幾何解題教學(xué)用力點(diǎn)：圖形變換后的不變性
——從一道八年級(jí)全等把關(guān)題的講評(píng)說起

☉江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)附屬初中 張祖翼

熟悉初中各年級(jí)教學(xué)的同行都有這樣的印象，學(xué)生進(jìn)入初中階段的第二次分水嶺是幾何的學(xué)習(xí)與證明，特別是圖形變換之后數(shù)量關(guān)系之間的變化與不變性質(zhì)是研究的熱點(diǎn)問題.而對(duì)這類問題的講評(píng)，深入思考下去，會(huì)啟示我們?cè)诓煌昙?jí)幾何教學(xué)用力點(diǎn)的話題.本文從一道八年級(jí)把關(guān)題的講評(píng)說起，對(duì)不同年級(jí)幾何解題教學(xué)用力點(diǎn)給出筆者的理解和思考.

一、從一道八年級(jí)全等把關(guān)題的講評(píng)說起

考題1：已知，如圖1，邊長(zhǎng)為5的等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，以DF為一邊作等邊三角形DEF，連接BE.

圖1

圖2

（1）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖2），求證：BE+BF=AC.

（2）如圖1，當(dāng)AD=1時(shí)，求BE+BF的值.

閱卷手記：這道試題位于八年級(jí)期末試卷倒數(shù)第二題的位置，屬于把關(guān)題的難度.從閱卷情況來看，第（1）問的得分率為40%，第（2）問的得分率為15%.

講評(píng)記錄：第（1）問的方法較多，這里只提一種，如圖3，在AC上取一點(diǎn)M，使CM=CF，連接MF.

圖3

圖4

容易得出△CMF是等邊三角形，先證明△ABE△ACF，可得到條件有助于證明△BEF △MFA，于是問題獲得突破.

對(duì)于第（2）問，只要向第（1）問轉(zhuǎn)化就可順利解決，如圖4，過點(diǎn)D作DG//AC，交BC于點(diǎn)G.容易得出等邊三角形DBG，這樣問題就轉(zhuǎn)化為第（1）問的思路了，這里略去.

為了追求較好的講評(píng)效果，我們還給出了如下的變式跟進(jìn).

變式跟進(jìn)：如圖5，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，另一個(gè)等腰直角三角形DEF的直角頂點(diǎn)D在射線AB上，頂點(diǎn)F在射線CB上，連接BE.分析線段BE、BD、BF之間的數(shù)量關(guān)系.

圖5

圖6

解法預(yù)設(shè)：如圖6，過點(diǎn)D作DG//AC交CB于點(diǎn)G，可得等腰直角三角形BDG，再證明△BDE △GDF，可得BE=GF，從而溝通BG與BD的數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)問題突破.

還可將圖形變式，如圖7，點(diǎn)D在邊AB上，其余條件不變，仍然可過點(diǎn)D作DG//AC交BC于點(diǎn)G，實(shí)現(xiàn)問題解決.

圖7

二、七年級(jí)幾何解題教學(xué)的用力點(diǎn)

根據(jù)教學(xué)觀察，不少學(xué)生進(jìn)入八年級(jí)就對(duì)上述變換類的幾何題非常不適應(yīng)，有些學(xué)生直言“第一小問有時(shí)還能想到思路，但是圖形變式之后就難有思路了”.由此想到不同年級(jí)幾何解題教學(xué)的用力點(diǎn)的相關(guān)話題，比如，這種類型問題的解題策略應(yīng)該在七年級(jí)就需要強(qiáng)化訓(xùn)練，也應(yīng)該是七年級(jí)幾何解題教學(xué)的用力點(diǎn).以下就結(jié)合具體題例的講評(píng)進(jìn)一步闡述.

考題2：如圖8，點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，M、N分別是線段AB、AP的中點(diǎn)，若BP=6，求線段MN的長(zhǎng).

教學(xué)記錄：七年級(jí)學(xué)習(xí)時(shí)，不少學(xué)生都表示這道試題有點(diǎn)兒難，為了求得較好的講評(píng)效果，我們預(yù)設(shè)以下一些鋪墊式問題.

鋪墊問題1：如圖9，AB=6，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).

圖9

鋪墊問題2：如圖10，AB=6，點(diǎn)C是線段AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).

鋪墊問題3：如圖11，AB=6，點(diǎn)C是線段AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).

圖9

圖10

圖11

圖12

鋪墊問題4：如圖12，AB=6，點(diǎn)C是線段AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).

學(xué)生理解了圖12之后，就可以將字母直接替換成圖8中的字母，解題步驟完全相同.

接下來，還可以安排學(xué)生繼續(xù)思考從線段“雙中點(diǎn)”到角“雙角平分線”變式問題：

變式1：如圖13，已知∠AOB=100°，OC是∠AOB內(nèi)部一條射線，OM、ON分別是∠AOC和∠BOC的平分線.求∠MON的度數(shù).

圖13

圖14

變式2：如圖14，已知∠AOB=100°，OC是∠AOB外部一條射線，OM、ON分別是∠AOC和∠BOC的平分線.求∠MON的度數(shù).

讓學(xué)生把線段的雙中點(diǎn)、角的雙角平分線放在一起研究，想清辨明“它們都是一樣的”，就可以加深對(duì)這類問題的理解，對(duì)八年級(jí)再遇到圖形變換之后的全等探究也十分有益.

二、關(guān)于幾何解題教學(xué)的進(jìn)一步思考

1.七年級(jí)起始階段注重幾何語句的組織與規(guī)范

學(xué)生進(jìn)入初中階段有幾個(gè)關(guān)鍵期.一是有理數(shù)初學(xué)階段有理數(shù)運(yùn)算問題中的符號(hào)容易出錯(cuò).第二個(gè)關(guān)鍵期就是進(jìn)入幾何學(xué)習(xí)，幾何圖形初步學(xué)習(xí)時(shí)，有兩大障礙，一是幾何符號(hào)語言的適應(yīng)性，以及幾何解題語句、解題步驟的組織.不少學(xué)生在處理線段、角的計(jì)算問題時(shí)，常常只有算式而沒有幾何步驟，這些都是小學(xué)階段幾何圖形計(jì)算問題的解題慣習(xí)，需要較長(zhǎng)時(shí)間的訓(xùn)練才能逐步到位.而幾何語句的規(guī)范表達(dá)又要靠學(xué)習(xí)幾何圖形的定義、表示、性質(zhì)時(shí)進(jìn)行示范，讓學(xué)生熟記線段中點(diǎn)定義、角平分線定義、互余定義、互補(bǔ)定義等符號(hào)表達(dá)，靈活運(yùn)用等式性質(zhì)、等量代換進(jìn)行幾何語句組織、書寫，都是七年級(jí)幾何初學(xué)階段的訓(xùn)練重點(diǎn).特別是，像上文提到的線段的雙中點(diǎn)、角的雙角平分線問題，就不只是簡(jiǎn)單地停留在會(huì)算的層次上，而要讓學(xué)生學(xué)會(huì)這些習(xí)題的語句表達(dá)、詳細(xì)證明，這樣有利于八年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)像上文“考題1”這類圖形變換問題.

2.八年級(jí)幾何證題注意圖形變換前后的不變性

幾何研究圖形的形狀、大小、位置，也研究圖形變換，如平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換.像上文考題1，由動(dòng)點(diǎn)引發(fā)動(dòng)形之后相應(yīng)線段之間的關(guān)系也是常見習(xí)題.特別是當(dāng)圖形變換之后線段之間、角之間的“變化”或“不變性質(zhì)”常常是研究的重點(diǎn)與熱點(diǎn)問題.對(duì)于七年級(jí)線段“雙中點(diǎn)”距離的不變性質(zhì)或“雙角平分線”夾角的不變性質(zhì)來說，到了八年級(jí)的全等變換之后，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系不一定還是原來的關(guān)系，但是證明的思路，特別是輔助線的添加、轉(zhuǎn)化的策略是一樣的.這些都需要我們?cè)诮忸}教學(xué)時(shí)向?qū)W生傳遞、滲透.

3.九年級(jí)繁雜線條幾何題要善于分離、聚焦圖形

九年級(jí)的幾何學(xué)習(xí)主要是圓和相似三角形，圖形中的線段繁雜，且會(huì)將七、八年級(jí)特殊三角形、特殊四邊形融合在圓中，并且往往涉及相似的探究，所以難度會(huì)較大.解題教學(xué)時(shí)，需要向?qū)W生傳遞滲透分離圖形的能力、聚焦圖形的意識(shí)，前者是提高學(xué)生抗干擾的能力，后者是學(xué)會(huì)識(shí)別、善于發(fā)現(xiàn)常見圖形的能力.比如，圓中垂徑定理的相關(guān)習(xí)題，常常要連接半徑、作弦心距等，這些輔助線的主要功能是將問題轉(zhuǎn)化為特殊三角形來研究.再比如，繁雜圖形中相似三角形的識(shí)別就需較強(qiáng)的分離、聚焦圖形的能力，根據(jù)條件分析出待證明相似的兩個(gè)三角形并用陰影表示出來，標(biāo)注恰當(dāng)?shù)姆?hào)與待證元素之間的關(guān)系，為明確解題方向提供幫助.

三、寫在后面

代數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)告訴我們，像方程多會(huì)有一般形式與非一般形式，求解時(shí)往往要將方程化為一般形式以便于進(jìn)一步解答.而幾何的很多求證問題也有類似的一般形式（我們常常稱為“標(biāo)準(zhǔn)圖形”）和非一般形式（“非標(biāo)準(zhǔn)圖形”）.幾何證題能力強(qiáng)的學(xué)生，往往能在繁雜、難以辨識(shí)的“非標(biāo)準(zhǔn)圖形”中向“標(biāo)準(zhǔn)圖形”轉(zhuǎn)化.想來，這種“一般化”“標(biāo)準(zhǔn)化”的能力也就是我們?cè)跀?shù)學(xué)解題教學(xué)過程中的用力點(diǎn).