基于改進區間值直覺模糊熵的投資方案優選

江曉珍

(福州外語外貿學院 經管學院， 福州 350202)

自從Zadeh[1]教授提出直覺模糊集理論之后，對其研究就沒有停止過。熵理論始終是模糊理論研究的一個熱點，熵也被廣泛應用在模糊集理論中。熵是一種用來表征系統紊亂程度的度量，最早在熱力學中用來表示物質的狀態，在化學中也被廣泛應用。Zadeh[1]教授將熵的概念引入模糊集(FS)中，對熵進行定義，用來度量模糊集的不確定性程度或模糊程度。熵值越大，模糊集越模糊；熵值越小，模糊集越清晰。熵被廣泛應用在多屬性決策中，通過熵權法的轉換后可用于確定屬性權重或專家權重。此后，有學者專門研究如何度量模糊集的熵，Luca和Termini[2]給出了構建模糊集熵的公理化條件。自從Atanassov[3]在Zadeh教授所定義的模糊集的基礎上定義了直覺模糊集(IFS)之后，研究直覺模糊集的不確定性程度成為一個重要的課題。Szmidt 和Kacprzyk[4]將Luca和Termini提出的模糊集公理化條件擴展到直覺模糊集，給出了構建直覺模糊集熵的公理化條件。Burillo and Bustince[4]提出了另外的直覺模糊集的公理化條件。模糊熵只考慮隸屬度和非隸屬度對熵的影響，而直覺模糊熵既考慮隸屬度和非隸屬度對熵的影響，又考慮根猶豫度對直覺模糊熵的影響。因此，相對于模糊熵而言，直覺模糊熵更具合理性和可行性。據這些公理化條件，許多學者取得了不少成果，定義了各種不同的熵。例如：魏翠萍等[6]基于三角函數構建了直覺模糊熵；劉滿鳳等[7]用余弦函數構建了直覺模糊熵；尹勝等[8]定義了指數形式的改進直覺模糊熵，并擴展到區間值直覺模糊環境；熊升華等[9]在對數函數的基礎上定義了廣義的直覺模糊熵，考慮了決策者的風險態度；Mao等[10]認為直覺模糊熵由直覺信息(猶豫度)和模糊信息(隸屬度和非隸屬度之差的絕對值)構成。Szmidt 和Kacprzyk考慮了模糊信息而忽略了直覺信息，Burillo 和 Bustince考慮了直覺信息而忽略了模糊信息，因此這兩個公理化條件都有其不足之處，據此提出了改進的直覺模糊熵公理化條件并構建包含直覺信息和模糊信息的直覺模糊熵。高明美等[11]針對Szmidt 和 Kacprzyk以及Burillo 和 Bustince的缺陷提出新的公理化條件，構建了比較合理的直覺模糊熵。Zhu等[12]也定義了與文獻[11]相同的公理化條件。此外，Szmidt 和 Kacprzyk從直覺模糊集所包含的信息量的角度定義了信息量μ+υ和可靠度|μ-υ|，該理論與Mao等[10]提出的直覺信息和模糊信息的理論一致，可用于直覺模糊熵和區間值直覺模糊熵的構建。

Atanassov 和 Gargov[14]將直覺模糊集擴展到區間值直覺模糊集，使得人們能更好地對模糊問題進行處理。也有不少學者對區間值直覺模糊熵進行了研究。Wei等[15]將直覺模糊集拓展到區間值直覺模糊集，并給出了區間值直覺模糊熵公式。Jin等[16]使用連續有序加權集結算子(COWA)構造了區間值直覺模糊連續熵。高明美等[17]將改進的直覺模糊熵公理化條件拓展到區間值直覺模糊熵，給出了區間值直覺模糊集的新的熵。Zhao等[18]基于MULTIMOORA定義了連續加權型區間值直覺模糊熵。

雖然高明美等[11]根據新的公理化條件構建了新的熵，但該熵不能區分隸屬度為0.5或非隸屬度為0.5時的直覺模糊熵，同樣的情況也存在于文獻[11]構建的區間值直覺模糊熵中。文獻[6-8]不能將隸屬度和非隸屬度相等的直覺模糊熵區分開來。同樣，文獻[15-17]也不能將隸屬度和非隸屬度相等的區間值直覺模糊熵區分開來。為了克服上述缺陷，本文基于高明美等[11]和Zhu等[12]定義的公理化條件，考慮直覺信息(信息缺乏)和模糊信息(信任缺乏)的情況構建新的直覺模糊熵和區間值直覺模糊熵。最后，將新的區間值直覺模糊熵應用于投資方案優選。

1 基本知識

下面給出直覺模糊集的一些基本概念。

A={|x∈X}

對于任意的A,B∈IFSs(X)，?x∈X，它們之間的關系為：

1)A?B當且僅當μA(x)≤μB(x),υA(x)≥υB(x)；

2)A=B當且僅當A?B，A?B；

3)A的補集AC={|x∈X}。

為計算直覺模糊集A和B之間的距離，可采用以下的直覺模糊集漢明距離公式[20]進行計算：

直覺模糊熵的構建必須滿足一定的公理化條件，本文根據高明美等[11]和Zhu等[12]提出的下列直覺模糊熵的公理化條件構建改進的直覺模糊熵：

(P1)E(A)=0，當且僅當A是一個清晰集；

(P2)E(A)=1?μA(x)=0,υA(x)=0；

(P3)E(A)=E(Ac)；

(P4) 對于任意的A,B?IFSs，x∈X，E(A)≤E(B)，如果A是B的銳化集，即A?B，μB(x)≤υB(x)或A?B，μB(x)≥υB(x)；

(P5) 當πA(x)=πB(x)，|μA(x)-υA(x)|≥|μB(x) -υB(x)|時或當|μA(x)-υA(x)|= |μB(x)-υB(x)|，πA(x)≤πB(x) 時，E(A)≤E(B)。

其中：|μA(x)-υA(x)| 為模糊信息；πA(x)為直覺信息[10]。

此外，區間值直覺模糊熵的構建也必須滿足一定的公理化條件，本文根據高明美等[17]給出的下列區間值直覺模糊熵的公理化條件構建改進的區間值之間模糊熵：

2 改進的直覺模糊熵

2.1 改進的直覺模糊熵

根據文獻[11-12]定義的新直覺模糊公理化條件，考慮直覺信息和模糊信息對熵的影響，Szmidt和Kacprzyk[4]從信息量的角度，把μ+υ定義為直覺模糊集所含的信息量的大小，因此猶豫度πA(x)=1-μA(x)-υA(x)可以理解為信息量的缺乏，它同時也是直覺信息。文獻[13]定義了可靠性|μ-υ|，它也是模糊信息，1-|μ-υ|可以理解為可靠性的缺乏。根據這兩個理論，在同時考慮直覺信息(信息的缺乏)和模糊信息(可靠性的缺乏)的情況下，使用對數函數定義新的直覺模糊熵。

定義2對于任意的直覺模糊集A∈IFSs(X)，?x∈X，其熵為：

(1)

其中：1-|μA(x)-υA(x)|為可靠性的缺乏程度；πA(x)為信息量的缺乏程度；e為自然對數底數。

定理1式(1)定義的熵E(A)是一個直覺模糊熵。

證明式(1)滿足公理化條件(P1)到(P5)，則E(A)是直覺模糊熵。

(P1) 若A={|x∈X}或A={|x∈X}，

反之，若E(A)=0，則1-|μA(x)-υA(x)|=0或πA(xi)·(1-|μA(xi)-υA(xi)|)+e-1=1，因為0≤1-|μA(x)-υA(x)|≤1，0≤πA(xi)≤1，0|x∈X}或A={|x∈X}。

(P2) 若A={|x∈X}，則

反之，若E(A)=1，因為存在0≤1-|μA(x)-υA(x)|≤1，0≤πA(xi)≤1，0|x∈X}。

(P3) 從A和其補集AC的關系可知該條件成立。證明過程略。

(P4) 令E(A)=f(x,y)，考慮函數

f(x,y)=(1-x)ln(xy+e-1)

其中：x=|μA(x)-υA(x)|；y=πA(xi)，0≤x,y≤1。對x求偏導，得

因此，E(A)隨|μA(x)-υA(x)|的增大而減小，隨|μA(x)-υA(x)|的減小而增大。

下面分兩種情況進行討論。

(P5)從(P4)的證明中可知E(A)隨|μA(x)-υA(x)|的增大而減小，隨|μA(x)-υA(x)|的減小而增大，因此當πA(x)=πB(x)，|μA(x)-υA(x)|≥|μB(x)-υB(x)|時，E(A)≤E(B)。

與(P4)一樣，令E(A)=f(x,y)，考慮函數

f(x,y)=(1-x)ln(xy+e-1)

其中：x=|μA(x)-υA(x)|；y=πA(xi)，0≤x,y≤1。對y求偏導，得

可見，E(A)隨πA(x)的增大而增大，隨πA(x)的減小而減小。

由此，當 |μA(x)-υA(x)|=|μB(x)-υB(x)|，πA(x)≤πB(x) 時，E(A)≤E(B)。

從上述的證明可知：式(1)定義的熵E(A)是一個直覺模糊熵。

2.2 與現有直覺模糊熵的比較

為體現本文中所提出的改進區間值直覺模糊熵的優越性，有必要將其與已有的部分直覺模糊熵進行比較。

從上述的文獻綜述中可以看到：很多學者根據直覺模糊熵公理化條件給出了各種不同的熵。Szmidt和Kacprzyk[4]給出的熵為ESK(A)，Burillo and Bustince[4]提出直覺模糊熵為EBB(A)，魏翠萍等[6]構建的熵為EWCP(A)，劉滿鳳等[7]用余弦函數構建了直覺模糊熵為ELMF(A)，當p=q=1時，熊升華等[9]構建的熵為EXSH(A)，高明美等[11]提出的新直覺模糊熵為EGMM(A)，分別如下：

當有5個直覺模糊集：

A1={〈x,0.5,0.5〉|x∈X}；A2={〈x,0.3,0.3〉|x∈X}；A3={〈x,0,0〉|x∈X}

A4={〈x,0.5,0.3〉|x∈X}；A5={〈x,0.7,0.1〉|x∈X}

采用上述6個不同的直覺模糊熵公式與本文提出的直覺模糊熵公式計算A1-A5的熵，所得結果在表1中列出，以方便比較。

從表1中可以看出：ESK(A)、EWCP(A)、ELMF(A)和EXSH(A)不能區分A1、A2和A3。當μA(x)=υA(x)時，ESK(A)、EWCP(A)、ELMF(A)和EXSH(A)都不能將其區分開來。EBB(A)不能區A4和A5。EGMM(A)不能區分A1和A4。通過計算可知，EGMM(A)不能區分〈0.5,0〉和〈0.5,0.5〉連線上的直覺模糊集的熵，也不能區分〈0,0.5〉和〈0.5,0.5〉連線上的直覺模糊集的熵。本文提出的直覺模糊熵E(A)能將所有的直覺模糊集的熵區分開來，因此可以看出：與上述6個直覺模糊熵相比較而言，本文提出的熵E(A)更加合理。

表1 不同直覺模糊熵下的計算結果

熵ESK(A)EBB(A)EWCP(A)ELMF(A)EXSH(A)EGMM(A)E(A)A1101110.50.541 3A210.41110.580.750 6A31111111A40.714 30.20.965 90.968 60.845 80.50.504 3A50.333 30.20.707 10.7290.433 80.340.234 7

3 改進的區間值直覺模糊熵

3.1 改進的區間值直覺模糊熵

將式(1)構建的直覺模糊熵擴展到區間直覺模糊集，得到新的區間值直覺模糊集。

(2)

f(x,y)=(1-x)ln(xy+e-1)

下面分兩種情況進行討論。

因此，E(A)≤E(B)。

因此，E(A)≤E(B)。

求函數

f(x,y)=(1-x)ln(xy+e-1)

關于y的1階偏導，有

圖1 直覺模糊熵

3.2 與現有區間值直覺模糊熵的比較

為體現本文中提出的改進區間值直覺模糊熵的優越性，有必要將其與已有的部分區間值直覺模糊熵進行比較。

現有6個區間值直覺模糊集：

表2 不同區間值直覺模糊熵下的計算結果

4 投資方案選擇

表3 方案評價矩陣

1) 用式(2)計算得到區間值直覺模糊熵矩陣，如表 4所示。

3) 用下面的算術平均加權集結算子[17]

對方案的各屬性進行集結，得到

4) 用文獻[17]給出的得分函數

計算得到各方案的得分值為：

5) 得分值越大，方案越優，因此各方案的排序為：

表4 區間值直覺模糊熵矩陣

C1C2C3C4A10.584 90.298 90.576 90.323 5A20.597 90.298 90.576 90.323 5A30.589 90.696 50.225 70.340 1A40.559 20.345 40.433 80.225 7

5 結論

根據新的公理化條件，在考慮直覺信息(信息缺乏)和模糊信息(信任缺乏)的情況下，使用對數函數，定義了新的改進的直覺模糊熵和區間值直覺模糊熵，通過證明可知新的改進的直覺模糊熵滿足直覺模糊熵公理化條件，區間值直覺模糊熵滿足區間值直覺模糊熵的公理化條件。此外，與現有的直覺模糊熵和區間值直覺模糊熵進行比較可知：① 在猶豫度相同時，可通過隸屬度和非隸屬度之差來區分不同的熵；② 在隸屬度和非隸屬度之差相同時，通過猶豫度區分不同的熵；③ 最模糊的直覺模糊集是〈0,0,1〉；④ 新的區間值直覺模糊熵具有新直覺模糊熵的優點；⑤ 也克服了文獻[17]存在的缺陷。因此，新熵具有一定的合理性和可行性。通過投資案例的應用和比較，可知主觀賦權法和客觀賦權法對投資方案的優選產生重要的影響。新定義的熵給決策者提供了更加精確的客觀賦權方法。