歸納演繹拓思路，怎樣解題求自然
——由阿基米德折弦定理說開去

☉浙江省臺州市三門初級中學 李如軍

讓學生學會解題，更要讓學生追尋試題的源頭，學會自己編題才能提升解題境界.筆者有幸得知2018年臺州市中考第24題源自阿基米德折弦定理，遂對該定理和中考題做了一番研究與整理，以饗讀者.

一、定理呈現(xiàn)

1.阿基米德折弦定理

圖1

圖2

2.解法欣賞

（1）補短法.

解法1：如圖2，延長DB至F，使BF=BA，連接AC.

由M、B、A、C、四點共圓，得∠1+∠MBA=180°.

又∠3+∠MBF=180°，則∠MBA=∠MBF.

又MB=MB，BF=BA，則△MBF △MBA.

則∠F=∠MAB=∠MCB，則MF=MC.

又MD⊥CF，則CD=DF=DB+BF=AB+BD.

解法2：如圖3，延長CD至F，使FD=CD.

由BM為圓O的弦，得∠3=∠4=∠5.

則∠1-∠5=∠2-∠4.

圖3

則BF=AB.

則CD=AB+BD.

解法3：如圖4，作MH⊥射線AB，垂足為H.

由M是弧ABC的中點，得MA=MC.

由MD⊥BC，得∠MDC=90°=∠H.

又∠MAB=∠MCB，則△MHA △MDC.

則AH=CD，MH=MD.

又MB=MB，則Rt△MHBRt△MDB.

則HB=BD.

則CD=AH=AB+BH=AB+BD.

圖4

圖5

（2）截長法.

解法4：如圖5，在CD上截取DG=DB.

由MD⊥BG，得MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC.

即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA.

又∠MGB=∠MCB+∠GMC，則∠BMA=∠GMC.

又MA=MC，則△MBA △MGC，則AB=GC.

則CD=CG+GD=AB+BD.

點評：歸納是演繹的源泉！

（3）對稱法.

解法5：如圖6，連接AO、BO、OM.

圖6

作OW⊥CB交BC于點F，交圓于點W，作點M關于OW的對稱點P，作PH⊥BC交BC于點H，連接OP，OM分別交AC、BC于點E、G.

由∠OFG=∠CEM=90°，∠OGC=∠OGC，得∠ACB=∠FOG.

則∠AOB=∠MOP.

則△POM △BOA.

則PM=AB.

由PH⊥BC，MD⊥BC，得PM=HD.

則AB=PM=HD.

則CD=BH.

則BD+AB=CD.

點評：旋轉變換使線段和差問題變得直觀、體現(xiàn)對稱美.

（4）托勒密定理證法.

解法6：如圖7，由“托勒密定理”知AB·MC+BM·AC=AM·BC.

假設AM=MC=m.

AB·m+BM·2mcosα=BC·m.

AB+2BM·cosα=BC.

AB+2BD=CD+BD.

AB+BD=CD.

反思一種解法，歸納這種解法的原理以求類比演繹出同類解法，如補短法.及時歸納補短法自然就會產生另外一類解法——截長法.無論補短還是截長，無非是構造一對全等三角形，除了位置沒有特殊要求的構造法，還有位置有特殊要求的對稱法.在圓中還有很多定理，如托勒密定理，筆者發(fā)現(xiàn)借助托勒密定理可以證得阿基米德折弦定理.此種證法把公元前后不同國度的兩位大師緊緊聯(lián)系在一起！

圖7

圖8

二、中考題的誕生

如圖8，△ABC是⊙O的內接三角形，點D在弧BC上，點E在弦AB上（點E不與A重合），且四邊形BDCE是菱形.

（1）求證：AC=CE.

（2）求證：BC2-AC2=AB·AC.

（3）已知⊙O的半徑為3.

1.解法欣賞

第（1）問，這里不再贅述.

下面解決第（2）問.

證法1：如圖9，過點C作CF⊥AE于F.

點撥：①觀察“BC2-AC2”的形式，聯(lián)想到“勾股定理”，需要構造直角三角形；②由“AC=CE”聯(lián)想到“等腰三角形三線合一”.

圖9

圖10

證法2：如圖10，延長BA到G，使AG=AC.由∠ACG=∠G=∠ABC，構造△GCA △GBC.

如圖11，延長CA到H，使AH=AB，構造△CAB△CBH.

圖11

圖12

如圖12，作∠BAC的角平分線交BC于K，則∠BAK=∠CAK=∠BAC=∠AEC=∠ABC，構造△CAK△CBA.三種構造相似三角形的方法均可證得結論.

對于第（3）問的①，這里不再贅述.

下面解決第（3）問的②.

圖13

由∠COD=∠A=∠ECD，得△COD △ECD.

所以CD2=OD·DE，即b2=3DE.

則b2=-9m+27，故AB·AC=mb2=-9m2+27m.

解法2：設OH=x，則AB·AC=BC2-AC2=4CH2-CD2=4（9-x2）-［（9-x2）+（3-x）2］=-4x2+6x+18，則當x=時，AB·AC取得最大值.

解法3：設cos∠COH=cos∠A==k，則OH=3k，則AB·AC=BC2-AC2=4CH2-CD2=4（9-9k2）-［（9-9k2）+（3-3k）2］=-36k2+18k+18.

2.試題評析

第（1）問主要考查對等腰三角形的判定、圓周角定理、圓內接四邊形的性質及菱形的性質的掌握情況，知識內涵豐富，難度不大，在解決阿基米德折弦定理的過程中，構造了一個特殊的四邊形——菱形，使本題結論豐富，為中考題的誕生創(chuàng)造條件.以圓為背景，使得弧、弦、角三者相互轉化，為問題解決方法的多樣性（一題多解）鋪設了道路.

在第（2）問要證明的結論中，出現(xiàn)兩條線段的平方差形式，學生可以根據(jù)學習勾股定理時積累的數(shù)學活動經(jīng)驗，把問題表征成：直角三角形中有關邊之間關系的問題.這樣如何構造直角三角形就成了第（2）問的突破口，這時第（1）問中證得的△ACE是等腰三角形可提供有益的啟示，即通過添加等腰三角形中的常見輔助線（底邊上的高）構造出所需的直角三角形.另外，學生也可以把所要證明的結論變形成“a2=bc”的形式，這樣問題就可表征成：兩個相似三角形中有關邊的關系問題.如何構造相似三角形成為問題解決的突破口.因此，第（2）問能有效地測出學生能否自覺、合理地運用轉化思想及相關的數(shù)學活動經(jīng)驗進行數(shù)學思考.問題：根據(jù)考生反饋，學生對于式子BC2-AC2=AB·AC的變形能力、認知能力、聯(lián)想能力較弱.由BC2-AC2能聯(lián)想到構造直角三角形，但是很難構造，將BC2-AC2=AB·AC變形為BC2=AB·AC+AC2=AC·（AB+AC）是比較困難的數(shù)感、符號感不強是導致此處思路出現(xiàn)障礙的重要原因.如果能夠變形成式子“a2=bc”，受阿基米德原理折弦定理“截長補短法”啟發(fā)構造相似三角形就是順理成章的事了.

本題各小問層次分明，梯度合理，內在邏輯明顯，有利于學生在各小問的相關啟發(fā)下拾級而上，也有利于不同層次學生的發(fā)揮，具有較好的信度和區(qū)分度.另外，本題合理地兼顧了對基礎知識、基本技能、基本數(shù)學思想方法和基本數(shù)學活動經(jīng)驗的考查，能有效地檢測出數(shù)學抽象、數(shù)學推理、數(shù)學運算等關鍵能力的水平.若該題第（3）問將AC改為常量1，難度將下降不少，從而可以更好地考查學生利用函數(shù)模型分析問題的能力.

三、教學建議

1.用好教材，構建知識體系

教材是教學的藍本，是課程標準的具體體現(xiàn)，是呈現(xiàn)數(shù)學知識的主要載體.在日常教學中，教師要認真研究教材，充分理解教材編寫意圖及教學要求，同時要加強與其他知識的橫向聯(lián)系，有意識地引導學生構建知識體系，輔助學生進行知識的高效內化，便于學生審題時站在宏觀的角度分析問題、解決問題.要用好教材、用活教材，特別是對教材例題、習題，教師一定要進行充分挖掘，最好能進行多維變式，開闊學生的思路，培養(yǎng)學生的應用意識與創(chuàng)新意識.

2.注重過程，體現(xiàn)主體地位

數(shù)學的教學要指向核心素養(yǎng)，而數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落實不能依賴“短平快”的記憶與模仿，要放慢教學節(jié)奏，讓學生有充分的、真實的過程性體驗.要真正體現(xiàn)學生的主體地位，讓學生在經(jīng)歷知識生成的過程中鞏固“四基”，在合作交流的過程中積累活動經(jīng)驗，在探究歸納的過程中領悟思想方法，并逐漸內化為自己的經(jīng)驗，形成問題解決的自覺意識.

3.深度教學，發(fā)展理性思維

理性思維是數(shù)學的核心思維能力，同時是人格素養(yǎng)的重要部分.發(fā)展理性思維、培養(yǎng)理性能力是數(shù)學學習的核心任務.教師要通過深度教學來發(fā)展學生思維的深度和廣度，引導學生深入問題本質，提高學生的橫向綜合能力和縱向突破能力.教師要在理解數(shù)學、理解學生、理解教學的基礎上發(fā)揮好主導作用，將數(shù)學知識、技能和數(shù)學思想方法有機結合在一起，給學生提供展示數(shù)學思維能力的平臺，彰顯數(shù)學教學對學生數(shù)學思維能力發(fā)展的價值.

4.注重歸納，探索自然解法

追溯中考題的來源，剖析歸納其解法可知：歸納是演繹的源泉.只有做好題后總結歸納，才能演繹出新的解題思路，做好演繹，才能鍛煉我們的數(shù)學思維.可見歸納與演繹是相輔相成的，只有做到追根溯源，才能達到道法自然的解題境界.