深刻理解函數概念，互動對話前后呼應
——以“變量與函數（第1課時）”教學為例

☉江蘇省張家港市梁豐初級中學 蔣建東

華東師大終身教授鐘啟泉先生說“‘教教材’還是‘用教材教’是新舊教學的分水嶺”.筆者在最近一次教研活動中開設研討課后，對鐘教授這句教誨深有感受.這次教研活動中執教的課題是“變量與函數（第1課時）”，筆者沒有完全“忠實”于教材，而是基于對數學內容的深刻理解，實施單元教學，取得了較好的教學效果.本文梳理該課主要流程，并簡記評課環節的一些精彩片段和教后反思，供研討.

一、“變量與函數（第1課時）”教學流程概述

活動1：實例分析，引出新知

實例1（1）用12米長的繩子圍成一個正方形.你知道邊長是多少米嗎？

（2）用12米長的繩子圍成一個長方形，對于寬的每一個確定的值，長都有唯一確定的值與其對應嗎？

實例2圖1是某地冬季某天氣溫隨時間變化的曲線，圖像中橫軸t表示時間，縱軸T表示氣溫，它們是兩個變量，對于t的每一個確定的值，T都有唯一確定的對應值嗎？

圖1

實例3汽車油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛的路程x（單位：km）的增加而減少，耗油量為0.1L/km.填表并回答.

表1

表1中每個確定的行駛的路程x（單位：km），都對應著一個確定的油箱中的油量y（單位：L）嗎？

教學組織：從這三個實例出發，師生對話互動，學生一步步累積，歸納出函數概念，突出強調“一個變化過程中，兩個變量，一個變量變化時，另一個變量隨之唯一確定”，這是初中階段函數概念的本質，引導學生通過不同的實際進行體會，最后歸納出函數概念.

活動2：思考歸納，建構概念

教學組織：在上面實例分析之后，提煉關鍵詞“一個變化過程，兩個變量，單值對應”，豐富、完善成函數定義，板書在黑板相應位置.并繼續給出函數的三種常見形式（圖像法、表格法、關系式法），再給出已知自變量求函數值等名詞，安排學生整理筆記并初步理解.

活動3：例題訓練，理解概念

針對實例1～3進行變式改編，以函數例、習題的方式呈現出來，讓學生訓練，以鞏固理解概念，限于篇幅，略去.教師組織講評時，注意引導學生“回到定義”進行理解.

活動4：回顧總結，完善結構化板書

師：這節課學習了哪些新的數學概念？請在小組內交流，并用幾個關鍵詞談談你對這些新概念的理解.

在學生小結的基礎上，教師完善本課的“結構化板書”，見圖2.

圖2

二、評課意見摘選

評課老師1：本節課設計思路清晰，三個實例強調了對概念三要素的理解；課堂建構有條理性，有目標性，三個實例分別對應函數的三種表示方法；課堂內容層層推進又環環相扣，在研究自變量的取值范圍時再次回顧“實例3”油耗問題，從而使學生清楚，自變量的取值范圍還要看在實際問題中的意義.整節課可以用兩個字形容：流暢.最后的小節中，教師用這樣一句話引導學生進行小結：用幾個關鍵詞談談你對這些新概念的理解.讓學生通過提取關鍵詞來概括本節課的重點，能夠加深學生對本節課知識的理解與提煉.

評課老師2：著名特級教師李庾南老師的“自學·議論·引導”教學并非是三部曲，自學是要發揮學生個體的力量，議論是發揮群體的力量，引導體現教師在課堂中的力量，幫助學生建構知識體系，進行“再創造”.函數概念的起始課，很難上，一般情況下，老師是直接拋出概念，指出關鍵詞，然后學生開始練習.今天的課中，對于概念中的每一句話都逐步引導，逐條歸納，處理得很好.課堂中的引導非常流暢，精心設計，充分發揮了引導教學的關鍵.當然，也可再多給學生一點時間，讓學生在思考、議論的過程中得知：在一個變化的過程中，為什么有兩個變量，這兩個變量有什么關系等.可以讓學生設計一個長方形，有多少種？（無數種）為什么有無數種？（寬是可以任意變化的）讓學生自己說出這是一個運動變化的過程.寬在變，長也在變，但不是亂變的，它們之間存在對應關系，從而引導學生自發地研究兩個變量之間的關系.在實例2中，還可以這樣設計問題：從圖表中，你能讀出什么信息？學生可能會說出時間在0～24之間，溫度在哪個之間，這就便于我們引導出x、y的取值范圍；學生還可能說出溫度最高是多少，最低是多少，便于我們引出最大值、最小值的概念；還會說出幾點時溫度是多少，這就是x、y的對應問題.

三、教后思考

1.深刻理解函數概念，精心確定問題情境

函數是初中階段的核心概念，然而對函數概念達到深刻理解并不容易.從教學觀察來看，很多學生到了中考復習階段，對函數的概念理解就是一次函數、二次函數或反比例函數，而對函數概念所體現的“變化過程，兩個變量，單值對應”缺少本質理解.教師在函數概念起始階段教學時需要精心選定問題背景，抽象提煉出函數本質，并從兩個變量之間的對應關系出發幫助學生內化理解.從本課的教學來看，所選定的三個問題情境都是恰當的，也是不同版本教材都關注到的3種典型問題情境，值得利用.

2.師生互動歸納概念，例題訓練前后呼應

在三個典型問題的驅動之下，師生互動對話，提取問題中的關鍵詞句、數量關系，分析出函數概念的本質特征，進一步梳理歸納函數概念.然后將函數的相關概念如自變量、因變量、函數值、函數的幾種不同形式等進行講授，形成結構化板書，讓學生記錄整理.隨后給出例、習題并進行理解與講評，例題的情境呼應著開課階段的3個問題情境，讓學生容易理解，也加強了教學環節之間的呼應，體現了問題驅動的設計立意.

3.課堂小結關鍵詞句，完善生成結構化板書

我們見到不少公開課的課堂小結都是程式化的“這節課你們學到了什么？你們有什么收獲？你們感悟到什么思想方法”之類的空話、套話，而不是針對本課小結的有效設問.本課小結階段，安排學生以關鍵詞句來梳理小結本課所學，學生在精選關鍵詞句時，就會思考本課所學，并進行歸納提煉，也就促使學生進行全課自主小結.在此基礎上，教師對本課的板書進行梳理、結構化，把原來散見的一些知識點用線條連接組成互相關聯的結構圖，幫助學生對知識有系統化、結構化的認識和理解.

四、寫在后面

變量與函數的起始課教過很多次，但以往都是常態的“教教材”或“一個概念、三項注意、大量練習”的習題導學，相對來說，這次變量與函數的教學加深了筆者對函數概念的深刻理解，也讓自己知道：“內容簡單、教過多次的課，自己對概念的理解不一定準確或深刻.”教學是需要研究的，特別是概念教學.