在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)
——以“平行四邊形的性質(zhì)（1）”為例

☉山東省東營(yíng)市河口區(qū)孤島鎮(zhèn)濟(jì)軍基地實(shí)驗(yàn)學(xué)校 黃國(guó)慶

☉山東省東營(yíng)市河口區(qū)孤島鎮(zhèn)濟(jì)軍基地實(shí)驗(yàn)學(xué)校 楊振田

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下文簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011）》）在原來(lái)“雙基”的基礎(chǔ)上提出“四基”，增加了基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，那么如何在課堂教學(xué)中讓學(xué)生獲得相應(yīng)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀肯旅婀P者結(jié)合“平行四邊形的性質(zhì)（1）”進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.

一、總體分析

1.學(xué)情分析

八年級(jí)學(xué)生正處在試驗(yàn)幾何向論證幾何的過(guò)渡階段，他們已經(jīng)對(duì)平行四邊形有了初步、直觀的認(rèn)識(shí)，這為平行四邊形性質(zhì)的研究提供了一定的認(rèn)知基礎(chǔ).但對(duì)于嚴(yán)密的推理論證，學(xué)生從知識(shí)結(jié)構(gòu)到知識(shí)能力上都有所欠缺，而利用動(dòng)手操作來(lái)實(shí)現(xiàn)探究活動(dòng)，對(duì)學(xué)生較適宜，且有一定吸引力，從而激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲.

2.內(nèi)容分析

平行四邊形是四邊形的一種延伸和發(fā)展，對(duì)其性質(zhì)的探索需要借助已學(xué)過(guò)的平行線和三角形的相關(guān)知識(shí)，以及平移、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱的知識(shí).它又是學(xué)生下一步學(xué)習(xí)矩形、菱形等特殊四邊形的基礎(chǔ)，因此，掌握平行四邊形的性質(zhì)起著承上啟下的作用.

3.探究環(huán)節(jié)總體設(shè)計(jì)思路

教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“拼一拼”“畫(huà)一畫(huà)、量一量、猜一猜”“證一證”等過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷性質(zhì)探究過(guò)程，通過(guò)連接對(duì)角線，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等的三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)得出平行四邊形的性質(zhì).學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷動(dòng)手操作來(lái)感悟知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，避免了對(duì)知識(shí)的機(jī)械記憶，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生思維的深度，使“只可意會(huì)不可言傳”的隱性知識(shí)“顯性化”.

探究環(huán)節(jié)的三個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)——“拼一拼”“畫(huà)一畫(huà)、量一量、猜一猜”“證一證”的設(shè)計(jì)，重視了學(xué)生思維的發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)化的原始思維中經(jīng)歷思維過(guò)程，去理解，去感受，去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，去解決問(wèn)題，不斷提升思維水平，彰顯數(shù)學(xué)活動(dòng)的有效之美.

二、設(shè)計(jì)思路

活動(dòng)1：拼一拼

（1）問(wèn)題提出：平行四邊形除了“兩組對(duì)邊分別平行”，還有沒(méi)有其他性質(zhì)呢？我們?nèi)绾窝芯科叫兴倪呅蔚男再|(zhì)呢？

（2）活動(dòng)要求：請(qǐng)大家拿出準(zhǔn)備好的兩張全等三角形紙片，你能拼出幾種不同形狀的四邊形？

（3）小組活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手操作，自主探究；教師巡視指導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及時(shí)解決.

（4）活動(dòng)展示：將學(xué)生拼出的六種形狀不同的四邊形展示在黑板上，小組內(nèi)選派代表上臺(tái)講解、分析過(guò)程.

（5）點(diǎn)撥引導(dǎo)：教師在學(xué)生展示的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)分析三種平行四邊形（如圖1）并提出問(wèn)題：

問(wèn)題1：拼圖過(guò)程中，你是如何思考的？

小組討論，學(xué)生代表交流，教師點(diǎn)評(píng)：拼圖時(shí)將等長(zhǎng)的邊拼在一起；拼圖的過(guò)程中，應(yīng)該按照一定的順序去拼，不要遺漏.

追問(wèn)1：黑板上展示的圖形中哪些是平行四邊形？

追問(wèn)2：能拼成幾種不同的平行四邊形？

教師如果急于進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)，而沒(méi)有抽出時(shí)間去指導(dǎo)學(xué)生如何拼圖和在拼圖過(guò)程中有哪些方法可以總結(jié)，學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)就無(wú)法有效積累.

問(wèn)題2：觀察拼接得到的平行四邊形，除了“兩組對(duì)邊分別平行”，還具有其他性質(zhì)嗎？（猜想：平行四邊形的對(duì)邊相等；平行四邊形的對(duì)角相等）

圖1

（6）知識(shí)建構(gòu)：通過(guò)探究活動(dòng)，學(xué)生獲得一對(duì)全等三角形可以拼成平行四邊形、平行四邊形可以分為一對(duì)全等的三角形等數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為添加輔助線、證明兩個(gè)三角形全等做了很好的方法鋪墊.

（7）意義作用：通過(guò)拼圖，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手參與能力，更重要的是為下一步猜想的證明提供了相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

活動(dòng)2：畫(huà)一畫(huà)、量一量、猜一猜

（1）畫(huà)一畫(huà)：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诳埳希鶕?jù)兩組對(duì)邊分別平行畫(huà)出一個(gè)平行四邊形，并剪下它.

方法1：平移三角尺法.

方法2：尺規(guī)作圖（教師強(qiáng)調(diào)平行四邊形的畫(huà)法）.

通過(guò)學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖，使學(xué)生獲得直觀體驗(yàn)，為學(xué)習(xí)對(duì)邊、對(duì)角相等及探究性質(zhì)打下了基礎(chǔ).

（2）量一量：觀察并利用刻度尺和量角器度量一下它的邊和角.

要求：小組四人，分成兩組，一組測(cè)量長(zhǎng)度，一組測(cè)量角度.

每組中的兩人，一名同學(xué)測(cè)量，一名同學(xué)記錄.

學(xué)生動(dòng)手測(cè)量并填表：

表1

表2

（3）猜一猜：邊之間有什么關(guān)系？角之間有什么關(guān)系？

猜想主要是通過(guò)觀察、測(cè)量的方式在合情推理中得到，而證明猜想則需要引導(dǎo)學(xué)生用演繹推理，通過(guò)嚴(yán)格的幾何證明才能得以實(shí)現(xiàn).

猜想：______________________________________

（4）小組活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手操作探究，教師巡視指導(dǎo)；小組活動(dòng)結(jié)束后，教師提出由某小組派代表分享一下探究成果；學(xué)生展示，其他學(xué)生補(bǔ)充，教師總結(jié)提升.

（5）知識(shí)建構(gòu)：學(xué)生在動(dòng)手畫(huà)圖、測(cè)量等直觀操作的基礎(chǔ)上進(jìn)行猜想，可以使學(xué)生從多方面、多角度完善對(duì)平行四邊形性質(zhì)的認(rèn)識(shí).

（6）意義作用：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的探究能力、邏輯思維能力和推理論證能力，體現(xiàn)《課標(biāo)（2011）》中“以人為本，促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展”的教學(xué)理念.

活動(dòng)3：證一證

（1）問(wèn)題1：剛才同學(xué)們的猜想是否正確？我們需要運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行證明，你有好辦法嗎？

（2）學(xué)生思考：教師安排學(xué)生根據(jù)回答情況進(jìn)行小組合作交流，教師對(duì)學(xué)生的方法進(jìn)行指導(dǎo).

（3）問(wèn)題2：結(jié)合以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和剛才的拼圖過(guò)程，你能對(duì)上述猜想的合理性給出證明嗎？

學(xué)生獨(dú)立完成命題的證明過(guò)程，教師提醒學(xué)生注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性.

追問(wèn)1：添加輔助線的目的是什么？

追問(wèn)2：不添加輔助線，你能證明其對(duì)角相等嗎？

小組討論，學(xué)生代表發(fā)言，教師總結(jié)提升.

（4）性質(zhì)證明：師生一起分析已知、求證及解決方法（證對(duì)角相等有多種方法）；學(xué)生投影展示，寫(xiě)完后師生共同完善、幫助學(xué)生修改證明過(guò)程；教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，展示完整的證明過(guò)程，并給出定理的符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言，限于篇幅，略.

（5）知識(shí)建構(gòu)：連接平行四邊形的對(duì)角線是我們常作的輔助線，將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題.

（6）意義作用：通過(guò)證明過(guò)程的書(shū)寫(xiě)與交流，教師及時(shí)小結(jié)，讓學(xué)生感受由未知轉(zhuǎn)化為已知，由繁化簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步感受演繹推理的嚴(yán)密性，對(duì)論證幾何產(chǎn)生更深刻的認(rèn)識(shí).

通過(guò)上面的介紹可以看出，在課堂上開(kāi)展有效、多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)，可以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和掌握解決問(wèn)題的方法.學(xué)生從具體的問(wèn)題開(kāi)始就產(chǎn)生感性知識(shí)，而具體問(wèn)題的解決又能夠帶給學(xué)生關(guān)于事物的認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)行理性反思，自覺(jué)形成一個(gè)“感性—理性—感性”的思維過(guò)程.

三、幾點(diǎn)思考

1.對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的理解

筆者認(rèn)為基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在“做”中積累起來(lái)的，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得的，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)、形成數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，而我國(guó)的傳統(tǒng)教育比較強(qiáng)調(diào)教師的傳授，強(qiáng)調(diào)學(xué)生經(jīng)過(guò)艱苦努力、反復(fù)訓(xùn)練而達(dá)到對(duì)知識(shí)的理解及對(duì)技能的掌握，而對(duì)學(xué)生的自主探究、合作交流等重視不夠，學(xué)生學(xué)得比較被動(dòng).

知識(shí)不僅僅靠傳授，還需要自主探究與合作交流，知識(shí)只有打上學(xué)生自己的印記，才能成為自己的知識(shí)，才能被吸收、順應(yīng)和同化，學(xué)生如果沒(méi)有親歷數(shù)學(xué)活動(dòng)就談不上經(jīng)驗(yàn).正如荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所說(shuō)：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動(dòng)，這種活動(dòng)與游泳、騎自行車一樣，不經(jīng)過(guò)親身體驗(yàn)，僅僅從看書(shū)本、聽(tīng)講解、觀察他人的演示中是學(xué)不會(huì)的.”

學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)獲得相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不僅可以提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力，幫助學(xué)生打通新知識(shí)和舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)，體會(huì)到知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，也可以降低知識(shí)的抽象性，幫助學(xué)生快速把精力聚焦到新知識(shí)中，并引發(fā)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的思考.另外，有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)對(duì)于學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、形成數(shù)學(xué)觀念等都具有十分重要的作用.

2.有效數(shù)學(xué)活動(dòng)的特征

數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，《課標(biāo)（2011）》指出：“教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程.有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.”首先，數(shù)學(xué)活動(dòng)以有關(guān)操作活動(dòng)為基礎(chǔ).皮亞杰認(rèn)為：思維是從動(dòng)作到發(fā)展，如果切斷了活動(dòng)與思維之間的聯(lián)系，思維就不能發(fā)展.因此教師在課堂上要注意讓學(xué)生多動(dòng)手操作，多動(dòng)腦思考.同時(shí)要有明確的目標(biāo)指向，比如，以獲得有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)、形成一定的數(shù)學(xué)技能為目的，或者以學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維方式為目的，或者以感受數(shù)學(xué)思想、逐步形成數(shù)學(xué)觀念為目的.其次，數(shù)學(xué)活動(dòng)重視知識(shí)發(fā)展過(guò)程.讓學(xué)生在自主探究、合作交流過(guò)程中，開(kāi)展持續(xù)深入的思維活動(dòng)，在活動(dòng)中自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，解釋和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí).最后，數(shù)學(xué)活動(dòng)重視學(xué)生親身實(shí)踐.給學(xué)生提供探索的空間，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，這有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí).

3.有效數(shù)學(xué)活動(dòng)的形式

《課標(biāo)（2011）》指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程.認(rèn)真聽(tīng)講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流，等都是學(xué)習(xí)的重要方式.”學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程，數(shù)學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生認(rèn)知水平和已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上.

有效數(shù)學(xué)活動(dòng)的形式不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)等，也可以采用書(shū)寫(xiě)、畫(huà)圖、測(cè)量、操作演示、展示交流、小組合作等多種形式，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程.

4.在數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)中易出現(xiàn)的問(wèn)題

（1）活動(dòng)任務(wù)過(guò)多、過(guò)雜，分不清主次，教學(xué)任務(wù)完成不了，因此，學(xué)習(xí)任務(wù)要重點(diǎn)突出，數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)要遵循“少即是多”的原則.

（2）學(xué)生自主思考的時(shí)間過(guò)短，每個(gè)環(huán)節(jié)教師都只留1～2分鐘的時(shí)間，學(xué)生幾乎沒(méi)有時(shí)間去思考，為了不影響教學(xué)進(jìn)度，教師往往采取提問(wèn)學(xué)優(yōu)生或自問(wèn)自答的方式來(lái)推進(jìn)教學(xué).

（3）學(xué)生缺少高階思維問(wèn)題的挑戰(zhàn)，課堂中教師將大量時(shí)間放在復(fù)習(xí)舊知、重復(fù)訓(xùn)練和夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)之上，學(xué)生解決高階思維問(wèn)題的時(shí)間和空間十分有限，這就使得學(xué)生的學(xué)習(xí)一直處于“記憶、模仿”的低階思維階段，學(xué)生的能力得不到有效提升.

總之，教師要通過(guò)精心設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，獲得相關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).重視知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，關(guān)注學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)“火熱”的思考，在活動(dòng)中提升思維品質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)方法，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng).