概率論教學中關于分布函數右連續的探究

摘 要：在《概率論》關于分布函數的性質的教學中，關于分布函數的右連續性，大多數教材都沒有給出證明，而是特別強調證明需要較專業的數學知識。文章利用基本的連續性質，對分布函數右連續給出了嚴格的證明，并且探討了如何利用分布函數的右連續性求解隨機變量落在任何區間內的概率問題。

關鍵詞：隨機變量;分布函數;函數的連續性;分布列

中圖分類號：0211

文章編號：2095-624X（2019）04-0040-02

概率論是一門古老而年輕的數學分支學科。說它古老，是因為早在公元前1400年，古埃及人為了忘記饑餓，經常聚集在一起玩一種類似于今天擲骰子的游戲。到17世紀，將擲骰子作為賭博的方式在歐洲許多國家的貴族之間盛行，這是概率論產生的原動力。1654年費馬與帕斯卡通信中關于分賭注問題的討論被公認為概率論誕生的標志，從那以后進入相對快速發展的時期。說它年輕，是因為直到20世紀30年代，概率的公理化體系建立之后，概率論才算是一門嚴謹的數學學科。今天，概率論與數理統計在工農業生產、經濟建設、管理決策和科技進步等方面發揮著越來越重要的作用。

在概率論歷史上，隨機變量的引入是除概率的公理化定義以外的另一個里程碑。其意義在于把隨機現象結果數量化，從而為利用數學知識解決概率問題鋪平了道路，同時也把對試驗結果的概率研究問題轉化為研究隨機變量的概率分布問題。隨機變量的分布函數是研究隨機變量的極為重要的工具，任何隨機變量都有分布函數，而且分布函數由隨機變量本身唯一決定。在《概率論》中，關于分布函數的右連續性，大多數教材都沒有給出證明，本文則給出了這個性質的嚴密的證明，并探討了它的應用。

一、準備工作和主要結論

1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫首次提出概率的公理化定義，他規定映射P的對應法則由下面三條公理確定，這就是我們通常所說的概率的公理化定義。

設某個隨機試驗的樣本空間為Ω，E為Ω上所有事件組成的集合，稱滿足下列三條公理的映射P（·）為概率：

（1）非負性：若：A∈E，則P（A）≥0;

（2）正則性：P（Ω）=1;

（3）可列可加性：若A1，A2，...，An，...是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj是不可能事件，其中i，j=1，2，...，i≠j，則P（∪Ai）=∑P（Ai）。

變量X是從樣本空間Ω到實數集R的一個映射。也就是說，對于試驗的每一個可能結果ω，都對應著一個實數X（ω）。試驗結果ω具有隨機性，而X（ω）依賴于ω，是隨著試驗結果不同而變化的量，我們稱這個變量為隨機變量，常把X（ω）簡單寫成ω。

設X是任意一個隨機變量，稱如下定義的函數

為X的分布函數，記作X～F（x）。

任何隨機變量都有分布函數，而且分布函數由隨機變量本身唯一決定。分布函數F（x）是事件{X≤x}的概率，也表示X落在半直線（-∞，x]內的概率。

定理1.1分布函數F（x）具有右連續性：對任何x∈R，有F（x+0）=F（x），其中F（x+0）=limF（t）表示F（x）在x點處的右極限。

和定理1.1的證明過程類似，我們可以證明下面的重要的結論。

定理1.2令隨機變量X的分布函數為F（x），那么對于任意的實數a，P（X

應用隨機變量X的分布函數定義、分布函數的右連續性和定理1.2，我們可以求出隨機變量X落在任何區間內的概率。

推論1.3令隨機變量X的分布函數為F（x），令F（b-0）表示limF（x），那么對于任意的實數a和b（a

（1）P（X≤b）=F（b）;

（2）P（x

（3）P（X=a）=F（a）-F（a-0）;

（4）P（a

（5）P（a≤X

（6）P（a≤X≤b）=F（b）-F（a-0）;

（7）P（a

二、主要定理的證明

引理2.1對于分布函數F（x）和任意的x0∈R， limF（x）=b的充要條件是對于任意的數列{xn} ，如果xi+1=xi，i=1，2，3，...并且limxn=x0都有limF（xn）=b成立。

證明：必要性是顯然成立的，接下來我們證明充分性。

參考文獻：

[1]袁德美，安軍，陶寶.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]汪嘉岡.現代概率論基礎（第二版）[M].上海：復旦大學出版社，2005.

基金項目：重慶市基礎與前沿研究計劃項目（cstc2015jcyjA00009）;重慶市教委科學技術研究項目（KJ1500628）;國家自然科學基金青年科學基金項目（11501064）。

作者簡介：藺友江（1975—），男，河北臨西人，副教授，博士，研究方向：凸幾何分析。