揭秘三角函數(shù)的圖像與應(yīng)

■周湘林

作三角函數(shù)的圖像一般有兩種方法，一是五點(diǎn)作圖法，二是圖像變換法。利用三角函數(shù)的圖像變換，不僅方便畫出三角函數(shù)的圖像，而且還可以進(jìn)一步研究三角函數(shù)的性質(zhì)。下面就讓我們一起來揭秘三角函數(shù)的圖像及其應(yīng)用吧！

一、五點(diǎn)法作簡(jiǎn)圖

用五點(diǎn)法作正弦、余弦型函數(shù)圖像的步驟：①將原函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的形式；②確定周期；③確定一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)；④選出一個(gè)周期內(nèi)與x軸的三個(gè)交點(diǎn)；⑤列表；⑥描點(diǎn)畫圖。

例1用五點(diǎn)法畫出函數(shù)y=的圖像，并指出這個(gè)函數(shù)的周期與單調(diào)區(qū)間。

解：令則按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表，如表1所示。

表1

先在坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的五點(diǎn)，再用光滑的曲線連接起來，如圖1所示，最后向兩端伸展一下。

圖1

運(yùn)用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的簡(jiǎn)圖時(shí)，通常把ωx+φ看成一個(gè)整體，按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表（如表2所示）。在坐標(biāo)系中描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來，要注意曲線的凹凸方向，從而可以畫出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖。

表2

跟蹤練習(xí)1：用五點(diǎn)法作出函數(shù)y=在一個(gè)周期內(nèi)的圖像。

提示：令解得令解得解得令解得令解得按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表，如表3所示。

表3

描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來，得到函數(shù)的圖像，如圖2所示。

圖2

二、三角函數(shù)的圖像變換問題

由函數(shù)y=sinx的圖像經(jīng)過變換得到函數(shù)y=sin（ωx+φ）的圖像，有兩種主要途徑：一是先左右平移后伸縮橫坐標(biāo)，即y=sinx→y=sin（x+φ）→y=sin（ωx+φ）；二是先伸縮橫坐標(biāo)后左右平移，即y=sinx→y=sin（ωx）→y=sin（ωx+φ）。大家要注意的是，第一種途徑平移|φ|個(gè)單位長度，第二種途徑平移個(gè)單位長度。

例2為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)y=sin2x的圖像（ ）。

解決平移問題，要遵循“只對(duì)x，y 進(jìn)行運(yùn)算”的原則，因此，對(duì)于將函數(shù)y=sin（ωx）（ω≠1）的圖像平移得到函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω≠1）的圖像問題，先要把函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω≠1）的解析式寫成的形式，再進(jìn)行平移變換，才能使問題得以順利解答。

跟蹤練習(xí)2：為了得到函數(shù)y=的圖像，只需把函數(shù)y=的圖像（ ）。

提示：函數(shù)函 數(shù)所以將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)長度單位，即可得到函數(shù)的圖像。應(yīng)選B。

例3為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)y=cos2x的圖像（ ）。

解答函數(shù)圖像的平移問題時(shí)，要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的解析式的函數(shù)名是否相同。如果函數(shù)名不同，應(yīng)先化為同名函數(shù)，再進(jìn)行平移變換。

跟蹤練習(xí)3：將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，則φ=________。

提示：將函數(shù)的圖像向左平移φ個(gè)單位長度后，得到函數(shù)y=的圖像。因?yàn)楹瘮?shù)y=是偶函數(shù)，所以解得又因?yàn)樗?/p>

三、求三角函數(shù)的解析式

確定函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式，就是確定其中的參數(shù)A，ω，φ的值。從圖像的特征尋找答案，A由最值確定；ω由周期確定，周期一般通過特殊點(diǎn)觀察求得，如相鄰的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)相差半個(gè)周期；φ可由點(diǎn)在函數(shù)圖像上列方程求得，確定φ值時(shí)，注意它的不唯一性，一般求|φ|中最小的φ值。

例4圖3所示的是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像，請(qǐng)確定 A，ω，φ 的值，并確定函數(shù)的解析式。

圖3

解法1：（代入法）由圖像知A=3，由T=可得因?yàn)閳D像過點(diǎn)令得所以此函數(shù)的解析式為

解法2：（五點(diǎn)法）由圖像知A=3，且圖像過點(diǎn)根據(jù)五點(diǎn)作圖法的原理，可得

通過將若干個(gè)特殊點(diǎn)代入函數(shù)式，可以求得相關(guān)參數(shù)A，ω，φ的值。這里需要注意的是，所選擇的點(diǎn)屬于五點(diǎn)法中的哪一個(gè)點(diǎn)，并要正確代入列出等式。

跟蹤練習(xí)4：如圖4所示，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖像上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和求該函數(shù)的解析式。

圖4

提示：依題意知，A=3。因?yàn)樗訲=π。又因?yàn)樗驭?2。這時(shí)函數(shù)的解析式為y=3sin（2x+φ）。由圖像過點(diǎn)和根據(jù)五點(diǎn)作圖法的原理，可得解得ω=所以此函數(shù)的解析式為y=