挖掘三角函數(shù)的考查點(diǎn)

■何成寶

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，主要包括三角函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)，以及三角函數(shù)的應(yīng)用等。常考考點(diǎn)主要有函數(shù)的圖像、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的化簡與求值等，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度較低，有時(shí)也以解答題的形式考查，但難度也不大。本文就三角函數(shù)的考查點(diǎn)加以分類例析，以幫助同學(xué)們更好地掌握相關(guān)知識(shí)。

考點(diǎn)一：考查三角函數(shù)的概念

主要考查同學(xué)們掌握三角函數(shù)概念的情況，并能否利用同角公式、誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值，這是高考中最基本的題型。

例1 若角α的始邊為x軸的非負(fù)半軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（-4，3）為其終邊上一點(diǎn)，則cosα的值為（ ）。

解：由余弦函數(shù)的定義可知應(yīng)選C。

解決本題的關(guān)鍵是理解已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合三角函數(shù)的定義，求解三角函數(shù)值。

跟蹤練習(xí)1：若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（1，-5），則tanα的值為（ ）。

提示：因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)（1，-5），所以x=1，y=-5，則-5。應(yīng)選A。

考點(diǎn)二：考查三角函數(shù)的圖像

主要考查同學(xué)們對(duì)三角函數(shù)圖像的理解及應(yīng)用情況，常見的題目為給出解析式要求畫出圖像，給出圖像讓求解析式，以及進(jìn)行圖像變換等。

例2函數(shù)在區(qū)間上的簡圖是（ ）。

解：通過特例可排除B、D項(xiàng)。通過特例可排除C項(xiàng)。應(yīng)選A。

解答此類型題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，而解決本題的關(guān)鍵是巧用特殊點(diǎn)。

跟蹤練習(xí)2：函數(shù)y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在區(qū)間上的圖像是（ ）。

提示：函數(shù)y=tanx+sinx-|tanx-因?yàn)樵趨^(qū)間上tanx＜sinx，在區(qū)間上tanx≥sinx，所以函數(shù)y在區(qū)間上的圖像為D。應(yīng)選D。

例3已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖如圖1所示，則此函數(shù)的解析式為___________。

圖1

解：由圖像可知A=2。由圖像過點(diǎn)（0，1），可得f（0）=1，即sin因?yàn)樗杂忠驗(yàn)槭菆D像上的一點(diǎn)，所以即0。由圖像可知是圖像在y軸右側(cè)部分與x軸的第二個(gè)交點(diǎn)，所以2π，解得ω=2。故此函數(shù)的解析式為f（x）=

掌握A，ω，φ 的物理意義，根據(jù)圖像中的特殊點(diǎn)，可以快速解題。

跟蹤練習(xí)3：已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖像如圖2所示，則此函數(shù)的解析式為（ ）。

圖2

例4把函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再把所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的縱坐標(biāo)不變，則得到的圖像所表示的函數(shù)是（ ）。

解：將函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=的圖像。再把所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的縱坐標(biāo)不變，即函數(shù)周期變?yōu)樵瓉淼囊话耄虼说玫降膱D像所表示的函數(shù)為R）。應(yīng)選C。

對(duì)于三角函數(shù)圖像的變換，大家主要掌握三種：相位變換、周期變換和振幅變換。①將函數(shù)y=sinx，x∈R的圖像向左（當(dāng)φ＞0時(shí)）或向右（當(dāng)φ＜0時(shí)）平移|φ|個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=sin（x+φ）的圖像，簡記為“左加”“右減”。②將函數(shù)y=sinx，x∈R的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)ω＞1時(shí)）或伸長（當(dāng)0＜ω＜1時(shí)）到原來的縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=sinωx，x∈R（ω＞0且ω≠1）的圖像。③將函數(shù)y=sinx，x∈R的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)A＞1時(shí)）或縮短（當(dāng)0＜A＜1時(shí)）到原來的A倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=Asinx，x∈R的圖像。

跟蹤練習(xí)4：要想得到函數(shù)y=的圖像，只需將函數(shù)y=sin2x的圖像（ ）。

提示：因?yàn)楹瘮?shù)所以只需將函數(shù)y=sin2x的圖像向左平移個(gè)單位長度，即可得到函數(shù)的圖像。應(yīng)選A。

考點(diǎn)三：考查三角函數(shù)的性質(zhì)

主要是對(duì)三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性及最值問題的考查，要求大家熟練掌握y=Asin（ωx+φ）（x∈R）與y=Acos（ωx+φ）（x∈R）等類型的函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。

例5設(shè)函數(shù)R，則函數(shù)f（x）（ ）。

C.在[kπ-π，kπ]（k∈Z）上單調(diào)遞減

D.在[kπ-π，kπ]（k∈Z）上單調(diào)遞增

解：由函數(shù) f（x）=-cos2x，得函數(shù)f（x）在Z）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。應(yīng)選B。

熟悉幾種常見的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是解答此類問題的關(guān)鍵。

跟蹤 練 習(xí) 5：設(shè) 函 數(shù) f（x）=則以下結(jié)論正確的是（ ）。

提示：由x∈可知所以函數(shù)f（x）先減后增；由可知所以函數(shù)f（x）先增后減；由可知所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；由可知所以函數(shù)f（x）先減后增。應(yīng)選C。

例6已知函數(shù)y=sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，則φ的值可能為（ ）。

解：因?yàn)楹瘮?shù)y=sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，所以sin（-x+φ）=sin（x+φ），即x+φ=π-（-x+φ）+2kπ，k∈Z，解得又因?yàn)?≤φ≤π，所以當(dāng)k=0時(shí)應(yīng)選C。

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω≠0）為偶函數(shù)，則函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω≠0）為奇函數(shù)，則φ=kπ，k∈Z。

跟蹤練習(xí)6：函數(shù)y=3sin（2x+φ）（0≤φ≤π）是R上的奇函數(shù)，則φ的值可能為（ ）。

提示：因?yàn)楹瘮?shù)y=3sin（2x+φ）（0≤φ≤π）是R上的奇函數(shù)，所以φ=kπ，k∈Z。又因?yàn)?≤φ≤π，所以當(dāng)k=0時(shí)，φ=0。應(yīng)選A。

考點(diǎn)四：考查三角函數(shù)的化簡與求值

三角函數(shù)化簡與求值的基本要求：①盡量使函數(shù)的種類最少、次數(shù)最低、項(xiàng)數(shù)最少。②盡量使分母不含三角函數(shù)式。③盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)式。④能求值的應(yīng)計(jì)算出來。

例7化簡2sinα·cosα。

解：原式2sinα·cosα

三角函數(shù)的化簡與求值通常與三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)及誘導(dǎo)公式綜合在一起進(jìn)行考查，同學(xué)們在解題時(shí)要嚴(yán)格按照三角函數(shù)化簡與求值的基本要求。

跟蹤練習(xí)7：化簡：sinθ（1+tanθ）+

提示：原式

例8已知（m≠0），求的值。

解：由可得所 以又由且可得所以所以

應(yīng)用整體意識(shí)找到角與角之間的關(guān)系是解答此題的突破口。

跟蹤練習(xí)8：求sin2（42°+θ）-2tan（45°+θ）·tan（45°-θ）+sin2（48°-θ）的值。

提示：原式