以尋找思路為核心：教學生“學解題”
——從習題教學案例說起

☉江蘇省蘇州市吳江區松陵第一中學 蔣駿哲

一、寫在前面

近讀南京師范大學涂榮豹教授新著《數學教學設計原理的構建——教學生學會思考》，涂教授關于數學解題教學的原理有如下論述：數學解題教學的任務，實際上是要教學生“學解題”，而現實中的解題教學大多是“叫”學生“解題”，或者是給學生“講”解題，并沒有把解題教學落到教學生“學解題”上.其實學生的主要任務并不是解題，而是“學解題”.筆者深有同感，本文結合近期解題教學課堂上習題教學的案例，闡釋自己的一些實踐與思考.

二、習題教學案例

案例1：促進學生積累基本圖形及性質.

例1如圖1，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，BF平分∠CBA，交CD于點E，交AC于點F.若BC=3，AC=4，求CE的長.

圖1

圖2

教學記錄：經過5分鐘的獨立思考后，多數學生只能求出AB=5，CD=2.4，后續沒有獲得進展.為了啟發學生思考，我們不急于告知答案，也沒有安排個別已獲得答案的學生上臺展示，而是給出以下幾點思路啟發：

念頭1：該圖形中有一個等腰三角形，先找出來并證明；

念頭2：角平分線BF會啟發哪條重要輔助線？

念頭3：構造輔助線后，是否得到一個新的直角三角形？該直角三角形的三條邊能否用一個未知數x表示不同邊長，進而根據勾股定理列出方程求解呢？

很多學生經過這三個念頭的啟發，很快就發現等腰三角形CEF，于是待求的CE轉化為CF，進一步在圖2中作出FH⊥AB，從而將目光聚焦到直角三角形AFH中，利用勾股定理獲得一個方程，實現問題求解.

解后回顧與反思：解答之后，提醒學生以后遇到類似的看似沒有思路的幾何題，要學會自己向自己提這樣的方向性念頭.另外，要求最初沒有順利解出的學生整理記錄，并分解兩個基本圖形進行整理：

基本圖形1：直角三角形中銳角平分線+斜邊上的高，一定會出現等腰三角形；

基本圖形2：角平分線的“比例”性質，如圖1中，CF∶AF=BC∶AB.

教學隨感：提示思路、促進解題者自己發現思路并貫通解題過程，而不是告知答案.前者是專業教師的“善于提問”“善于引導”的基本功，后者只是針對這一道習題的解法展示.此外，解題能力強的學生往往是積累、收集、記憶、儲存這類基本圖形及性質多的學生.所以，優秀解題者遇到這種基本圖形出現時，就條件反射地有了方向或思路.

案例2：翻折問題的多角度思考.

例2如圖3，將正方形紙片ABCD沿MN折疊，使點D落在邊AB上，對應點為D′，點C落在C′處. 若AB=6，AD′=2，求折痕MN的長.

教學記錄：這是八年級的一道練習題，八年級學生學過勾股定理、平行四邊形的有關知識.學生經過5分鐘獨立思考后，沒有獲得最終解答.部分學生的進展是求出了AM、DM的長.我們通過對話追問了不少優秀學生的障礙，他們都把目光投向了右側一些直角三角形中，但是苦于缺少條件，無法進展下去.為了幫助學生尋找思路，我們提供如下的啟發性念頭：

念頭1：在你們思考的基礎上，如果有八年級相似三角形的知識，也能夠順利繼續前行……目前此路難通；

念頭2：可另辟方向，如考慮翻折對稱，連接DD′，能不能求出它的長度？

念頭3：容易想到線段DD′與MN的位置關系嗎？它們之間有怎樣的數量關系呢？如能攻克，則大功告成！

圖3

學生在上述思考的啟發下繼續思考，不到3分鐘，就有好幾名學生貫通了思路，筆者請他們上臺講解思路，待一名學生講解之后，有一半以上的學生都想通了思路.

案例3：雙角平分線與平行線綜合問題.

例3如圖4，AM//CN，點B為平面內一點，AB⊥BC于點B，過點B作BD⊥AM于點D，E、F在DM上，連接BE、BF、CF.若BF平分∠DBC、BE平分∠ABD，∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度數.

教學記錄：學生經過5分鐘的獨立思考，基本沒有進展.通過對話追問幾個優秀學生，他們都覺得條件太多，感覺無從下手，只解讀出幾個看似不太有用的結論.于是，為了促進學生學會思考，我們提供如下念頭：

念頭1：求∠EBC的關鍵是求哪個角？能否設這個角為α，便于后續推理演算？

念頭2：把目光投向頂點B處的一些角，這里雙角平分線BE、BF的夾角是多少度？結合以前積累的一些基本圖形及解題經驗，能否直接看出它的角度？

念頭3：用含α的式子分別表示∠ABD、∠BCN、∠FCB、∠BFC、∠FBC的度數；

念頭4：可以選擇在三角形BCF中，利用三角形內角和得出關于α的方程，獲得解題思路的貫通.

經過上述念頭的啟發，一些優秀學生在5分鐘后就貫通了思路，想清了在△BCF中，∠FBC=45°+α，∠BFC=3α，∠FCB=90°-α，于是利用三角形內角和得出α=15°，從而求得∠EBC=105°.

圖4

三、教學生“學解題”的幾點思考

1.理解習題結構，預設啟發式提示語

教師在解題教學備課時不只是貫通思路、解出答案，而且要在此基礎上想清習題的深層結構，對于較難習題還可辨析哪些步驟是關鍵步驟，有哪些可能的易錯點，在此基礎上預設一些啟發式提示語，像上文中提供的一些念頭啟示都不是解題現場即興想出來的，而是課前就有充分的預設，當學生出現障礙時就可適當給出，這樣可提高課堂教學效率.另外，啟發式提示語要注意引導學生“回到習題”，學會審題，對一些關鍵條件充分解讀、關聯不同條件組合解讀，以便得到解題念頭.

2.基于理解學生，預設鋪墊式提示語

促進學生尋找思路的解題教學在理解習題結構的前提下，還要充分理解待教學生的學情，包括整體班情、個別優秀學生的思維能力與層次水平，這樣在預設一些鋪墊式提示語之后，要有相應學生能積極跟進，以便教學對話順利進行，一些學生率先跟上教師鋪墊式提示語之后，可安排他們上臺講解思路，讓更多學生能跟上思路.如果學生整體理解能力不強，則鋪墊式問題要更加“密集”，跨度不能太大，要讓學生在鋪墊式問題的提示之下，能獲得進展，這樣學生才能通過解題收獲解題信心，有興趣參與解題、跟進思考、“接力”思路進展.

3.引導回顧反思，想清習題關鍵步驟

波利亞在名著《怎樣解題》中倡導解題教學要重視解后回顧與反思，在這個教學環節中，教師可以引導學生想清解題的關鍵步驟，一些易錯點，一些容易看漏的條件信息，哪些是容易挖掘不深的條件，哪些條件可以組合、關聯起來助推思路進展，等等.如果習題中有很多基本問題或基本圖形存在，還需要引導學生分離、收集、積累這些基本圖形及其性質，以便后續處理一些復雜問題時遇到這類基本圖形及性質能快速識別，獲得進展.

四、寫在后面

解題是學習數學的重要組成部分，解題教學是數學教學的重要內容之一.如何開展解題教學是數學教學研究中的基本課題、日常課題，很多名師、專家都對解題教學投入大量精力進行研究，并形成了解題教學的諸多流派（如張景中院士倡導的“中巧說”、傅學順教授倡導的“反應塊”思想、顧泠沅教授總結的“變式教學”等）.對我們一線教師來說，重要的不是“選邊站隊”，而是要通過恰當的教法，遠離題海戰術，春風化雨，帶領學生通過解題學會解題，悟得解題經驗，提高解題智慧，發展數學思維.