一種改進(jìn)小波閾值函數(shù)的信號去噪

郝建軍,劉勇剛,廖 剛,徐 童,陳家棟

(重慶理工大學(xué) 機械工程學(xué)院， 重慶 400054)

信號去噪是信號處理領(lǐng)域的經(jīng)典問題之一。傳統(tǒng)的去噪方法主要包括線性濾波和非線性濾波，其不足之處在于使信號變換后的熵增高、無法刻畫信號的非平穩(wěn)性且無法得到信號的相關(guān)性[1]。小波變換自提出以來，在許多工程技術(shù)領(lǐng)域均得到了較好的應(yīng)用。在故障診斷的分析過程中，需要對該過程所產(chǎn)生的信號進(jìn)行采集與處理，信號在采集與傳輸?shù)倪^程中，會不可避免地受到大量噪聲信號如機械噪聲、電磁噪聲的干擾。小波分析能同時對信號的時域和頻域進(jìn)行分析，較好地區(qū)分信號中的突變部分和噪聲，進(jìn)而對信號進(jìn)行去噪[2]。

小波去噪的關(guān)鍵在于閾值函數(shù)的選取，其在一定程度上關(guān)系到信號去噪的質(zhì)量，硬閾值和軟閾值是小波去噪最常用的函數(shù)，硬閾值方法可以很好地保留信號邊緣等局部特征，軟閾值處理要相對平滑，但會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象[3-6]。隨著小波分析的不斷深入，不同改進(jìn)閾值函數(shù)的算法也相繼提出：半軟閾值函數(shù)作為一種改進(jìn)的閾值算法可以兼顧軟硬閾值方法的優(yōu)點，相對于軟硬閾值函數(shù)方法較好地保留了原始信號的特征[7-8]。本文采用一種新型的改進(jìn)閾值函數(shù)的算法對采集到的信號進(jìn)行去噪，同時通過實驗比較，選取最優(yōu)的小波基函數(shù)和分解層數(shù)，在不同閾值情況下，以信噪比和均方根誤差為準(zhǔn)則，進(jìn)而判斷信號去噪效果。信噪比越大，均方根誤差越小，信號去噪效果越好，越接近原始信號[9]。實驗結(jié)果表明：本文提出的改進(jìn)閾值算法的小波去噪所取得的去噪效果更優(yōu)于軟硬閾值和半軟閾值。

1 小波閾值去噪原理

在故障診斷、信號檢測領(lǐng)域，常常需要對信號進(jìn)行預(yù)處理，由于采集到的信號包含各種干擾噪聲，在對信號進(jìn)行預(yù)處理的過程中需要對信號進(jìn)行去噪，避免干擾噪聲對故障診斷的影響。小波去噪的基本原理表現(xiàn)為：先對信號進(jìn)行若干層小波分解，提取各層高頻小波系數(shù)，再選取合適的閾值，若小波系數(shù)大于該閾值，則認(rèn)為該系數(shù)主要是由噪聲引起的，將這部分系數(shù)去除；若小波系數(shù)小于該閾值，則認(rèn)為該系數(shù)是由信號引起的，進(jìn)而保留這部分系數(shù)。對高頻部分的信號進(jìn)行閾值處理進(jìn)而濾除高頻部分的噪聲達(dá)到去噪的目的[10-11]。

小波去噪的過程主要包括3個部分：信號分解—閾值量化—小波重構(gòu)。

1) 選擇合適的小波基函數(shù)和分解層數(shù)對信號進(jìn)行多尺度小波分解，同時得出各尺度的小波系數(shù)；

2) 對各分解尺度下的高頻系數(shù)選擇合適的閾值函數(shù)和閾值進(jìn)行閾值量化處理；

3) 根據(jù)小波分解的最底層低頻系數(shù)和各層高頻系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)得到去噪后的信號。

2 小波變換閾值函數(shù)的改進(jìn)算法

在設(shè)計閾值函數(shù)的過程中，應(yīng)盡量使函數(shù)具有連續(xù)性和高階可導(dǎo)性，傳統(tǒng)的硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)并不具備高階可導(dǎo)性，有研究者提出半軟閾值函數(shù)的去噪方法，其表達(dá)式如下：

(1)

其中：0

本文提出的閾值函數(shù)綜合前面所述閾值函數(shù)的優(yōu)點，函數(shù)曲線較各閾值函數(shù)較為光滑，改進(jìn)的閾值函數(shù)的表達(dá)式如下：

(2)

其中：0<α<1；m∈R+；t表示閾值大小。式(2)優(yōu)化了在±t處的連續(xù)性問題，在信號重建時避免了一些附加震蕩，同時優(yōu)化|η(ω)-ω|的誤差問題，使經(jīng)閾值函數(shù)處理的高頻系數(shù)在重建后減少了信號的失真。

圖1 各閾值函數(shù)曲線

由圖1和式(2)可知：該閾值函數(shù)具有連續(xù)性和高階可導(dǎo)性，此函數(shù)在閾值t附近存在一個平緩的過渡帶；此外，函數(shù)在直線η(ω)=ω時逼近程度較好，這樣不僅可以去除|ω|≥t時的噪聲，還不會像軟閾值那樣在η(ω)和ω之間存在偏差。從該函數(shù)還可以看出：當(dāng)α→0，m→∞時，該函數(shù)退化為硬閾值函數(shù)；當(dāng)α→1，m→0時，該函數(shù)退化為軟閾值函數(shù)。可以通過調(diào)節(jié)α和m值的大小使閾值函數(shù)靈活變換，達(dá)到對信號靈活去噪的目的，本文所提出的閾值函數(shù)令α=2，m=0.2。

3 改進(jìn)閾值函數(shù)去噪試驗

為了驗證新閾值函數(shù)的有效性，本文通過Matlab對信號進(jìn)行仿真驗證，在小波工具箱中裝載一段leleccum信號，取1 024個采樣點，并隨機生成噪聲信號。對含噪信號分別進(jìn)行硬閾值、軟閾值、半軟閾值與改進(jìn)閾值函數(shù)去噪以此來驗證該方法的有效性，生成該信號的信噪比SNR=26 dB，仿真實驗所采用的小波基函數(shù)為sym6小波基，分解層數(shù)為3層。圖2為在Matlab小波工具箱中生成的原始信號；圖3為加了噪聲之后的含噪信號；圖4～7為采用各種閾值函數(shù)處理之后的信號。本文采用信噪比(SNR)與均方根誤差(RSME)的評價指標(biāo)來判別改進(jìn)閾值與傳統(tǒng)閾值函數(shù)去噪效果。信噪比越大，均方根誤差越小，去噪后信號更接近原始信號，去噪效果越好[12-16]。信噪比表達(dá)式為：

(3)

均方根誤差的表達(dá)式為：

(4)

其中s(n)表示原始信號，y(n)表示去噪后的信號。

圖2 原始信號

圖3 含噪信號

圖4 硬閾值去噪信號

圖5 軟閾值去噪信號

圖6 半軟閾值去噪信號

圖7 改進(jìn)閾值去噪信號

從上述圖中可以看出：硬閾值函數(shù)去噪后的信號存在較多的尖峰，軟閾值函數(shù)去噪后的信號相較于硬閾值函數(shù)尖峰減少，但還是存在模糊點，與原始信號接近程度效果還不理想，半軟閾值綜合了軟硬閾值的優(yōu)點，但與原始信號接近程度不夠高。從圖7可以看出：改進(jìn)閾值函數(shù)處理后的信號與原始信號最接近，由此驗證了本文提出的改進(jìn)閾值函數(shù)可以取得更好的去噪效果。為進(jìn)一步驗證該方法的有效性，選取不同的小波基對信號進(jìn)行去噪，小波分解層數(shù)為3，本文選取的小波基函數(shù)分別為sym6、db6、coif5。比較各閾值函數(shù)去噪后的信噪比(SNR)和均方根誤差(RSME)，各閾值函數(shù)去噪信噪比和均方根誤差如表1所示。

從表1可以看出：通過選取其中較常用的小波基函數(shù)對信號進(jìn)行去噪處理，改進(jìn)閾值函數(shù)的去噪效果均優(yōu)于前3種閾值函數(shù)，計算得到的信噪比越高，均方根誤差越小，由此可以驗證在不同的小波基函數(shù)下該改進(jìn)的閾值函數(shù)的有效性。

此外，通過選取不同的閾值也可以得到不同去噪效果的信號。閾值的選取包括4種：無偏似然估計閾值(rigrsure)、固定閾值(sqtwolog)、啟發(fā)式閾值(heursure)、極大極小閾值(minimaxi)，小波基函數(shù)為sym6，分解層數(shù)為3，4種閾值得到的去噪效果如表2所示。

表1 各閾值函數(shù)降噪結(jié)果

表2 各閾值選取對信號的降噪結(jié)果

各閾值函數(shù)在不同閾值情況下去噪的信噪比和均方根誤差如表2所示，從表中可以看出：不管在何種閾值情況下，改進(jìn)閾值函數(shù)對信號去噪后的信噪比均高于軟、硬閾值和半軟閾值函數(shù)；均方根誤差均要低于前述3種閾值函數(shù)。由此可以驗證改進(jìn)閾值函數(shù)對信號具有更好的去噪效果。

4 結(jié)束語

本文在原有閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的閾值函數(shù)，并在實驗中通過產(chǎn)生一段仿真原始信號加隨機噪聲對其進(jìn)行去噪發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)閾值函數(shù)對信號的去噪效果要優(yōu)于軟、硬閾值和半軟閾值函數(shù)；為進(jìn)一步驗證該改進(jìn)閾值函數(shù)的有效性，本文還在不同的小波基函數(shù)和不同閾值情況下對信號進(jìn)行去噪仿真比較各閾值函數(shù)的信噪比和均方根誤差。試驗結(jié)果表明：在不同的小波基函數(shù)或不同閾值選取原則下，改進(jìn)的閾值函數(shù)對信號的去噪效果均優(yōu)于前3種閾值函數(shù)，去噪所得信噪比更高，均方根誤差更小，進(jìn)而驗證了本文提出的改進(jìn)閾值函數(shù)的有效性。