根據教材例題，開發一題一課

☉安徽省合肥市行知學校 吳子赟

近日，在研讀中學數學專業期刊過程中，發現刊發了大量的基于中考壓軸題的“一題（圖）一課”的設計案例，即首先在認真分析的基礎上給出該中考試題難點的突破方法及求解思路，然后開發設計成可以在一個課時內完成的教學案例，讀后受益匪淺.筆者在近期教學中思考：上述方式針對中考專題復習有效，那么，能否在日常教學中（比如一個知識點講完后的綜合復習課或單元復習課）中適用呢？帶著這樣的想法，開展了基于教材例題的“一題（圖）一課”設計的有益嘗試.下面簡單介紹，并給出一些初步的思考，不當之處，敬請指正.

一、教材例題

如圖1，E是正方形ABCD中CD邊上任意一點，以點A為中心，把△ADE順時針旋轉90°，畫出旋轉后的圖形.

說明：上述例題是在學生自主探究得出旋轉的三條基本性質后教材中出示的一道例題，主要考查學生對新知的掌握程度和靈活應用情況，教材中的方法是：首先運用“對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角”確定了點A和點D旋轉后的對應點，然后運用“旋轉前、后的圖形全等”這一性質作出了點E的對應點E′，進而將問題解決，顯然對旋轉的另一性質“對應點到旋轉中心的距離相等”沒有涉及.

二、“一題（圖）一課”設計

1.解答例題

在上述例題的題干后面增加提示語：你能想到幾種作法？每種作法的依據是什么？先獨立思考，再與同伴交流.

設計意圖：從教材例題出發，引導學生多角度思考問題.一題多解需要用到旋轉的不同性質，進而加深學生對新知的認識.同時，在學生回答后，引導學生積極進行解題后的反思，比如，例題的解答依據是什么？解答本題你還有什么方法？依據是什么？引導學生深刻認識知識的本質，進一步加深學生的印象.

教學預設：還可以過點A作AE的垂線，截取AE′=AE（如圖2），應用“對應點到旋轉中心的距離相等”這一性質將問題解決，彌補教材的不足.

圖1

圖2

2.變式練習

（1）如圖3，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB延長線上的點，且DE=BF，連接AE、AF、EF.

①填空：△ABF可以由△ADE繞旋轉中心點，按順時針方向旋轉_____度得到；

②若BC=8，DE=6，則△AEF的面積為_______.

（2）如圖4，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥BC于E，若AE=4，則四邊形ABCD的面積為_____.

圖3

圖4

設計意圖：上述變式練習針對教材例題采用變式設計的典型方法（變條件）進一步鞏固學生對圖形中所蘊含結論的理解，其中變式練習第（1）題第①問直接針對教材例題給出，第②問考查學生簡單的推理能力（在△ADE △ABF的基礎上，進一步得到∠FAE=90°，從而發現問題的本質，即△AEF是等腰直角三角形）；第（2）題考查學生一定的逆向推理能力及轉化意識，將未知問題轉化為熟悉的問題進而解決問題.

3.自主探究

（1）如圖5，在正方形ABCD內作∠EAF=45°，你能得到哪些結論？

設計意圖：通過增加特殊角的形式改變條件，進而引發圖形的變化，隨之而來的是一系列結論的變化.同樣，開放式的問題設計引導學生多角度思考問題，培養學生良好的思維能力，為培育學生的理性思維進行一定的嘗試.

圖5

圖6

教學預設：

①三角形全等：△AEF △AHF；

②角：∠AFH=∠AFE（AF平分∠HAE）、∠AED=∠AHF=∠AEF；

③線段：EF=DE+BF；

④面積：S△ABH+S△ABF=S△AEF.

（1）—1：如圖7，在正方形ABCD內，∠EAF=45°，AG⊥EF，求證AG=AB.

（1）—2：如圖5，若正方形ABCD的邊長為1，∠EAF=45°，則△CEF的周長為_____.

設計意圖：加強學生對上述四個結論的理解和靈活運用，比如（1）—1需要用到結論②（也可以從面積相等的角度得出結論），（1）—2需要用到結論③.

圖7

圖8

（2）如圖8，在正方形ABCD內，∠EAF=45°，對角線BD分別交AE、AF于點M、N，試探究BN、MN、DM的數量關系，并證明你的結論.

設計意圖：采用變式的另一種方式，增加特殊線段：對角線；鞏固教材例題的典型方法：旋轉.

教學預設：將△ADM繞點A順時針旋轉90°，得到△ABM′，進而得到一個直角三角形M′BN，再結合三角形全等可以得到BN2+DM2=MN2（如圖9）.

（3）追問：第（1）題中第③個結論的逆命題成立嗎？第（2）題得到的結論的逆命題成立嗎？

設計意圖：提出更具有挑戰性的問題，使“不同的學生在數學上得到不同的發展”.

圖9

三、兩點思考

1.教材例題要具有生長性

通過上述案例的介紹可以看出，圍繞一道教材例題，從變條件、變結論、變圖形三個角度開展變式練習，設計形成“一題（圖）一課”，這需要所選的教材例題具有生長性，否則的話不能達到預期的教學效果.

從教材例題出發，各變式練習漸次生長，互為依托，使課堂教學邏輯連貫，思路清晰，實現了課堂教學的優質、高效，同時，這樣的設計為學生后續開展自主學習打下了基礎，與中國學生發展核心素養中提出的“學會學習”是不謀而合的.

2.問題設計要具有開放性

在上述案例中，通過設計開放性的問題，達到鍛煉學生思維能力的目的，比如，所提問題中的：你能想到幾種作法？你能得到哪些結論？等等.這樣的嘗試給學生打開了一扇窗，開闊了學生的思路，讓學生的回答具有開放性，比如，學生針對教材例題給出的第二種方法，以及（1）—1的兩種不同思路，這使課堂教學具有了一定的開放性，實現了課堂教學的“百花齊放”.