論第一個(gè)重要極限的地位

摘 要： 第一個(gè)重要極限（以下簡稱重要極限I）在極限運(yùn)算中有著承前啟后的作用。文章通過分析此極限的特點(diǎn)，指出了它的某些應(yīng)用以及與等價(jià)無窮小的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：重要極限;商式極限;無窮小

中圖分類號(hào)：O171-4;G712

文章編號(hào)：2095-624X（2019）04-0025-01

一、重要極限I

極限運(yùn)算的學(xué)習(xí)是從四則運(yùn)算法則開始的，也就是函數(shù)的和、差、積、商的運(yùn)算法則。在各函數(shù)的極限都存在的前提下，只要商的極限運(yùn)算中分母函數(shù)的極限不等于0，函數(shù)的和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商。簡單來說，在自變量x→x0時(shí)，這些情況下通過直接代入x0值求得極限。但是，基本上都是要我們求函數(shù)商的極限且在此商中分母的極限等于0。在循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)中，我們一般是從分子和分母都是多項(xiàng)式或者帶根號(hào)的式子這種簡單的商式開始，通過因式分解、分母有理化等方法化簡商式，使得分子和分母在化簡之后極限不再為0，從而求得極限。但是這些方法是有局限性的，它們只能在由冪函數(shù)與常數(shù)構(gòu)造的初等函數(shù)中使用，如果是非冪函數(shù)類的初等函數(shù)，那么因式分解、分母有理化等方法就不適用了。

這里的重要極限I正是一個(gè)突破口。它把商式的極限運(yùn)算從冪函數(shù)類的初等函數(shù)突破到了非冪函數(shù)類，從而得出了更一般的無窮小與無窮小之比的極限方法，并由此過渡到無窮小的等價(jià)替換定理。

二、重要極限I的應(yīng)用

如何應(yīng)用此極限求解極限問題，一般題目不會(huì)直接給出 ，通常都需要變換。此極限的特點(diǎn)是分母的變量要和sin后面的變量相同，而且都趨于0。如果分母的變量和sin后面的變量不相同，就一定要想辦法把他們變成相同，這樣才能運(yùn)用此極限去解決。運(yùn)用此極限，能解決很多三角函數(shù)與冪函數(shù)比值的極限問題，只要題目中出現(xiàn)了三角函數(shù)和冪函數(shù)，就可以利用此極限進(jìn)行變換。

例1的分子是一個(gè)三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，如果想要利用重要極限I，就必須把分母變成和分子第一個(gè)sin后面的一樣，即變成sinx，所以此題的思路就是分子分母同乘以sinx，再變成兩個(gè)極限相乘，這兩個(gè)極限都運(yùn)用第一個(gè)重要極限來計(jì)算，即可得出結(jié)果。

三、重要極限I與等價(jià)無窮小

重要極限I的形式，實(shí)質(zhì)上就是無窮小與無窮小之比的問題。在等價(jià)無窮小的定義中，當(dāng)兩個(gè)無窮小之比的極限等于1時(shí)，它們就互為等價(jià)無窮小，而等價(jià)無窮小在乘積和相除的運(yùn)算中是可以相互替換的。這就給極限運(yùn)算帶來了極大的方便，而這個(gè)方法的基礎(chǔ)就是重要極限I。在《實(shí)用高等數(shù)學(xué)》中給出了當(dāng)x→0時(shí)arcsinx，arctanx都與x互為等價(jià)無窮小，但并沒有給出證明，下面通過一個(gè)例題來說明。

這樣就得到了arctanx與x互為等價(jià)無窮小了。此題采用了換元法，當(dāng)x→0時(shí)，arctanx也是趨于0，通過換元，就把反三角函數(shù)與冪函數(shù)之比的極限問題變成了三角函數(shù)與冪函數(shù)之比的極限問題，這樣就可以使用重要極限I。另外，此題也運(yùn)用了此極限的一個(gè)變形式：

總之，重要極限I在極限運(yùn)算的教學(xué)中是必不可少的一環(huán)，沒有掌握這個(gè)極限運(yùn)算，就很難把極限的商式運(yùn)算從冪函數(shù)過渡到其他各類函數(shù)之中，也會(huì)讓整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)在邏輯上不太完整。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳贛昌.實(shí)用高等數(shù)學(xué)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2017.

[2]楊雄.第一個(gè)重要極限的教學(xué)[J].陰山學(xué)刊（自然科學(xué)版），2017（2）.

作者簡介：王志平（1981—），男，湖北武穴人，專任教師，研究方向：高等數(shù)學(xué)。