關注引入，科學探究，知識拓展，思想兼顧
——以“直線與圓的位置關系”的教學為例

☉江蘇省蘇州高新區第一初級中學 楊 艷

“直線與圓的位置關系”是蘇科版九年級上冊的重要內容，是對“圓”的進一步探究.課標提出，要求學生充分了解直線與圓的位置關系，并根據該關系得出圓心距與圓半徑之間的關系，感受數量關系刻畫位置關系的幾何研究方法，提升學生的核心素養.基于上述課標要求，教師在教學中需要精心設計教學環節，關注教學細節，下面提出幾點建議.

一、關注課堂引入，開展情景教學

良好的課堂引入不僅可以快速聚焦學生的注意力，還可以幫助學生順利完成知識過渡.初中學生的心智還處在發展階段，對具體的問題和新奇事物有強烈的好奇心，若在課堂教學的伊始合理設置問題情景，從生活實際中完成知識的提煉，可以提高教學效率.

直線與圓的位置關系雖然屬于幾何問題，但在實際生活中隨處可見，最為典型的場景是海上日出的過程.在該過程中蘊含兩者的三種關系，因此教學中可以以此為取材點，讓學生觀看相關視頻，通過直觀的場景將學生代入課堂，充分感知數學來源于生活的真諦.

而在情景引入階段需要注意引導學生思考，促進學生產生思維的碰撞.問題設計可以從兩個角度進行：一是進行關聯知識的思考，即讓學生思考之前幾何學習中研究了哪些圖形的位置關系；二是將日出過程進行等效，將地平線看作一條直線，太陽看作動圓，讓學生思考日出過程中地平線和太陽存在哪些位置關系.為幫助學生思考，教師可以適當設計一些實踐活動，如利用畫板演示日出過程（如圖1），或讓學生準備紙張模擬日出過程.在活動中，教師應重點引導學生關注直線與圓三類不同位置關系時的交點，為后續的數學定義做基礎.另外，在初步完成直線與圓位置關系的探索后，可以讓學生各抒己見，列舉生活中的其他實例，并讓學生思考實例中哪些事物代表直線與圓，以及兩者之間存在怎樣的位置關系，完成知識糾偏的同時深化學生對生活現象的認識.

圖1

二、科學引導探究，精設教學環節

問題是數學發展的動力，是形成完整知識鏈，構建系統框架的必經環節.以問題為引導，讓學生經歷知識形成的過程更能強化學生對知識的理解，使學生掌握科學的探究方法，提升實踐能力.因此在教學“直線與圓的位置關系”時，可以采用問題探究的模式，利用科學的探究過程完成知識的講授.

本節內容的核心是對直線與圓位置關系的探究、數學語言的描述及相關位置關系的判定與性質探究，其中的核心問題是位置關系.教學中可以采用“形成問題→抽象方法→提出假設→數學驗證→語言概括→構建理論”的探究模式.首先由情景問題引出本節課探究的主題，然后采用模型抽象的方式引導學生提出假設，并從數學角度思考直線與圓位置關系的刻畫方式，實現問題的數學轉化.如從日出問題中抽象出圖2所示的模型，其中⊙O表示太陽，直線l表示水平線，讓學生思考是否可以用⊙O的半徑r與圓心到直線l的距離d的大小關系來表示，是否可以用兩者的交點個數來表示.該過程中，要讓學生充分思考，自我總結概述，然后教師給出準確的語言描述，同時對知識概念進行提煉，開展知識點的關聯探究，幫助學生繪制如下所示的知識列表：

圖2

表1

而在完成上述知識鏈構建后，需要讓學生進一步思考是否可以逆向推導，即由直線與圓的位置關系來推理兩者的交點個數及圓半徑r與圓到直線距離d的大小關系，向學生闡明直線與圓的位置關系、兩者的交點個數、d與r的大小關系是相互對應的，知其一可反推其二，促進學生雙向思維的發展.

另外，在數學的驗證階段，可以合理滲透數學的探究方法，雖然直線與圓的位置關系是幾何特征，但在論證時可以從代數角度進行，即采用數形結合的方式.而在具體討論過程中，可以根據其位置特點將其分為三類，用代數關系來等價幾何關系.采用這樣問題探究、科學論證的方法，不僅可以在最大程度上避免教學方向偏移，還可以逐步培養學生思維的邏輯性和嚴謹性.

三、重視知識衍生，倡導知識拓展

初中階段學生處于思維的活躍期，對于一些新的事物會有一些獨特的想法，這些特殊的思想內容有著極大的利用價值，也值得倡導提升.而在實際教學中，教師應積極倡導知識拓展，提升學生思維的寬度和深度.

“直線與圓的位置關系”內容主要是使學生掌握兩者的三種位置關系，以及位置關系的幾何與代數的判定方法.而直線與圓相切過程中存在切線長這一特殊的定理，該定理雖然屬于選學內容，但對于拓展學生的思維有著積極的意義，因此值得深入講解.切線屬于直線，因此是無限長的，在教學中需要引導學生在掌握切線定義的基礎上思考切線的性質.講解該定理時需要從圓的對稱性角度進行，構建線段、角、弧長和垂直關系的研究模型，讓學生思考連接圓的兩個切點的線段的特性，兩條切線相交時交點與切點相連構建的三角形的特性，以及以此為基礎讓學生學作內切圓.

以切線為基礎，通過拓展活動、引導思考的方式進行知識拓展，不僅可以確保知識的連續性，還可以提升學生思維的連續性.整個過程中，學生的思維處于極度活躍狀態，教師要善于引導，以開拓視野為主，立足思維拓展、核心素養提升.

四、注重思想滲透，引導思維活動

中學教育與小學教育最顯著的一個不同在于知識領域，如小學教學更注重常量數學，而初中階段更多的涉及代數、方程和函數等變量知識，而這些不同知識的背后是數學的思想和研究方法，如方程思想、數形結合思想、構造思想等.因此在教學中需要依托教學內容來滲透數學的思想方法，使學生掌握知識的同時獲得思想上的提升.

“直線與圓的位置關系”的內容教學同樣需要貫徹“知識與思想并重”的方針，借助特定的教學內容向學生傳達數學的思想內涵.這其中包括從生活實例中抽象直線與圓位置關系的構造思想，類比“直線與直線的位置關系”開展探究的類比思想，對位置關系加以討論的分類討論思想，以及整個論證過程中需采用的數形結合思想.這些思想基礎同樣是本節內容教學的重點，是學生掌握知識探究方法、提升數學思維的關鍵，因此，在實際教學中，應注重運用思想方法開展問題探究的細節講解.如運用構造思想構建實際問題的研究模型時，應著重講解具體的抽象過程和構建方式.利用類比思想開展內容探究時，引導學生思考類比的基礎，以及類比時的研究策略.數形結合思想和分類討論思想是教學的核心思想，貫穿整個教學始終.指導分類討論時應使學生明確開展分類討論的前提條件，包括分類的原因、原則及標準.從數形結合角度開展問題論證及解題思考，則應引導學生思考數形觀點分析問題存在哪些思路，需要構建哪些模型，以及分析過程的具體步驟，讓學生親身體驗應用數學思想探究問題的優勢.整個教學過程應注重引導學生觀察、動手操作、設問思考，充分調動學生的思維，實現感官和邏輯推理的有機融合，讓學生在潛移默化中獲得思想和知識的雙重提升.

總之，雖然“直線與圓的位置關系”在高中階段還將深入研究，但作為初中數學的重要內容，同樣需要指導學生在掌握基礎知識的前提下學習相應的探究方法，提升學科思想.因此，在教學中需要關注教學重點，精化設計方案，以問題為驅動，調動學生思維，有效促進學生數學素養的發展.