聚焦主題精選學(xué)材，由淺及深漸次展開
——以“線段之間數(shù)量關(guān)系”專題復(fù)習(xí)課為例

☉江蘇省海門市能仁中學(xué) 陸新鋒

幾何綜合復(fù)習(xí)階段，常常有一類探究三條線段之間數(shù)量關(guān)系的綜合題，這類問題學(xué)生往往找不準(zhǔn)求解方向，導(dǎo)致思路受阻.為了幫助學(xué)生做好復(fù)習(xí)，我們圍繞專題開展了精準(zhǔn)復(fù)習(xí)，起到了一定的效果，本文梳理這節(jié)專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)流程，并給出教后思考，供研討.

一、“線段之間數(shù)量關(guān)系”專題復(fù)習(xí)課

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 經(jīng)典問題，回顧性質(zhì)

經(jīng)典問題1：如圖1，等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，連接AP，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到PQ位置，連接CQ，求證PC+CQ=AC.

教學(xué)預(yù)設(shè)：可以在AC上取一點(diǎn)H，構(gòu)造等邊三角形CQH，進(jìn)一步證明△AQH △PQC，可以構(gòu)造AH=PC，HQ=QC=HC，于是AC=AH+HC=PC+CQ.問題獲證.證后還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生“成果擴(kuò)大”，認(rèn)識這個(gè)問題還能得到如下一些結(jié)論或性質(zhì)，比如，連接AQ，△APQ是等邊三角形，CQ是△ABC的一個(gè)外角平分線，點(diǎn)Q一定在該外角的平分線上，等等.

圖1

圖2

經(jīng)典問題2：如圖2，過正方形ABCD的頂點(diǎn)引一條射線DG，過點(diǎn)B作BG⊥DG，垂足為點(diǎn)G，連接CG.探究DG、CG、BG的數(shù)量關(guān)系.

教學(xué)預(yù)設(shè)：由∠BCD、∠BGD都是直角，可確認(rèn)B、C、G、D四點(diǎn)共圓，于是∠BGC=45°，利用這個(gè)特殊角度構(gòu)造等腰直角三角形CGN，進(jìn)一步證明△BCN △CDG，可以溝通.從而有.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 例題探究，學(xué)會轉(zhuǎn)化

例1（北京人大附中2018年12月初三考卷）如圖3，∠MON=α（0°＜α＜90°），A為OM上一點(diǎn)（不與O重合），點(diǎn)A關(guān)于直線ON的對稱點(diǎn)為B，AB與ON交于點(diǎn)C，P為直線ON上一點(diǎn)（不與O、C重合），將射線PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角，其中2α+β=180°，所得到的射線與直線OM交于點(diǎn)Q.

這個(gè)問題中，點(diǎn)P的位置和角α的大小都不確定，在這里我們僅研究兩種特殊情況，更一般的情況留給同學(xué)們深入探索.

（1）如圖3，當(dāng)α=45°時(shí)，β=90°，若點(diǎn)P在線段OC的延長線上，

①依題意補(bǔ)全圖形；

②求∠PQA-∠PBA的值.

（2）如圖4，當(dāng)α=60°，點(diǎn)P在線段CO的延長線上時(shí)，用等式表示線段OC、OP、AQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

教學(xué)預(yù)設(shè)：先安排補(bǔ)全圖形，如圖5，探究∠PQA-∠PBA的值有兩種典型思路.思路之一，將∠PBC等量代換到∠QPO，然后就能利用△POQ的外角性質(zhì)得出∠PQA-∠QPO的值為∠MON（45°）；思路之二，連接OB，確認(rèn)四邊形OBPQ是對角互補(bǔ)的四邊形，則∠PQA=∠PBO，于是∠PQA-∠QPO轉(zhuǎn)化為∠PBO-∠QPO，再轉(zhuǎn)化為∠CBO（45°）.

在第（2）問中，當(dāng)α=60°時(shí)，可得β=60°，如圖6，連接OB，可以發(fā)現(xiàn)圖形中有一個(gè)基本圖形，引導(dǎo)學(xué)生利用開課階段復(fù)習(xí)的“經(jīng)典問題1”，可在OQ上取一點(diǎn)H，構(gòu)造等邊三角形OPH，從而得到OQ=OB+OP，進(jìn)一步利用OB=OA=2OC，可得AQ=4OC+OP.

例2（北京十一學(xué)校2018年12月初三考卷）如圖7，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=α，點(diǎn)D為AC的延長線上一點(diǎn)，連接BD，作AE⊥BD于點(diǎn)E，將射線AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后，所得的射線與BD的延長線交于點(diǎn)F，連接CE.

（1）①依題意補(bǔ)全圖形；

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

②當(dāng)∠CAB=α?xí)r，用含α的代數(shù)式表示∠AEC為_______.

（2）當(dāng)AC=BC時(shí)，用等式表示線段AF、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖8

教學(xué)預(yù)設(shè)：先補(bǔ)全圖形，如圖8，容易確認(rèn)點(diǎn)A、B、E、C共圓，于是∠AEC=∠ABC，而∠ABC=90°-α，則第（1）問獲解.第（2）問中的三條線段比較“分散”，先確定，接下來集中精力思考BE、AE、CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，可聯(lián)想到上面的“經(jīng)典問題2”，構(gòu)造等腰直角三角形CEG，可得進(jìn)一步可代換得

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 繼續(xù)前進(jìn)，變式拓展

例3（北京交大附中2018年10月）如圖9，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點(diǎn)C在△ABC外作射線CE，且∠BCE小于45°，點(diǎn)B關(guān)于CE的對稱點(diǎn)為D，連接AD、BD、CD，其中AD、BD分別交射線CE于點(diǎn)M、N.你發(fā)現(xiàn)線段AM與CN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的發(fā)現(xiàn).

圖9

教學(xué)預(yù)設(shè)：連接BM，學(xué)生需要先證出BM⊥AD，進(jìn)而確認(rèn)△ABM是直角三角形，△BMD是等腰直角三角形.這樣由勾股定理可得AB2=AM2+BM2，BM2=2BN2，BC2=BN2+CN2，AB2=2BC2，這樣就可代換得AM2+BM2=2BN2+2CN2，于是，AM2+BM2=BM2+2CN2，于是AM2=2CN2，即

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 課堂小結(jié)，拓展思考

圍繞本課所學(xué)，安排學(xué)生小組交流學(xué)習(xí)了哪些新的內(nèi)容，對幾條線段之間數(shù)量關(guān)系的探究有了哪些新的認(rèn)識或理解，各小組推薦兩人到講臺前向大家匯報(bào)交流，談本課所學(xué)的收獲.然后出示如下拓展題.

拓展題：如圖10，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，當(dāng)∠EAF=∠EFC=45°時(shí)，分析線段BE、EF、DF之間的數(shù)量關(guān)系.

圖10

圖11

圖12

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會有困難，這里可先出示鋪墊式問題，如圖11，等腰直角三角形ABC中，∠ECF=45°，這是一個(gè)經(jīng)典問題，學(xué)生應(yīng)該能想起該圖的一個(gè)經(jīng)典結(jié)論于是可以想到構(gòu)造圖12這樣的等腰直角三角形AGH，問題獲得有效轉(zhuǎn)化，相繼發(fā)現(xiàn)可代換得

二、教后思考

1.專題復(fù)習(xí)課需要聚焦主題與精選學(xué)材

我們知道，專題復(fù)習(xí)課在選題上呈現(xiàn)出以題型來選題，或者以知識點(diǎn)來選題的備課價(jià)值觀，這種選題的指導(dǎo)思路之下，很多習(xí)題雖然題型相同、知識點(diǎn)相近，但是解題策略、思路方法大相徑庭，無法做到聚焦主題.這就要求我們在研發(fā)、打磨專題復(fù)習(xí)課時(shí)，把聚焦主題作為第一追求，在此基礎(chǔ)上精選學(xué)材，學(xué)材的來源可以是教材上例題、習(xí)題、拓展題，也可是各地中考題中的相關(guān)素材，但這些素材選定之后，并不能簡單地直接拿來，還需要進(jìn)一步整合、刪減、改編或拓展生長.本課例就是由兩道北京名校最新考題出發(fā)，“思前想后”→整合素材→生成學(xué)材.

2.專題復(fù)習(xí)課需要由淺及深與漸次推進(jìn)

專題復(fù)習(xí)課在選定素材、生成學(xué)材之后，還需要由淺及深、漸次呈現(xiàn)這些學(xué)材內(nèi)容.在上文課例中，我們選擇的是從兩個(gè)“經(jīng)典問題”（學(xué)生在八年級就已對相關(guān)練習(xí)進(jìn)行過訓(xùn)練）出發(fā)，先復(fù)習(xí)確認(rèn)已有性質(zhì)或求解經(jīng)驗(yàn)，再依次給出兩道幾何綜合題，先由學(xué)生獨(dú)立探究出三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并且小結(jié)在黑板上，為后續(xù)探究問題提供轉(zhuǎn)化方向.本課主要教學(xué)用時(shí)花在例1、例2的研究上，這兩道習(xí)題都需要先補(bǔ)全圖形，再構(gòu)造輔助線轉(zhuǎn)化為熟悉的“經(jīng)典問題”.教學(xué)過程中，要注意向?qū)W生滲透和傳遞“回到經(jīng)典問題去解題”的解題與探索方法.此外，專題復(fù)習(xí)課在預(yù)設(shè)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中的較難習(xí)題時(shí)，還應(yīng)注意鋪墊設(shè)問與適當(dāng)“留白”相結(jié)合，既讓大多數(shù)學(xué)生在鋪墊設(shè)問下體驗(yàn)到挑戰(zhàn)難題的自信，又讓少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生能在適度留白式的探究中體驗(yàn)到攻克較難習(xí)題的樂趣.在上文課例中的經(jīng)典問題與例1、例2的探究中可體現(xiàn)出鋪墊設(shè)問的教學(xué)價(jià)值；而在最后環(huán)節(jié)的拓展題中又是“留白”式的教學(xué)安排，只適合少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生獨(dú)立探究、實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化，教師在教學(xué)組織時(shí)也可根據(jù)學(xué)情相機(jī)進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹敖虒W(xué)干預(yù)”（提供幫助或鋪墊式問題）.