經典問題演變拓展，推理素養(yǎng)落地生根
——以一道常見幾何問題的溯源拓展為例

☉北京教育學院朝陽分院 白雪峰

☉北京市第九十七中學 張彥伶

一、原問題及其深度解析

已知：如圖1，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，AC交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線交BC于點E.

求證：CE=EB.

說明：這是一道常見且優(yōu)秀的平面幾何試題，在多個版本的幾何習題集中都出現(xiàn)過，對于促進學生鞏固圓的相關知識（如“圓中直徑所對的圓周角等于90°”“切線的性質定理”“切線長定理”等）可以發(fā)揮重要作用.在近幾年的中考數(shù)學試題中，這道題本身及其逆命題也有過多種花樣翻新的考查.筆者將原問題中的條件和結論進行調整，可以演變成以下的問題.

圖1

1.回歸教材，溯本求源

人教版九上第101頁，習題24.2第6題：如圖2，PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點，AC是⊙O的直徑，∠BAC=25°，求∠P的度數(shù).

北京版九上第149頁，習題22-1第6題：如圖3，PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點，AC是⊙O的直徑，∠ACB=70°，求∠P的度數(shù).

以上兩個題目無論是從圖形，還是從已知條件與所求問題來看，相似度都極高.可能涉及的知識點包括切線長定理、切線的性質、直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形兩底角相等、三角形內角和是180°、四邊形內角和是360°等.

上述兩個題目在兩個版本教材中都出現(xiàn)了，主要原因在于其解法靈活，拓展思路寬泛，是平面幾何解題教學的優(yōu)質載體.下面，筆者就以人教版教材九上第101頁習題24.2第6題為例，介紹三種主要解法，并基于三種解法闡述該問題的解題關鍵，以及與原問題之間的內在關聯(lián)，據此透視圓背景下幾何教學的關鍵所在.

方法1：利用切線性質和等腰三角形定義解決問題.

圖2

圖3

由切線的性質得到∠OAP=90°.由∠BAC=25°得到∠BAP=65°.由切線長定理得到△PBA是等腰三角形，則∠ABP=65°.再利用三角形內角和是180°求出∠P的度數(shù).

方法2：構造“雙垂圖”解決問題.

如圖4，根據切線的性質得到∠OAP=90°.由切線長定理可推導出OP⊥AB，則∠1=∠2.由切線長定理可得△PBA是等腰三角形，所以∠APB=2∠2.

方法3：利用四邊形內角和和切線的性質解決問題.

如圖5，由已知，在△OAB中求得∠1的度數(shù)，并由切線長定理，得到∠OAP和∠OBP都是90°，再由四邊形的內角和是360°得到∠1和∠P互補，進而求得∠P的度數(shù).

上述三種解法都是學生容易想到的，縱觀解題過程可以看到，主要都是在借助切線的性質、切線長定理等知識的基礎上重構圖形，并在新的圖形結構上綜合運用所學知識解決問題.由此可見，核心知識不變的前提下，學生如何解決問題就在于如何理解圖形，或者說如何重構圖形.反之，當圖形的結構發(fā)生變化時，在原有核心知識的基礎上，又會派生出新的知識內容.

圖4

圖5

2.探求本質，正本清源

再回到我們的原問題，看看它與兩版本教材出現(xiàn)的習題之間具有怎樣的聯(lián)系.如圖6：

圖6

從圖6不難看出兩個題目在圖形上存在差別，但已知條件仍然是已知直徑和兩切線，只是去掉了角度這個條件，所求變?yōu)樽C明線段相等，即求證CE=EB.由此可見，兩個題目的核心條件并沒有變化，只是所求不同.那么，如何證明CE=EB呢？

其實，證明該問題的關鍵就在于深入認識和理解圖形.事實上，利用切線和直徑，可得“雙垂圖”，利用“雙垂圖”中角的相等關系，得到∠1=∠C，利用∠1＋∠2=∠3＋∠4=90°，再由切線長定理可推導出∠2=∠3，進而得到∠1=∠4，最后通過等量代換得到∠4=∠C，所以CE=EB.

當然，如果從結論出發(fā)，解題者關注的是：當CE=EB時，點E成為線段BC的中點，那么就可以聯(lián)系圖形中已有的中點O，連接OE.若要證明CE=BE，只需證明OE∥AC即可，那么圖形即可變?yōu)閳D7，由切線長定理可得OE⊥BD，由直徑所對圓周角是90°可得BD⊥AC，由此便可得到OE∥AC.利用平行線分線段成比例定理，便可得到CE=EB.

基于對上述問題的深度解析，我們可以看到，與圓有關的問題解法都比較靈活，原因是結合圓的相關性質，可以靈活地構造新圖形，而如何把握核心條件、如何挖掘圖形結構特征并進行圖形重構或再認識才是教師教學的重點.

圖7

二、問題演變與拓展

1.演變問題，鞏固通法

方法1：如圖9，連接OD.因為CD是⊙O的切線，所以OD⊥CD.

又因為BC⊥CD，所以OD∥BC.

圖8

圖9

又因為O是AB的中點，所以OD是△ABE的中位線，所以OD=BE.

方法2：在解法1的基礎上，由OD∥BC，可得△AOD△ABE.

因為△AOD是等腰三角形，所以△ABE也是等腰三角形，從而證得BE=AB.

方法3：如圖10，由切線的性質可得∠ODC=90°，所以∠1＋∠BDC=90°；因為直徑所對圓周角是直角，所以∠2＋∠BDC=90°，所以∠1=∠2.又因為∠E＋∠2=90°，∠1＋∠ODA=90°，且∠A=∠ODA，進而可推導出∠A=∠E，利用等角對等邊得到BE=AB.

圖10

當然，除上述方法外還有其他解法.這個題目中，將原題中BC是⊙O的切線這一條件弱化，僅使BC⊥CD，原題中“外垂直內等腰”的結構轉化為“內垂直”，但“外等腰”是否成立，要依據給出的條件加以推導.在解題過程中，起關鍵作用的是切線構造的直角與直徑構造的直角仍然存在，并且通過這兩個條件結合圓的背景不斷演變，重構出新的結構.

2.拓展探究，提高能力

已知：如圖11，A1B1、A2B2為⊙O的弦，A1B1//A2B2且A1B1=A2B2，點D在上，過點D作⊙O的切線PD，分別過點B1、B2作切線PD的垂線，垂足分別為C1、C2，直線A1D、A2D與直線B1C1、B2C2分別相交于點E1、E2.

求證：A1B·1A2B2=B1E·1B2E2.

證明：如圖11，連接OD.

圖11

因為PD為⊙O的切線，所以∠ODP=90°，則∠PDA1＋∠A1DO=90°.

連接A1A2.

所以∠A1A2B2=90°.

所以∠A1A2D＋∠1=90°.

因為PD為⊙O的切線，所以∠PDA1=∠A1A2D，所以∠1=∠A1DO.

因為B1C1⊥PD，所以OD//B1E1.

所以∠A1DO=∠2，所以∠1=∠2.

因為B1C1⊥PD，B2C2⊥PD，所以B1C1//B2C2.

又A1B1//A2B2，所以∠B1=∠B2.

所以△B2A2E2△B1E1A1.

所以A1B1·A2B2=B1E1·B2E2.

說明：在平面幾何圖形中，通過分裂點、分裂特殊線段（如三角形的中線、角平分線、圓的直徑等）、分裂射線、分裂直線等手段都可以發(fā)現(xiàn)并提出新問題、探究新結論、提煉新方法、獲得新經驗，從而通過拓展問題達到培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的數(shù)學育人目標.［1］

三、教學啟示

通過將一個以圓為背景的平面幾何問題的不斷拓展演變，能給我們的平面幾何教學帶來哪些有益的啟示呢？

1.要關注學生數(shù)學思維的層次性

皮亞杰認為：兒童的幾何概念是按照一定的次序和方向發(fā)展的，最初是拓撲的，然后才是投影的與歐氏幾何的.在皮亞杰這一研究的影響下，后來的研究者很多都致力于幾何教學認知層次的分析，其中，影響最大的就是范希爾理論.范希爾理論的核心內容有兩個：一是幾何思維的五個水平；二是與之對應的五個教學階段.前者既可以用來診斷學生的幾何思維水平，也可用于設計教學活動；后者則提出了一種幾何教學的模式.［2］由此我們可以看出，學生幾何學習思維水平的起點具有較大的差異，幾何的教學就要依據學生現(xiàn)有的幾何思維水平設計符合其認知水平的教學活動.這方面很多學者也做了大量的研究，能夠對一線教學起到借鑒作用的除了剛才講到的范希爾理論五環(huán)節(jié)教學模式，還有就是以“一題多變”為核心的“題組教學”或稱“變式教學”.在這里，教師圍繞題目本身在條件和結論兩個方面進行演變，形成“一題多變”的形式，以圖形之間“變”與“不變”的相互關系引導學生觀察圖形，思考圖形變化過程中引起的位置關系和數(shù)量關系的變化，通過有邏輯的變化引發(fā)學生有邏輯的思考，基于一組問題的解決發(fā)現(xiàn)和提煉知識之間的內在聯(lián)系，使得不同思維水平的學生能在不同層次上得到不同的發(fā)展，進而培養(yǎng)學生觀察、分析、推理和表達的數(shù)學學習能力.

2.要重視促進學生對圖形結構的再認識

幾何綜合題的解決是幾何教學中難度較大的事情，其主要原因是學生難以從復雜的幾何圖形中找到基本圖形，并通過有邏輯的分析發(fā)現(xiàn)所求與各基本圖形之間的關系.

首先，在幾何教學過程中，教師要重視強化學生對圖形的分析，促進學生對圖形結構的再認識.綜合題無非是條件之間的關系隱蔽、圖形復雜、所求與已知條件之間的邏輯鏈較長.要解決這個困難，教師可嘗試將大問題切分成小問題，引導學生通過分析圖形結構來化繁為簡.比如，在讀題時，將條件對應到圖形中，一個條件、一個條件地分析，挖掘每一個條件背后隱藏的結論，并對所得到的2個或以上的結論進行再思考，看是否產生新的結論.這樣，就在分析題目時將大問題聚焦到某一個條件上來，實現(xiàn)了大化小的目的.

其次，圍繞每一個條件或所得的結論，在圖形中找到基本圖形結構，在基本圖形中分析由已知可得的結論，找到可解決的問題點，將綜合題分解成幾個小問題，每個小問題指向不同的任務，多個小問題的解決最終促進綜合題的解決或者合成綜合題的解決.

再次，對圖形中添加輔助線的情況，要在添加輔助線之后對圖形進行再認識.添加輔助線的目的是重構圖形，此時我們往往更容易關注此條輔助線添加的直接目的，關注這個目的下形成的新的圖形結構，而忽略這條線與其他線段構成的新結構.所以要引導學生跳出輔助線添加的直接目的，站在統(tǒng)攬全圖的角度對圖形進行再認識，這時往往會有新的收獲.

3.要注重學生動手畫圖與計算機輔助教學有機結合

在幾何教學的過程中，教師還要注重培養(yǎng)學生動手畫圖的能力.畫圖的過程是學生基于對定理和性質的理解，通過實踐，經歷圖形生成的過程.學生在親歷圖形生成的過程中，感悟到圖形是如何從簡單到復雜，發(fā)現(xiàn)其中隱含的那些促進問題解決的基本圖形，學生的理性認識會不斷深刻，思維水平會逐漸提高.對于某些題目的解決，教師還可以嘗試不給出圖形，讓學生通過讀題，理解題目中描述的數(shù)量關系和位置關系，并將其轉化為正確的圖形.通過文字語言、符號語言和圖形之間的反復轉換，促進學生形成空間意識，提高圖形分析能力.當然，對于較復雜的幾何問題，教師還可以通過幾何畫板等技術手段進行演示，動態(tài)演示圖形的生成過程，測量特殊點、特殊位置時的角度或線段的值，以更加生動、直觀的方式分析圖形、認識圖形、利用圖形.另外，計算機輔助教學還為剛才談到的圖形變式提供了動態(tài)呈現(xiàn)的可能，讓學生反復觀察圖形變化的全過程，體會變化過程中的“變”與“不變”，深化學生邏輯推理能力的培養(yǎng).

總而言之，在初中數(shù)學學習過程中，“圖形與幾何”承擔了學生學習推理和證明的重要任務.平面幾何教學中，教師要充分考慮學生原有幾何思維水平的差異性，注重平面幾何教學的基礎性、層次性、發(fā)展性，通過題組變式教學、學生動手畫圖、動態(tài)圖形演示等多種途徑，幫助學生學會剖析圖形結構、把握基本圖形、發(fā)現(xiàn)解題方法、執(zhí)行解題步驟、回顧研究過程、歸納基本思路、提煉基本思想和基本活動經驗.［3］

筆者認為，在平面幾何學習中，學生最重要的任務是學會用科學、準確的數(shù)學符號語言正確地表達邏輯思維過程.作為數(shù)學教師，要把培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力作為重要目標，改變學生單純模仿教科書上幾何推理證明的學習現(xiàn)狀，善于指導學生在不斷的觀察、分析、猜想、探索和證明等一系列研究活動中，掌握邏輯推理證明的方法，提升幾何問題的分析與解決能力，提高直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).［4］