GPS/INS超緊組合載波跟蹤環路最優帶寬在線設計

許蕭寒，王可東

北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191

在GPS (Global Positioning System)接收機設計中，載波鎖相環(Phase Locked Loop, PLL)用來完成對接收載波信號的本地復制，并對其相位和頻率進行鎖定，是衛星導航接收機的關鍵技術。為了提高接收機對環路噪聲的抑制能力，要求載波環路采用較小的噪聲帶寬和較長的預檢測積分時間。但是，為提高接收機對載體動態的跟蹤能力，又需要環路采用較大的噪聲帶寬和較短的預檢測積分時間[1]。為解決此問題，文獻[2]應用四陣元圓心陣的抗干擾算法從硬件設計角度提高了接收機的抗干擾能力；文獻[3]提出了兩級快速傅里葉變換多普勒頻率捕獲方法提高了多普勒頻率估計精度；文獻[1]采用鎖頻環(Frequency Locked Loop, FLL)輔助并采取差分相干累加比特同步算法以增強PLL環路的抗干擾性能以及對載體高動態的跟蹤能力;文獻[4-5]應用無跡卡爾曼濾波器、擴展卡爾曼濾波器取代傳統環路中的鑒別器和低通濾波器以提高載波環路的動態跟蹤性能。當前，隨著慣導技術的普及，利用慣導系統(Inertial Navigation System, INS)與GPS構成組合導航系統，并通過校正后的INS提供載體動態信息與衛星星歷信息計算多普勒頻移，輔助接收機對GPS信號的跟蹤成為了同時提高接收機抗噪能力和動態跟蹤能力的有效途徑。

目前對INS/GPS超緊組合導航系統的研究中，在跟蹤誤差建模的研究方面，文獻[6]針對二階載波跟蹤環路將INS多普勒輔助誤差拆分為噪聲項和偏置項進行計算，并針對低動態載體推導了輔助誤差計算方法。

在跟蹤誤差的計算方式研究中，文獻[7]給出的環路跟蹤誤差的計算方法，文獻[8]在設定動態應力上限的條件下驗證了INS輔助下環路帶寬的下降；在只考慮熱噪聲和動態應力的情況下，文獻[9-10]針對固定的載噪比和載體動態情況，通過計算跟蹤誤差均方差對帶寬偏導數等于0來求解最優帶寬；文獻[11]利用實時檢測的信號載噪比，以載體典型動態為基準建立了載噪比與最優帶寬的查找表。然而，上述方案對實時變化的載噪比和INS動態輔助殘差的應用尚且比較缺乏，易出現實際動態條件偏離設計點而導致帶寬的計算喪失最優性。

在最優帶寬實時計算方法的研究中，文獻[12-13]通過仿真數據建立了最優帶寬與信號載噪比的一次、二次函數關系，結合載噪比的測量新息計算各時刻的最優帶寬；文獻[14]在未考慮INS輔助的情況下以熱噪聲和動態應力誤差的能量最小為目標函數，使用離散牛頓二階梯度法迭代解算最優帶寬，然而目標函數計算復雜，需要100次迭代才能計算得到最優帶寬；文獻[7]基于載噪比信息將環路帶寬的計算劃分為2種模式，并通過固定帶寬增量的方式來計算門限帶寬和最優帶寬，然而其收斂速度和收斂精度受到設定步長的影響，因而目前缺少能夠以較小計算量實時計算最優帶寬的設計方案。

針對當前研究中出現的問題，本文推導了多普勒頻率估計誤差及多普勒頻率變化率估計誤差的計算方法，針對二階載波跟蹤環路給出了INS動態估計殘差的統計指標，在此基礎上綜合考慮熱噪聲、機械振動、晶振Allan方差等誤差源的影響，結合實時測定的載噪比信息，應用二階梯度法對載波跟蹤環路最優帶寬進行實時迭代解算，提供了一種根據載體實際運動情況實時計算環路最優帶寬的方式，有助于在實際工況下提高接收機載波環路的跟蹤性能。

1 INS輔助載波跟蹤環路建模

INS輔助GPS接收機載波跟蹤環路誤差傳播結構可以建模為如圖1所示的控制環路。

圖1 載波跟蹤環路誤差傳播Fig.1 Doppler aiding carrier tracking loop error propagation

因此相位跟蹤誤差可以表示為：

Δφ(s)=H(s)Δφt(s)+[1-H(s)]Δφvib(s)+

[1-H(s)]ΔφAllan(s)+Hd(s)Δφd(s) (1)

其中各部分傳遞函數可以表示為：

(2)

由式(2)中各誤差源的傳遞函數可知，熱噪聲為寬帶噪聲，帶寬越大其引發的跟蹤誤差越大；而機械振動、晶體Allan方差、多普勒輔助誤差等誤差源為窄帶噪聲，帶寬越小其引發的跟蹤誤差越大。因此，當INS/GPS超緊耦合系統帶寬降低時，需要綜合考慮各類誤差源的影響，進而進行最優帶寬的設計。

2 載波環跟蹤誤差建模

PLL環路1σ跟蹤誤差σPLL可以表示為：

(3)

在INS輔助條件下，接收機可以得到多普勒信息的有效估計，但是其估計誤差依舊需要PLL環路進行跟蹤。若PLL采用二階環路的形式，則多普勒頻率估計誤差將以噪聲的形式影響跟蹤精度，而多普勒頻率變化率估計誤差將以穩態誤差的形式影響跟蹤精度。

(4)

對于二階PLL環路，由INS計算的多普勒頻率變化率估計誤差將造成環路的穩態跟蹤誤差θRR，其具體形式為：

(5)

式中：穩態跟蹤誤差的幅度ARR由多普勒頻率變化率估計誤差的精度σafd決定，即ARR≈3σafd[6]。由式(4)(5)可知，INS輔助信息的精度直接影響著PLL環路的相位跟蹤精度，因此σfd，σafd的在線估計是PLL跟蹤誤差實時計算的必要步驟。

在INS/GPS超緊耦合系統中，通過INS輸出的接收機位置、速度信息以及衛星星歷信息計算多普勒頻率測量值，其具體計算方式為：

(6)

式中：fd為載波信號的多普勒頻率;e為視線方向向量;vR為接收機速度向量;vS為衛星速度向量;λ為載波波長。

(7)

(8)

其中符號上方的“～”均表示帶有誤差的值。用式(8)減去式(7)，且忽略由載體位置估計誤差引起的視線方向偏差，可得多普勒頻率估計誤差為：

(9)

因此，多普勒頻率估計誤差的方差可以計算為：

(10)

在慣導遞推周期中，P(ΔvR)可用一步預測協方差陣中速度誤差協方差陣，在組合濾波周期中P(ΔvR)可用量測更新協方差陣中速度誤差協方差進行計算。

對式(10)兩邊求導可得多普勒頻率變化率估計誤差：

(11)

式中：I為3行3列的單位矩陣。將式(12)代回式(11)可得多普勒頻率變化率估計誤差為：

(13)

因此多普勒頻率變化率估計誤差的方差可以計算為：

(15)

至此，結合式(4)(5)(10)(14)(16)，可以實時計算由INS輔助誤差引起的相位抖動和穩態跟蹤誤差。

3 最優帶寬計算

3.1 載噪比C/N0的實時測定

在接收機某一通道中，以Tcoh為相干積分時間，通過連續M組即時相干積分值Ip(n)、Qp(n)來計算第k個相關積分周期時寬帶功率Pwb(k)和窄帶功率Pnb(k)，并計算二者的比率Pnw(k)：

(17)

為降低Pnw(k)中的噪聲量，先對Pnw(k)進行K組平均，進而計算載噪比：

(18)

3.2 最優帶寬的實時計算

應用離散牛頓二階梯度法，第i步迭代增量的計算方法如式下：

(19)

式中：J(xi)，H(xi)為別為σPLL關于Bn的一階導數和二階導數在xi點的取值，在應用中采用小間隔差商代導數計算，當增量相對于當前帶寬數值變化小于1%時，認為收斂穩定，停止迭代，取當前迭代結果作為最優帶寬Bopt。

最優帶寬的計算流程為：

1)設定初始迭代步數i=1，帶寬迭代初值Bn(i)=10 Hz，離散帶寬步長BnGap=0.01 Hz，精度水平ε=1%，最大迭代次數N=20。

2)通過BnGap計算Bn(i)的一階、二階差商代替一階、二階導數。

3)根據式(19)計算迭代增量。

4)若滿足|Δxi|/|Bn(i)|≤ε則停止迭代，Bopt=Bn(i)；否則Bn(i+1)=Bn(i)+Δxi。

5)迭代步數i增加1，若i

4 最優帶寬設計方法驗證

以車載載體為研究對象，設載體的位置為東經116.343 4°、北緯39.979 8°、高度39 m，以40 m/s的速度向北行駛，取衛星的位置為載體正上方，即東經116.343 4°、北緯39.979 8°，高度為GPS衛星平均軌道高度20 200 km，以 3 804 m/s的速度向北運行。接收機OCXO晶振、衛星Ce原子鐘的時鐘模型按照文獻[8]進行設置，相應時鐘參數取文獻[8]中的典型值。

誤差協方差陣設置如下：

(20)

載體本體坐標系加速度信息和ECEF坐標系地球自轉角速度信息如設置：

(21)

(22)

(23)

圖2顯示了在不同實現距離、載體速度的情況下，由式(22)引起的計算偏差。

圖2 文獻[6]中的方差計算偏差Fig.2 Deviation error of algorithm in reference [6]

(24)

應用迭代的方法計算最優帶寬，圖3、圖4分別顯示了迭代結果與最優帶寬理論值的偏差百分比以及迭代所用的步數。從圖3中可以看到，在不同載噪比和輔助誤差條件下，迭代方法的計算誤差始終保持在0.4%以下。同時圖4顯示，在各類條件下，迭代步數保持在11步以下，在保證計算精度的同時，相比于文獻[12]中100次的迭代次數大幅提高了實時性。

將固定帶寬下的跟蹤誤差σPLL(Fixed Bn)與最優帶寬下的跟蹤誤差σPLL(Optimal Bn)的偏差記為ΔσPLL：

ΔσPLL=σPLL(Fixed Bn)-σPLL(Optimal Bn)(25)

圖3 迭代算法計算誤差Fig.3 Calculation error of iterative algorithm

圖4 迭代步數Fig.4 Iterative steps

分別以5Hz、30Hz固定帶寬以及以實時最優帶寬作為環路帶寬，圖5～圖9顯示了在不同載噪比、不同輔助誤差條件下環路跟蹤效果，以及不同帶寬情況下跟蹤誤差的對比。

圖5 5 Hz固定帶寬環路跟蹤誤差門限Fig.5 Error threshold of 5 Hz bandwidth tracking loop

圖6 5 Hz固定帶寬環路與最優帶寬環路跟蹤誤差對比Fig.6 Difference of 5 Hz bandwidth loop and optimal bandwidth loop tracking error

圖7 30 Hz固定帶寬環路跟蹤誤差門限Fig.7 Error threshold of 30 Hz bandwidth tracking loop

圖8 30 Hz固定帶寬環路與最優帶寬環路跟蹤誤差對比Fig.8 Difference of 30 Hz bandwidth loop and optimal bandwidth loop tracking error

從圖5可以看到，在輔助誤差較低時，應用5 Hz固定帶寬的環路對弱信號情況有相對較好的跟蹤性能，但是隨著輔助誤差增加，低固定帶寬的環路無法跟蹤較大的動態應力殘差，跟蹤性能下降明顯，甚至導致環路失鎖。從圖6可以看到，當S=1時其跟蹤門限為28 dBHz，當S=20時，在各類信號強度條件下環路跟蹤誤差都已超過15°，環路已經失鎖。

圖9 實時最優帶寬環路跟蹤誤差門限Fig.9 Error threshold of optimal bandwidth tracking loop

從圖7可以看到，應用30 Hz固定帶寬的環路對于輔助誤差有較強的跟蹤能力，且在強信號情況下有較好的跟蹤精度，但當接收信號載噪比降低時，大固定帶寬的環路易過多的引入熱噪聲，導致跟蹤誤差增大，從圖8看到，當C/N0=50 dBHz時其與最優跟蹤誤差的偏差為1.3°，當C/N0=25 dBHz時其與最優跟蹤誤差的偏差將超過10°。

從圖9可以看到，相比于固定帶寬環路，應用實時最優帶寬的環路在弱信號、低輔助精度情況下的跟蹤能力有明顯提升，當S=20時其跟蹤門限為26 dBHz，同時在強信號、輔助精度較高的良好外部環境下能夠進一步提高環路的跟蹤精度，當C/N0=50 dBHz、S=1時其跟蹤誤差可降低至1.5°。

5 結束語

本文分析了視線方向變化率與載體速度誤差等因素對多普勒頻率估計誤差、多普勒頻率變化率估計誤差造成的影響，結合組合濾波器對導航狀態和慣導器件誤差的精度估計，推導了二階載波跟蹤環路INS動態估計殘差的統計指標，提高了高軌、高動態條件下的輔助誤差描述精度指標的計算方法。在INS輔助條件下，環路帶寬得以降低，窄帶噪聲不可忽略，最優帶寬與跟蹤誤差構成高階非線性關系，本文利用實時測定的載噪比信息、多普勒輔助誤差信息，以最小化跟蹤誤差為目標，應用離散牛頓二階梯度迭代算法，以二階速度逼近帶寬的數值最優解，在保證最優帶寬計算精度的同時顯著降低了迭代次數。仿真試驗表明，本文設計的最優帶寬迭代解算方法能夠11次迭代內達到99.6%的計算精度；對比固定帶寬方案，應用本文提出的最優帶寬計算和調整方案能夠在弱信號、輔助信息精度較低的情況下有效提高環路的跟蹤精度，提高環路抗干擾能力和動態跟蹤能力。