明辨主元防控錯漏，積極踐行“化錯教學”
——對一道期末把關題的閱卷與思考

☉江蘇省海安市李堡鎮丁所初級中學 張海華

本地區九上期末試卷最后一題是一道關于“好點”的新定義考題，筆者參加了該題的網上閱卷工作，對這道考題出現的不同解法有了較多的觀察和評價，閱卷之后也對較難的小問進行了深入思考，本文先梳理出來，與大家分享、研討.

一、考題及閱卷記錄

考題：（江蘇省海安市九上期末卷，第28題，全卷最后一題）如圖1，點P在直線y=x-1上，設過點P的直線交拋物線y=x2于A（a，a2）、B（b，b2）兩點，當滿足PA=AB時，稱點P為“優點”.

（1）當a+b=0時，求“優點”P的橫坐標.

（2）若“優點”P的橫坐標為3，求式子18a-9b的值.

（3）小安演算發現：直線y=x-1上的所有點都是“優點”.請判斷小安的發現是否正確.如果正確，請說明理由；如果不正確，請舉出反例.

圖1

對于第（2）問，學生的方法很多，以下提供比較簡潔的思路.由點P在直線y=x-1上，得點P的坐標為（3，2）.由PA=AB，得3-a=a-b，整理得2a-b=3，所以18a-9b=9（2ab）=27.

從閱卷情況看，少數學生錯誤引用第（1）問的條件也可求出結果27，但根據評分組研討的意見，這種情況不能得分，因為這說明考生沒有弄清各小問之間的強化條件是不可以交叉引用的.

對于第（3）問，先給出命題組預設的參考答案.設點P的坐標為（k，k-1），結合點A的坐標（a，a2），當PA=AB時，分析出點B的坐標為（2a-k，2a2-k+1）.把點B的坐標代入拋物線的解析式y=x2中，得2a2-k+1=（2a-k）2，整理成關于a的一元二次方程（即視a為主元），得2a2-4ka+k2+k-1=0.Δ=（4k）2-4×2（k2+k-1）=8（ k-）2+6＞0.所以對于任意k，總有a使得PA=AB.即直線y=x-1上的點均為優點.

閱卷過程中，方法2也給了全分，記錄如下：

方法2：設點P的坐標為（x，x-1），結合點A的坐標（a，a2），當PA=AB時，分析出點B的坐標為（2a-x，2a2-x+1）.把點B的坐標代入拋物線的解析式y=x2中，得2a2-x+1=（2ax）2，整理得x2-（4a-1）x+2a2-1=0.Δ=（4a-1）2-4（2a2-1）=8（ a-）2+3＞0.對于任意a，總有x使得PA=AB.故直線y=x-1上的點均為優點.

但是與方法2類似的方法3就沒有得出最后結果，整理如下：

整理成關于x的一元二次方程（即視x為主元），得x2+（2b-2）x+2-b2=0.Δ=（2b-2）2-4（2-b）2=8（ b-）2-6＞0.對于任意b，并不能保證x一定有實數根，所以直線y=x-1上的點不一定都為優點.

究錯：方法3與方法2本質上是一致的，為什么兩種方法導致不同的判斷呢？讓我們先退回方法2，將其與方法1進行比對，就會發現，方法2、方法3的問題出在主元辨識不當.方法2只是運算下來，恰好也出現以x為主元的方程根的判別式大于0；但是若以點B的坐標表示點A，仍然運用方法2的思路，則會出現方法3中以x為主元的方程根的判別式并不一定大于0.比如Δ=8（ b-）2-6出現后，就會導致思路受阻，造成錯誤判斷.

比如，我們可以對方法2做出改進，將其所得到的方程整理成關于a的一元二次方程，得2a2-4xa+x2+x-1=0.Δ=（4x）2-8（x2+x-1）=8（ x-）2+6＞0.所以對于任意x，總有x使得PA=AB.直線y=x-1上的點均為優點.

同樣，我們對方法3做出改進，將其所得到的方程整理成關于b的一元二次方程，得b2-2xb-x2+2x-2=0.Δ=（2x）2-4（-x2+2x-2）=8（ x-）2+6＞0.所以對于任意x，總有x使得PA=AB，故直線y=x-1上的點均為優點.

這樣，就看出三種方法中計算根的判別式，配方出非負形式的結果是一致的.

此外，還有個別考生有如下解法，也是可行的，只是運算量陷入繁雜處境，摘抄如下：

二、由考題批閱引發的教學思考

1.二次函數教學要重視“根的判別式”的價值

筆者結合多年畢業班教學經歷，發現近些年二次函數教學受到有些不良試題（比如以拋物線為背景，實質上是探究平面幾何的復雜構造，與二次函數及性質并不相關）的影響，訓練的方向有些偏差.本文中這道考題以探求新定義“好點”為背景，本質上是設出參數，并轉化為一元二次方程，根據題意準確選定主元后利用一元二次方程根的判別式來攻克難點.由于平時這方面的題型訓練不足，或對根的判別式在二次函數中的重要性認識不足，使得一些復習訓練出現薄弱環節，這也提醒我們，在二次函數教學過程中，對根的判別式要有更豐富、更深入的認識.

2.含參數的二次方程要注意引導學生明辨主元

含參數的二次方程關鍵在于明辨主元，選定主元后再計算根的判別式才能奏效.上文中提到的方法2、方法3，其不足就在于主元辨識不清，只是方法2中恰好任意的a值也滿足方程x的解，相應的，也就是x可以取得任意實數解，也能實現判斷，但這種主元辨識不清的思路對方法3就不靈了，因為并不是任意b的值都能滿足關于x的方程.現在可回顧一下這問的本質就是：b=2a-x，而x、a需要滿足關系式x2-（4a-1）x+2a2-1=0.盡管變量a、x的范圍是任意實數，但是需要組合出現并代入b=2a-x中，從而就使得b的值域不是實數集.

3.開展究錯教學要從簡單糾正答案到探究錯因

小學著名特級教師華應龍老師近年來倡導的“化錯教學”，從糾錯、究錯走向融錯、化錯，也是值得我們初中老師在課堂教學中積極踐行的.具體來說，當我們在講評本文考題的幾種典型錯漏時，如何引導學生參與辨析上述方法2、方法3的不足，并指出它們的改進意見是基于問題條件中哪些關鍵信息得到的，這些都可以作為課前預設，在習題講評過程中引導學生參與進來.對于特別優秀的學生，如果能讓他們自主發現并診評這些十分隱蔽的錯漏，對于學生數學素養的提升是非常有好處的.

三、寫在后面

教學即研究，閱卷即研究，用研究的眼光看待看似枯燥乏味的閱卷工作，收集素材并跟進解讀、診評，并把相關素材收集起來作為試卷講評過程中的教學資源，都是值得開展研究的.需要說明的是，文中觀點與闡釋并不一定準確，更不一定正確，敬請同行批評指正.

致謝：本文中學生答題的素材整理、解法研討、后期成文的全過程都得到海安市教師發展中心初中數學教研員劉東升老師的悉心指導，謹致謝意！