培養建模意識，提升學生數學知識的應用能力

☉江蘇省海安市海陵中學 陳靈芝

學習知識是為了應用，學生只有在應用中才能更加深刻地體會數學知識的價值，他們也將由此而更加深刻地品味到數學研究的價值所在，進而更加有效地對知識形成理解.事實上，我們很多學生由于缺乏建模意識，以致于無法準確地把握數學知識的應用方法，這在很大程度上干擾了學生數學能力的提升.為此，筆者認為必須在教學中關注學生建模意識的培養，這將有效促進學生的數學學習.

一、建模意識和數學應用

數學建模和數學應用本就是一體兩面的事情，因為將數學應用于實際問題的分析和處理，首先就要求研究者能夠從真實的場景中將數學模型提煉出來，然后應用對應的數學規律刻畫有關量之間的關系，進而完成問題解決.就數學教學而言，培養數學建模意識，發展學生的數學應用能力，顯然還有其更加關鍵的意義，這是教師必須要明確認識的.

1.數學知識與社會實踐的關聯

數學概念、理論和一系列方法都是對真實世界的反映，是人們對客觀存在的一種抽象認識，以及對自身經驗的一種總結.因此，在教學初中數學時，要充分體現“從生活學習數學，由數學走向社會”的基本理念，讓學生真正將數學知識和自身經驗融合起來，讓他們將數學思維運用于問題的分析和解決.在這一系列活動中，建模思維將成為一個關鍵的銜接點，成為學生立足數學、放眼世界的重要基石.

2.建模意識是數學抽象的起點

對學生而言，數學因何而難？對數學愛好者來講，數學因何而美？筆者認為抽象性是上述兩個問題共同的答案.在數學研究中，當人們運用數學知識和方法研究客觀世界的現象時，都要經歷一個數學抽象的過程，而建模意識應該是這一過程的起點.在引導學生學習初中數學時，教師要善于啟發學生充分經歷情境的分析過程，并全方位體驗由情境到模型的思路建構過程，這樣處理有助于培養學生的抽象能力，當然也有助于學生建模意識的發展.

3.數學建模和實際問題的解決

實際問題往往具有很強的開放性，其中可能包括一些冗余條件，當然也可能缺少部分條件，這些需要研究者對問題情境進行抽絲剝繭，架構相關量之間的關系，并結合自己對數學規律的理解，選擇方程、函數、幾何等理論來匹配模型的建立.因此，我們可以發現，數學建模完全不同于以往的數學習題練習，學生在培養相關意識和能力時，不能局限于部分習題的聯系，教師要善于提供一些鮮活而生動的問題給學生，讓學生自己通過閱讀提煉條件，并最終實現問題的解決.

二、初中數學課堂培養學生建模意識的基本策略

在初中數學課堂上，教師要注意研究學生的思維特點和認知規律，在此基礎上設計相應的策略，從而發展學生的建模意識.

1.創設生動的數學情境，激起建模熱情

學生的數學學習活動都要在一定的情境中進行，良好的情境能夠更加有效地激活學生的探究熱情和好奇心理，從而讓其帶著飽滿的熱情參與到數學問題的探索之中.在初中數學課堂上，教師要積極研究學生的知識結構和思維特點，從學生熟悉的生活背景取材，將趣味性、懸念性等學生感興趣的元素融入到情境創設之中，并輔以富有啟發性的設計，引導學生在具體問題的分析過程中感受和體驗數學建模的整個過程，進而觸發潛藏在學生內心深處的數學探索欲望，將學生的建模靈感徹底激活.

2.鼓勵學生感悟真實生活，培養建模思維

數學建模不只是一種數學問題的研究方法，更是一種思維方式，是一種充滿理性之美的生活態度.很多數學建模活動都有與之對應的生活原型，涉及生活中很多與之相關的其他知識，因此在數學教學中，教師要鼓勵學生經常接觸社會，豐富生活閱歷，引導學生逐步將建模思維延伸到生活之中，逐漸達成“拳不離手、曲不離口”的學習效果.

在建模教學的過程中，教師要積極從學生的生活周邊尋找素材，并以此為背景設計數學問題，引導學生運用歸納、分析、推理的方法研究題意，從中提煉出數學模型，并最終在模型分析的過程中，形成建模意識，發展思維.

比如，在一次函數的教學過程中，教師可以從不同的生活場景中選擇素材，引導學生展開探索，并推動學生建模思維的訓練.生活背景1：某手機打車軟件搞推廣優惠，提出凡使用該軟件打車，起步價為8元，超過規定的公里數，每公里加收3元，則打車總費用y和所超過的公里數x之間的函數關系是怎樣的？生活背景2：某彈簧的原長為8厘米，現在用一定的拉力來拉這根彈簧，發現拉力每增大1牛頓，則彈簧的長度就增長3厘米，彈簧總長度y與增大的拉力值x之間的函數關系是怎樣的？生活背景3：一個農場主準備規劃種植蔬菜的農田面積，他原本準備在一個長度為米、寬度為3米的長方形地塊上種蔬菜，現在準備將長度延長x米，則菜地總面積y與延長的長度x之間的函數關系是怎樣的？

通過上述函數關系的研究，學生會發現雖然上述列舉的情境存在明顯差別，但是最后的函數模型是同一個，即y=3x+8.學生也將由此而感悟到數學知識的巧妙之處.

3.注意發散思維的培養，拓寬建模思路

受思維定式或學習方法的制約，很多學生在具體問題的處理過程中，往往采用一種固化的模式分析和解決問題，這顯然是數學學習的大忌.事實上，靈活性和全面性才是數學思維最本質的特點.學生在進行建模訓練時，往往需要將一定的條件和要研究的目標聯系起來，事實上這種聯系并不唯一，很多時候是綜合且多向的.為此，初中數學教師在培養學生的建模意識時，要注意鍛煉學生的發散思維，由此來幫助學生掙脫單一思維的約束，以更加開闊的視角研究和分析問題，進而拓展自己的建模思路，讓自己的思維更加靈活且深刻.

比如，在學生已經對三角形的有關規律形成認識之后，筆者設計了這樣的問題情境：現有如圖1所示的池塘，A、B兩點分別位于池塘兩端，現在要測定兩點之間的距離，但是不能用尺直接測量，有什么辦法可以間接完成這個任務呢？

以上是一個典型的強調發散性思維的問題，學生通過分析可以建立這樣一些模型進行處理：（1）構建一個三角形及其中位線，利用中位線的特殊性質來解決問題；（2）構建兩個三角形，從全等或者相似的角度來解決問題；（3）構建一個正三角形或等腰三角形，然后完成問題求解；（4）構建直角三角形，通過勾股定理完成問題等.教師如果不限定學生思考的方向，鼓勵學生多維度探索和研究，就能得出很多意想不到的結論.

4.強調數學模型的分類，引導反思和總結

教學中，教師不能讓學生固化思維模式，同時要引導學生在反思和總結中完成方法的歸納.就建模意識的培養來講，學生務必要注意數學模型的分類.學生在初中數學的學習過程中所接觸的數學模型包括方程組和不等式、函數模型、統計模型和幾何模型等.學習數學時，學生要在具體問題的分析中進行反思和總結，由此對建模思維的本質產生更加深刻的把握.

學生運用建模思想處理問題時，往往是結合一定的規律搭建不同量之間的關系，然后用方程、函數等數學工具將有關內容串聯起來，在此基礎上結合運算將相關量之間的關系梳理出來，并最終完成問題的解決.當然，在分析處理之后，學生還要聯系實際分析結果的合理性，比如，利用方程分析某一實際問題，而這個實際問題的數據不能是負數，這必然要求學生對方程中可能出現的負數解做一個解釋或篩選.