解后反思辨明結(jié)構(gòu)，變式再練反饋學(xué)情
——以一道期末卷幾何綜合題為例

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)鎮(zhèn)初級中學(xué) 丁廣峰

研究解題是很多數(shù)學(xué)老師的興趣，特別是對各地中考或者優(yōu)秀地區(qū)期末試卷的研究是教研熱點(diǎn).近期我們在《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》關(guān)注到不少文章以一些地區(qū)的2018—2019學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷考題為例，給出解題思路的突破，問題結(jié)構(gòu)的回顧與反思，并有獨(dú)到的教學(xué)設(shè)計(jì)和立意的解讀，為深入開展解題教學(xué)研究提供了很好的視角.受到啟發(fā)，本文也以某市八上期末試卷上一道幾何綜合題為例，先解析思路，并跟進(jìn)教學(xué)建議，供研討.

一、考題思路解析與回顧反思

考題：（某市八上期末試卷，最后一題）已知∠ABC=60°，AB=BC，D是BC邊上一點(diǎn)，延長AD到點(diǎn)E，使得AD=DE，連接CE，過點(diǎn)D作BC的垂線，交CE的垂直平分線于點(diǎn)F，連接BF.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，證明：BF=2DF.

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與B、C兩點(diǎn)重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？請說明理由.

圖1

圖2

圖3

思路解析：（1）這一問因?yàn)辄c(diǎn)D與點(diǎn)C重合，所以證法較多，下面概述三種證法.

證法1：容易得到△ABD是等邊三角形.AB=BD=AD，∠ADB=60°.由AD=DE，可得BD=DE，所以∠BED=∠ACB=30°. 由DF⊥BD于點(diǎn)F，得∠BDF=90°，則∠FDE=30°.由點(diǎn)F在DE的垂直平分線上，得DF=EF，故∠FED=∠FDE=30°.所以∠FED=∠BED.又由題意知點(diǎn)B、F在AE的同側(cè)，所以B、E、F三點(diǎn)共線，所以∠FBD=∠BED=30°，即在Rt△BDF中，BF=2DF.

證法2：如圖3，過點(diǎn)B作BN⊥AD交FD的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FM⊥DE于點(diǎn)M，可得∠GNC=∠FMC=90°.同樣先證得△ABD是等邊三角形，得到AB=BD=AD，ND=AD，AN=ND，∠ABG=∠DBG=∠ABC=30°.結(jié)合點(diǎn)F在DE的垂直平分線上，有DM=DE.由AD=DE，得ND=MD，進(jìn)一步證得△NGD △MFD，則GD=FD.由DF⊥BD，得BG=BF且∠BDF=90°，則∠DBG=∠DBF=30°，即BF=2DF.

證法3：如圖4，延長FD至點(diǎn)G，使得DG=DF，連接BG、AG.

由于DF⊥BC于點(diǎn)D，∠BDF=90°，所以BC垂直平分FG，則BG=BF，∠DBF=∠DBG.又AD=ED，∠ADG=∠EDF，可證得△ADG △EDF，于是AG=EF.由于點(diǎn)F在CE的垂直平分線上，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，所以DF=EF，DF=AG.再結(jié)合已知AB=BC，可得出關(guān)鍵結(jié)論：△ABG △DBF，所以∠ABG=∠DBF，∠ABG=∠DBG=∠ABC=30°，則∠DBF=30°，從而BG=2DG，即BF=2DF.

圖4

圖5

（2）由（1）中“證法3”可以獲得證明思路，如圖5，延長FD至點(diǎn)G，使得DG=DF，連接BG、AG.由題意易得∠BDF=90°，BG=BF，∠DBF=∠DBG.又AD=ED，∠ADG=∠EDF，可證得△ADG △EDF，則AG=EF.結(jié)合點(diǎn)F在CE的垂直平分線上，所以FC=FE，AG=CF.又AB=BC，所以可得關(guān)鍵步驟△ABG △DBF，則∠ABG=∠CBF，∠ABG=∠DBG.結(jié)合∠ABC=60°，得∠GBD=30°，所以∠DBF=∠GBD=30°，即BG=2DF.

回顧反思：這道考題主要難點(diǎn)在第（2）問，雖然延續(xù)第（1）問“證法3”獲得一種證明，但這道考題的深層結(jié)構(gòu)還有待深入探究，以下再提供一些研究角度.

思考1：點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是什么？

解析：結(jié)合（1）、（2）的證明可以發(fā)現(xiàn)，∠DBF=30°，可見點(diǎn)F在一條線段上運(yùn)動(dòng)，這條線段就是圖1中的BF.

思考2：問題還可以怎樣的方式呈現(xiàn)出來？

如圖6，等邊三角形ABC、BEF有公共頂點(diǎn)B，且BC平分∠EBF.設(shè)邊EF交BC于點(diǎn)D，連接AD并延長到N，使DN=AD，延長AC到M，使CM=AC.連接FC、FN、FM.

經(jīng)過推證，我們可以得到與考題等價(jià)的一些結(jié)論，如點(diǎn)B、F、M在同一直線上，F(xiàn)C=FN（可以連接AE分別證△ADE△NDF，△ABE △CBF），CD為△AMN的中位線，等等.

圖6

二、關(guān)于幾何綜合題的教學(xué)思考

1.注重審題教學(xué)，明辨題設(shè)結(jié)論

幾何解題教學(xué)的關(guān)鍵是在審題階段對問題的條件與結(jié)論想清辨明，比如，題中有了哪些確定的條件？求解目標(biāo)或方向是什么？以上面的考題為例，有哪些確定的條件或元素，都需要認(rèn)真看清想明，條件中能解讀出一個(gè)等邊三角形ABC，而點(diǎn)D則是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，另外能確定的還有AE=2AD，點(diǎn)D、E的位置都是不確定的，但是它們又有一定的運(yùn)動(dòng)軌跡，如相應(yīng)的E點(diǎn)在與BC平行位置上的一條線段上運(yùn)動(dòng)，而F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是一條線段，這些都需要在審題、解題進(jìn)程中得到明確.

2.加強(qiáng)解后反思，看清問題結(jié)構(gòu)

羅增儒教授在解題研究的諸多論述中都十分重視“回顧反思”環(huán)節(jié)，有時(shí)一個(gè)看似簡單的數(shù)學(xué)習(xí)題能寫出幾千字的回顧反思，并將原問題的深層結(jié)構(gòu)、可能拓展等做到讓人嘆為觀止的地步，羅教授常常說：解題之后缺少必要的回顧反思常常是“入寶山而空返”.這也就是我們在上面解后回顧階段提出兩個(gè)“思考”的原因，特別是“思考2”，將問題的生成重新構(gòu)思，從兩個(gè)共頂點(diǎn)的等邊三角形出發(fā)，生成考題結(jié)構(gòu)，而考題則是在此基礎(chǔ)上刪減、隱藏一些非必要的線條，改頭換面，使得問題以另一種方式漸次呈現(xiàn).這事實(shí)上也是很多幾何綜合原創(chuàng)命題的一種常用技術(shù).教師也可以在平時(shí)的試題命制中進(jìn)行嘗試，訓(xùn)練自己的命題能力，對于教學(xué)設(shè)計(jì)中的例題改編、習(xí)題變式、作業(yè)設(shè)計(jì)也是非常有益的.

3.重視變式再練，有效反饋學(xué)情

根據(jù)課堂觀察，很多試卷講評課、專題復(fù)習(xí)課常常因?yàn)榻虒W(xué)時(shí)間所限，缺少對本課內(nèi)容的變式檢測與及時(shí)反饋學(xué)情.我們認(rèn)為，備課打磨時(shí)，要充分考慮教學(xué)時(shí)間的分配，將變式再練習(xí)題的時(shí)間預(yù)設(shè)到教學(xué)進(jìn)程中，對本課所講評的重點(diǎn)內(nèi)容、主要方法、轉(zhuǎn)化策略在最后變式檢測環(huán)節(jié)進(jìn)行訓(xùn)練，知易行難，下面給出本文考題的一個(gè)變式問題，可以作為講評之后的跟進(jìn)反饋.

變式問題：如圖7，已知等邊三角形ABC，點(diǎn)D在AC的延長線上，且CD=AC，點(diǎn)H是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線AH上，且EH=AH，連接BD、DE，過點(diǎn)H作HG⊥BC，交BD于點(diǎn)G，連接GC、GE.

（1）求證：BG=2GH；

（2）求證：GE=GC.

圖7

三、寫在后面

2011年頒布的義務(wù)教育階段課程標(biāo)準(zhǔn)中，對第三學(xué)段平面幾何教學(xué)內(nèi)容做出明確的要求，可以發(fā)現(xiàn)平面幾何教學(xué)內(nèi)容和要求是非常低的，弱化繁難幾何內(nèi)容與證明技巧是國家要求.然而我們注意到不少地區(qū)以所謂不能弱化平面幾何教學(xué)的片面理解和個(gè)性化執(zhí)行，在本地區(qū)的中考或期中（末）考試中隨意拔高平面幾何習(xí)題的難度，使得本地區(qū)師生不得不投入大量精力訓(xùn)練一些繁難偏怪幾何習(xí)題，而平面幾何的學(xué)習(xí)成本并不一定會(huì)與繁難幾何習(xí)題證明能力的提升成正比，因?yàn)檩^難的平面幾何習(xí)題的解題能力確實(shí)與每個(gè)研習(xí)者個(gè)性適應(yīng)性高度相關(guān)，讓“全樣本”學(xué)生都在地區(qū)平面幾何難題的引領(lǐng)下鉆研平面幾何習(xí)題，是值得商榷的命題導(dǎo)向，也是值得一些地區(qū)命題專家們反思的.