難度，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

案例3：初二“確定位置”課堂探究片段.

第一步：展現(xiàn)問題情境.

師（展示一張地圖）：今天張老師約陳老師去體育館看籃球比賽，已知體育館的入口在太湖大道和清祁路交叉口，同學(xué)們能告訴陳老師體育館的入口在圖中的哪一位置嗎？

生1上前在地圖上指出相應(yīng)的位置.

師：你是怎么考慮的？能說說你的想法嗎？

生1（上黑板指著地圖）：首先在地圖上找到太湖大道所在的位置，即這條線，再找到圖中清祁路所在位置的線，兩條線的交點就是我們要找的體育館入口的位置.

第二步：尋求思維變異.

師：這樣想的同學(xué)舉手.

全班學(xué)生基本都舉起了手.

師：回答得很好，這里要找的位置是利用兩條線的交點確定的，這是確定位置的一種方法.

師：你知道這里蘊含了什么數(shù)學(xué)知識嗎？

生2：兩條直線交于一點.

師：很好，這是確定位置的常用方法之一.

師：張老師到體育場，她的門票的座號是7排16座.張老師應(yīng)該怎么找到自己的座位呢？

生1：可以先找到第1排的16座，再從前往后找到第7排就可以了.

師：還有不同意見嗎？

生3：我認(rèn)為張老師可以先找到第7排，再依次找到第16座即可.

師：你們認(rèn)為這兩種方法可以嗎？

生（齊）：都可以.

師：好的.如果陳老師的門票的座號是7排3號，我們可以怎樣簡單標(biāo)記呢？

生1：（7，3）.

第三步：實現(xiàn)思維超越.

師：也就是說，確定一名同學(xué)在教室里的位置，我們還需要哪些數(shù)據(jù)？大家討論一下.

生4：要想說明一名同學(xué)在教室里的位置，我們必須得知道他位于第幾排第幾個這兩個數(shù)據(jù).

師：這樣的兩個數(shù)可以確定唯一的一個位置.按這個同學(xué)的辦法，我們就能通過兩個數(shù)找人.

師生共同做游戲，教師報出（3，2）、（3，4）、（4，3）、…，對應(yīng)的學(xué)生立刻站起來.

效能分析：這節(jié)課中，教師通過多個生活場景中的實際問題來類比教學(xué)，一步步將學(xué)生較難理解的、較抽象的點的坐標(biāo)問題，轉(zhuǎn)化為學(xué)生內(nèi)心的需要，從而將抽象的點的坐標(biāo)問題變?yōu)榫唧w、簡單的生活問題，再根據(jù)學(xué)生思維特點的需要，上升到更豐富、更廣泛的具體內(nèi)容.這符合抽象性和具體性的基本關(guān)系，有利于學(xué)生運用抽象理論認(rèn)識、檢驗具體素材，使抽象理論具體化，也發(fā)展學(xué)生的抽象思維.這樣的類比可以把復(fù)雜問題簡單化.

4.把握結(jié)構(gòu)類比，在習(xí)題課上撥云見日，助力方法剖析

類比可以說是一種從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法，更是探索新事物的一種有效的研究方式.它對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力和創(chuàng)新思維有著重要的指導(dǎo)意義，特別是在數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)中，利用類比教學(xué)的方法，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察題目本身的特征，憑借題目結(jié)構(gòu)上的本質(zhì)特征尋找類比來解決問題.

案例4：在一節(jié)初三習(xí)題課上.

第一步：展示例題促思考.

教師展示題目：

師：你知道上面三個等式有什么共性嗎？你能寫出第4個等式嗎？你會表示第n個等式嗎？

經(jīng)過幾分鐘的觀察和思考，學(xué)生慢慢舉起了手，教師示意學(xué)生回答.

生1：我發(fā)現(xiàn)等式的左邊是兩個平方的差，等式的右邊是偶數(shù).

生2：等式的右邊是偶數(shù).

……

學(xué)生的小手慢慢放下來了，教室里沉靜了下來.

第二步：改變結(jié)構(gòu)引類比.

教師在黑板上再次以不同的形式呈現(xiàn)原來的題目：

32-12=8；

52-32=16；

72-52=24.

教師再次讓學(xué)生觀察上述等式.

第三步：剖析共性獲方法.

師：觀察這三個等式，你還能發(fā)現(xiàn)其他特征嗎？

生2：如果從上、下的角度看，我發(fā)現(xiàn)這三個等式有三列數(shù)字，第一列中，平方數(shù)的底數(shù)是連續(xù)的奇數(shù).

生3：我發(fā)現(xiàn)第二列中平方數(shù)的底數(shù)也是連續(xù)的奇數(shù).

生4：第三列中都是偶數(shù).這些偶數(shù)都是8的倍數(shù).

生2：這三個等式的等號左邊是兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差.

……

效能分析：這節(jié)課中，教師通過對題目形式的變化進(jìn)行類比教學(xué)，從而引導(dǎo)學(xué)生觀察三個等式結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征，在類比變化的過程中，讓學(xué)生自主觀察、比較、思考，進(jìn)而大膽猜想和合情推理.讓學(xué)生自己根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)去類比，帶給學(xué)生更多參與、發(fā)現(xiàn)、體驗的機會，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去猜想、去驗證，這樣的教學(xué)，讓課堂充滿了活力與思考.這樣的結(jié)構(gòu)類比，讓學(xué)生在解決問題的過程中，學(xué)會了方法的創(chuàng)新.

四、對類比教學(xué)的后續(xù)思考

1.類比教學(xué)應(yīng)以學(xué)生參與為主體

數(shù)學(xué)新課標(biāo)強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)的意識.因此，在有針對性的類比教學(xué)的理論指導(dǎo)下，通過教師的有效指導(dǎo)，學(xué)生解決相應(yīng)問題，讓學(xué)生通過自主類比建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，歸納解題規(guī)律，分析易錯原因，總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，以此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.因此，在教學(xué)中，教師要想方設(shè)法設(shè)計適合學(xué)生實際的類比問題，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生主動復(fù)習(xí)的意識，使得學(xué)生真正參與到問題中來，主動參與到復(fù)習(xí)活動中來.

2.類比教學(xué)應(yīng)以能力提高為標(biāo)準(zhǔn)

有效的課堂的衡量標(biāo)準(zhǔn)，不是看是否完成教學(xué)任務(wù)，也不是看教師在一節(jié)課中總結(jié)了多少知識點或講解了多少題型，而是看在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的有效活動量、有效思維量、有效訓(xùn)練量有多少，其中包括對知識的概括梳理、問題的分析解讀、交流探究的過程、不同解答方式的呈現(xiàn)及學(xué)生自己掌握知識和技能的程度等.只有讓學(xué)生自己把學(xué)習(xí)內(nèi)容真正落實到位了，才有助于提高學(xué)習(xí)效率.因此，在課堂教學(xué)過程中，學(xué)生能自己解決的事情，教師不要包辦，要讓學(xué)生自己充分建構(gòu)知識、展示思維、發(fā)展能力.

3.類比教學(xué)應(yīng)以問題解決為手段

通過“類比”這一教學(xué)手段，串起整個學(xué)習(xí)過程，實質(zhì)上是讓學(xué)生在對數(shù)學(xué)問題的思考和解決中，思維獲得拓展，方法得到強化，能力得以提高，這正是數(shù)學(xué)課堂要達(dá)到的目標(biāo).因此，教師首先要注意類比目標(biāo)要明確、難易要適合，要立足學(xué)生的原有認(rèn)知和經(jīng)驗，符合學(xué)生的實際.其次，要給學(xué)生提供更多的展示思維方式的機會，提供更多的解釋和評價自己思維的權(quán)利.

類比教學(xué)不僅是一種有效的課堂教學(xué)手段，更是拓寬學(xué)生思維的重要途徑.讓我們在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中靈活、合理地運用類比教學(xué)，開闊學(xué)生的思路，啟迪學(xué)生的思維，這樣一來，我們的數(shù)學(xué)課堂必將更加精彩.F