中國與新加坡教材中的數學探究內容比較*
——以初中“圓的性質”內容為例

☉浙江師范大學教師教育學院 周琳輝

☉浙江師范大學教師教育學院 唐恒鈞

21世紀以來，數學探究被各國數學課程所強調.我國《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版》）中指出：“教學中注重結合具體的學習內容，設計有效的數學探究活動，使學生經歷數學的發生發展過程，是學生積累數學活動經驗的重要途徑.”［1］教科書是課程資源的重要組成部分、課程實施的載體，也是師生實施數學教學最重要的資源和線索.所以對數學教材中的探究內容進行分析，有助于師生對探究教學和學習的領悟，促進探究內容的使用和探究活動的實施.

新加坡的數學教育因其學生在如TMISS等國際比較中位居前列而備受關注［2］，且與中國有著相似的文化背景和環境.所以本文以“圓的性質”為例，試圖從微觀的角度分析新加坡SHINGLEE出版社2014年出版的《NEW SYLLABUSMATHEMATICSNORMALACADEMIC）》［3］（下簡稱《NSMN》）和浙江教育出版社2014年出版的《義務教育教科書·數學（九年級上冊）》（以下簡稱《浙教版》）［4］兩版教科書中的探究活動，以期為我國數學探究教育的發展提供有益的啟示和借鑒意義.

一、研究方法

1.研究對象

徐斌艷教授認為數學探究是指：學生遇到某個數學問題或數學情境時，通過觀察、分析、推測數學事實，提出有意義的數學問題，并尋找、驗證數學事實及結論，給出相關規律或結論的解釋或證明，同時反思所得結論以期形成新問題［5］.據此將表1中的欄目作為探究內容加以分析.

表1 數學探究內容取樣

2.研究框架

徐斌艷教授從情境表述、問題表述、活動組織形式、活動類型、與教材上下文的關系這五個維度提出了數學教材中探究內容的分析框架.［5］張維忠教授等在此基礎上進一步增加了探究內容的認知水平要求［6］.劉云老師等則在其分析框架中探討了數學探究活動的內容類型［7］.本研究綜合上述研究框架，形成了如圖1所示的分析框架.

圖1 數學探究內容分析的理論框架

二、探究內容的比較分析

1.探究內容數量的比較

由圖2可知，在探究內容數量上，《浙教版》略多于《NSMN》.但《NSMN》的探究問題達到51個，遠高于《浙教版》的28個.這主要是因為在《NSMN》中，如調查活動等顯性探究欄目里，一個問題下面通常會出現多個子問題，每個探究內容的篇幅也較大.而《浙教版》的探究欄目通常篇幅短小精練，且因為大部分處于節前和節中的位置，一個探究內容中普遍只有1至2個子問題.

圖2 探究內容與探究問題數量

2.探究內容類型比較

探究內容的知識類型可以細分為數學知識本身的探究和應用數學知識進行探究兩類.具體地，數學知識本身的探究指向具體數學知識的學習，一般與數學概念、定理、公式、運算、方法、研究方法等有關.應用數學知識探究針對數學知識的應用，分為模仿性應用探究和創造性應用探究兩種類型［6］.如圖3所示，兩國教材中的探究內容主要以陳述性知識為主，程序性知識為輔.相對而言，《浙教版》更注重探究中對數學知識的創造性應用，占21.43%.它比模仿應用能更好地培養學生的創新意識和解決問題的能力.

圖3 知識類型比較

3.認知水平比較

如圖4所示，該章探究內容沒有記憶性的數學任務.兩版教材均出現三成左右的無聯系程序性探究，占比最高的是有聯系的程序性任務.聯系程序性任務能促使學生深入思考與理解數學知識本質，充分調動認知來尋求解決問題的程序.如在《NSMN》的探究欄目“調查活動”中，要求學生通過幾何模板里的動點操作、觀察圓的變化來抽象歸納出有關圓的性質定理.在一定的聯系、無聯系的程序性探究內容的基礎上，《浙教版》還出現了一定量更高認知要求的做數學任務，拔高和提升了數學探究的層次.比如，讓學生推測丁字尺找圓心的原理，再進一步設計出改進方案，使它能廣泛應用于更多類型的圓.學生通過這些探究，可以鍛煉結合元認知探索問題內在結構的能力.

圖4 認知水平比較

4.探究內容情境表述的比較

（1）情境類型比較.

如圖5所示，兩版教材在探究情境的類型上有比較明顯的差異.純數學情境在《MSMN》中占91.67%，大多數出現在調查活動中.它要求學生進入指定的新加坡學習網站，利用其中的幾何模板進行探究.所以它涉及的都是關于純數學知識的幾何操作.如在“圓的對稱性質1”這一節中，“進入http：//www.shinglee.com.sg/StudentResources/，打開幾何模板圓的性質1如下所示……點擊拖動點A或B改變弦長，拖動R改變圓的大小，你能觀察到AM和BM的長度有什么變化嗎？你把M點叫作什么”.《浙教版》主要通過“做一做”這個欄目，用純數學知識引入新知展開圓的性質的學習.

強調數學與現實生活、其他學科間的關聯是新世紀以來數學課程改革的一個重要理念.［8］《浙教版》的探究內容中分別有3處真實情境和虛設情境，《NSMN》中有4處為虛設情境，沒有出現真實情境.可見，無論是《浙教版》還是《NSMN》中，非數學情境較少，真實情境更少.而通過與日常生活和其他領域相關聯的問題情境，能使得探究內容更富有趣味性和真實性，讓學生體會數學與生活和其他學科的聯系.如在學習圖形的旋轉時，把探究內容與現實生活中的藝術作品巧妙結合起來，學生在探究生活中圖形旋轉的同時，又能發揮自己的創造力設計出各種美麗的圖案.

圖5 情境類型比較

（2）數學信息比較.

由圖6中關于數學情境的信息完整度數據可以看出，兩版教科書探究內容的信息完整度都很高，沒有出現數學信息冗余的探究問題.相較于《浙教版》中所有探究問題的情境給出了完備的數學信息，《NSMN》中出現了少量信息不足的情況（占9.8%）.“圓的性質”這一章節中知識比較抽象復雜，數學信息完備的探究內容有利于學生數學探究的順利開展.但從探究能力的發展、數學思維的鍛煉等角度考慮，數學結構不完整的探究內容能給學生留有更大的探究空間，為學生的探究學習提供更多能發揮創造力和發展創新力的機會.

圖6 數學信息比較

5.探究內容問題表述的比較

（1）句式比較.

從圖7中可以發現，《浙教版》的句式以疑問句為主（占64.29%）.如在第一小節“圓”的學習中讓學生思考：“經過不在同一條直線上的三個點一定能做出一個圓嗎？如果能，怎樣找出這個圓的圓心？經過同一條直線上的三個點呢？”這樣，通過多個問題的層層推進，推動了學生的思考，使探究逐步深入.而陳述句大多出現在最簡單基礎的計算中.《NSMN》中則正好相反，陳述句占64.71%.特別是在每個調查活動的最后部分，會讓學生根據自己的歸納總結把概念或性質補充完整，并在下一個探究問題中要求證明該原理.這些探究問題都是以陳述句的形式呈現.可以看出《浙教版》更注重用疑問句式的探究內容來推動學生進行探究學習，疑問句的引導性和感染力更強，能更好地調動學生學習和思考的興趣，推動探究知識的一步步深入.

圖7 句式比較

（2）問題類型比較.

由圖8可知，封閉式問題是《浙教版》和《NSMN》探究內容主要的問題類型，分別占60.29%和82.36%.另外，《浙教版》中過程開放式和結論開放式問題的比例都高于《NSMN》.開放式問題有利于引導學生大膽假設和探究.這樣學生在“圓的性質”問題探究中，既能發揮想象力用所學知識尋求多元化的解決方法，又能調動創造力發現更多有價值的結論.如在圓心角這一小節中“設計一個實驗，探索兩個相等的圓心角所對的兩段弧、兩條弦長之間的關系”，學生能在探究中回憶前面學過的圓和弦的相關性質，將新、舊知識結合在一起.在這個過程中，用不同的方法設計出不同的驗證實驗，探索出弦、弧與圓心角關系的結論.在開放性的探究中，不僅能加深對圓心角的理解，又能培養學生善于質疑和善于反思的習慣.

圖8 問題類型比較

6.探究活動組織及類型的比較

兩版教材在探究內容的活動組織上差異不大（如圖9）.個人活動是主要的組織形式，在《浙教版》和《NSMN》中分別占82.14%和84.32%.如《浙教版》中的正多邊形、弧長及扇形的面積，以及《NSMN》中利用幾何模板的調查活動，都設計了大篇幅的個人活動.兩版教材中合作學習的比例都不大，在《浙教版》中主要存在于“合作學習”這一欄目中，《NSMN》中主要通過“課堂討論”實現.

圖9 活動組織比較

進一步，兩版教材探究內容的活動類型均以解答活動為主，但是存在較為顯著的差異.如圖10所示，《浙教版》的活動類型比較豐富，除了占主體位置的解答活動（85.71%），還有閱讀活動（7.14%）、項目活動（3.57%）和寫作活動（3.57%）.《NSMN》中除了解答活動（58.86%），特別重視實驗活動（43.13%）.在圓的性質學習中，要求學生借助前述網站中的幾何模板進行探索，讓學生經歷數學化過程，從而更加直觀地感受幾何變化中的不變性，即圓周角、弦長等相關的幾何性質.

圖10 活動類型比較

7.上下文關系比較

如圖11，兩套教材的探究內容分別有35.71%和33.33%用于導入新知，多出現在小節的開頭位置.通過其對新內容的引導和探索，有助于學生建構新知識.如《浙教版》中圖形的旋轉一節的開頭，讓學生探究：能否經過旋轉，使左手的圖形與右手重合？經過軸對稱呢？另外，兩版教材探究內容出現于承上啟下和鞏固拓展環節的均在20%左右，一般出現在節中或節中后，以幫助學生將前后知識融會貫通，進一步鞏固學習和反思.從整體上看，《浙教版》和《NSMN》對這兩種功能定位都較為重視.《NSMN》中用于歸納總結的探究內容占19.61%.如在調查活動欄目中“抄寫并填充下面的定理和原理：一般地，圓中相等的弦與圓心的距離是______”，讓學生對所學的知識進行抽象概括，總結出方法和規律.《浙教版》里用于歸納總結的探究比例較少，而更強調應用拓展的功能.如在“美妙的鑲嵌”這一閱讀活動中，學生既了解了藝術大師的作品，又能將所學的多邊形知識用來設計圖案.通過探究內容對數學知識的應用拓展，學生既鍛煉了數學的思維，又提升了數學的基本思想.

圖11 數學探究內容上下文關系比較

三、結論與啟示

1.適當調整探究內容的數量，準確把控功能定位

我國《浙教版》教材在“圓的性質”這一節中的探究數量適中.但因為大部分處在節前或節中的位置，同時一個探究內容下通常只含有一到兩個問題，易出現探究不夠深入的情況，甚至造成探究內容習題化.如果一道題能綜合多個知識點，從學生思維和能力培養的角度來說，它能促使學生開闊、多向地思考問題，建立起數學內部知識的聯系.《浙教版》可以適當增加具有歸納總結功能的探究內容的比例，加深學生對數學知識點的理解.《NSMN》則需要重視探究在拓展應用功能上的價值，加強數學與生活、與其他學科的聯系，豐富數學文化，增強學生應用數學的意識，促進學生的體驗性學習和探究性學習，不斷增強探究能力和實踐能力.總之，既要合理安排數量，又要關注內在功能和價值.

2.增加真實情境下的探究內容比例，密切生活實際

《課標（2011年版）》在基本理念中指出：“課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索.”數學是對生活日常的系統歸納，所以要基于學生的生活實際來編制教材，引導學生在真實的情境中，通過模仿、猜想、觀察、實驗等各種手段來搜集知識和獲取經驗，以便培養學生基于數學知識來解決生活中問題的能力.真實情境下的數學探究內容有助于學生體驗與理解、思考與探索，使學生經歷從實際背景中抽象出數學知識和方法的過程，虛設情境也有利于學生建立生活和抽象數學之間的聯系.但中國和新加坡兩個國家目前都是以純數學情境下完備信息的探究內容為主，因此要重視真實情境的創設，密切聯系生活實際，關注數學與日常生活、數學與其他學科等領域的聯系，由此激發學生的探究興趣，讓學生學習和應用數學知識的同時，感受數學的價值和樂趣.

3.豐富探究內容類型，重視輔助工具的應用

實驗活動、寫作活動、項目活動、閱讀活動等不同類型的探究活動有助于學生通過自己經歷、體會、感悟、積累獲得基本的數學思想，鍛煉寫作能力、動手操作能力，拓寬自己的認知領域，提升探究的水平.中國和新加坡教材探究內容都以解答活動為主，其他類型的探究活動所占比例很少.不過《NSMN》探究內容的實驗活動中對幾何模板的充分應用也給《浙教版》提供了借鑒，應增加學生借助幾何畫板等其他輔助工具的機會，提高學生應用技術和資源解決問題的能力，同時使探究活動更加活性、多元地展開.

4.強化程序性知識探究，注重知識的創造性應用

有研究表明，程序性知識與創造性應用探究對學生問題解決能力及創新意識的培養作用更大.特別是數學知識的創造性應用，它能更好地幫助學生學會數學地思維［6］.但在“圓的性質”一章中，兩版的教材都以陳述性知識的探究為主.應進一步重視程序性知識和知識的創造性應用，有助于加強學生自主探索的意識、創造性思考的能力，從而拓寬認知水平，提升認知高度.

5.增加合作學習機會

合作學習也是新課改中強調的重要教學理念和學習能力之一.合作探究能增加學生團隊合作意識，在探究中提高數學表達能力，通過和同伴合作交流，拓寬彼此的數學思維，尋求更多方位的解決方法.比較發現，我國和新加坡教材的探究內容在合作學習的比例都還不到20%，更偏向個人活動，所以教材的編制應該在個人與合作活動的設置與比例上做適度的協調，增加學生合作學習的機會.

6.注意多角度探究，適當加強探究內容的開放性

《浙教版》探究類型多為封閉式問題，注重問題的嚴謹性.但開放式問題可以引導學生自由探索多元的解決策略和方法，從多角度切入進行多方位探究.未來應注意創設開放式問題情境，推動多角度的探究，從而調動學生的求知欲和學習的積極性，促進學生思維的發展，使其通過活性的探究過程和方式，發散性地探尋未知、多元的結論.

總之，探究能力是學生綜合素養的重要組成要素.數學教材中的探究內容是培養學生綜合實踐能力和探究能力的重要載體.通過對中國和新加坡兩個版本教材的比較，辨證地看待各自的特點，審視我國數學教材在探究內容編制方面的優點和不足，以期為教材的修訂及教師創造性設計數學探究提供借鑒.