對2019年南京、鹽城一模力學計算題的分析與修正

王 鑫 張樹瑋 陳孟琪

(常州市第三中學,江蘇 常州 213000)

1 問題的提出

在剛剛結束的2019年南京、鹽城高三一模物理考試中,命題者命制了一道情境新穎的力學計算題.這道力學計算題以連接體模型為載體,設問十分巧妙.筆者在初次解答此題時思路與參考解答完全相同,后經仔細推敲發現這道精彩試題的參考答案存在比較明顯的問題.筆者后來也了解到南京市的物理同仁在面對這個問題時也有很多爭議.基于以上情況,筆者對此題中出現的自洽性問題進行了較為深入的定量分析,并對原題給出的參考解答進行了修正,希望能起到拋磚引玉的作用.

2 原題呈現

圖1

如圖1所示,在水平面上有一傾角為30°的斜面體,質量為m的小球用長為L的細線懸掛,細線與斜面平行,水平推力作用在斜面體上,使整個裝置處于靜止狀態,所有的接觸面均為光滑.當撤去水平推力后,小球推動斜面體向左運動,經t1時間兩者分離.分離后再經過t2時間小球第一次向左擺動到最大高度,此時,細線偏離豎直方向30°.重力加速度取g.求:

(1) 撤去水平推力前,細線所受的力F.

(2) 撤去水平推力后到兩者分離的過程中,小球減小的機械能ΔE.

(3) 撤去水平推力后到小球第一次向左擺到最高處的過程中,斜面體發生的位移大小x.

參考答案解答如下.

(1) 對小球受力分析,根據平衡條件列式得

(2) 對小球,從最右邊擺動到最左邊的過程中

ΔE=mgL(1-cos60°)-mgL(1-cos30°),

(3)t1時間內斜面體發生的位移為x1,

小球在最低點與斜面體分離時,兩者速度相等,斜面體以后做勻速直線運動.t2時間內發生的位移為x2.小球從最低點向左擺動到最高點的過程中根據機械能守恒列式得

所以斜面體發生的位移為

3 質疑與分析

原題給出的參考解答中明確指出小球在圓周運動的最低點與斜面體分離,后續的解答都是建立在這一條件的基礎上進行分析.筆者不禁疑惑,小球與斜面體分離的位置為何是在最低點?是否可能出現小球到達最低點前兩物體已經分離的情況呢?基于這些疑問,筆者從兩種不同的角度進行了分析與論證.

3.1 小球分離位置的定量分析方法1

利用小球與斜面之間的速度關聯和兩物體分離時加速的臨界情況進行分析.

撤去水平推力后,斜面體與小球組成的系統機械能守恒.設小球下擺過程中,細線與水平方向的夾角為θ,小球的角速度為ω,速度大小為v1,斜面體的速度大小為v2,為了方便計算設斜面體的質量為km.根據機械守恒定律列式有

圖2

小球圓周運動的線速度v1=ωL.小球在與斜面體分離以前,利用速度投影定理如圖2所示,兩物體在垂直斜面方向的分速度相等,則

v1cos(θ-30°)=v2sin30°.

聯立3式得

圖3

單獨對小球分析,小球在做復雜的非勻速圓周運動.小球在與斜面體分離前,對斜面體的壓力始終存在,分離瞬間小球對斜面體的壓力為0,此時小球的受力如圖3所示,在法向列出牛頓第二定律方程有

T-mgsinθ=mω2L.

圖4

分離后斜面做勻速直線運動加速度為0,小球獨自向左加速擺動.能夠實現分離的條件是小球在與斜面體分離后垂直斜面的速度分量不斷減小,基于以上分析,分離瞬間小球在垂直斜面方向的加速度必然為0.如圖4所示分離瞬間在垂直斜面方向列出牛頓第二定律方程有

mgcos30°-Tsin(θ-30°)=ma⊥=0.

將以上兩式聯立并帶入ω2化簡得

cos30°-sinθsin(θ-30°)-

上式計算過于繁瑣,對于不同的k值,θ的數值解不同,在此筆者利用GeoGebra軟件進行數值計算.若取k=1,得出θ≈1.2845,若取π=3.14,得θ≈73.6°,此時小球與斜面體分離.若取k=2,得θ≈1.3489,若取π=3.14,得θ≈77.3°.若取k=3,得θ≈1.3850,若取π=3.14,得θ≈79.4°.容易推理出,只有當k無限大,即小球推動一個質量很大的物體時,小球才能與斜面體在最低點分離,這種情況顯然不符合題意.

3.2 小球分離位置的定量分析方法2

先利用機械能守恒和速度關聯求出小球的角速度隨角度變化的關系,再取斜面體為參考系,在這個非慣性系中研究,定量求出在斜面體與小球分離前的過程中,斜面對小球的彈力的表達式,具體分析如下.

撤去水平推力后,斜面體與小球組成的系統機械能守恒.仍然設細線與水平方向的夾角為θ,小球的角速度為ω,速度大小為v1,斜面體的速度大小為v2.根據機械能守恒定律列式有

小球圓周運動的線速度v1=ωL.小球在與斜面分離以前,利用速度投影定理,兩物體在垂直斜面方向速度相等,則

v1cos(θ-30°)=v2sin30°.

聯立上面3式得

圖5

在地面系中分析,小球在于斜面體分離以前,受力圖如圖5所示,在法向列出方程有

T+Nsin(θ-30°)-mgsinθ=mω2L.

分離以前斜面體在水平方向有向左的加速度a,對斜面體列出表達式

圖6

以斜面體為參照系,小球還受到水平向右的慣性力ma,小球的受力圖如圖6所示.分離前,以斜面體為參考系,小球沿著斜面向下做直線運動,小球在垂直斜面方向的加速度必然為0,基于這個分析在垂直斜面方向列式有

Tsin(θ-30°)+N+masin30°=mgcos30°.

將以上3式聯立并代入ω2化簡得

圖7

4 解答的修正

通過之前的分析我們得出小球與斜面體之間并非在最低點分離,所以原題給出的參考解答必然是存在錯誤,現對原題的參考答案進行修正.

4.1 計算斜面體的實際質量和準確的分離角度

設小球在與斜面體分離時細線與水平方向的夾角為θ,分離后小球向左運動達到最大擺角時速度為0,利用機械能守恒列式有

利用之前的分析可列出表達式

v1cos(θ-30°)=v2sin30°,

cos30°-sinθsin(θ-30°)-A1=0.

上面方程組中共有4個未知數,行聯立化簡,利用GeoGebra軟件得到數值解近似為k=1.8156,即斜面體的質量是1.8156 m時,小球與斜

4.2 第3小問的正確解

參考解答的前兩問在原題的題設條件下并無問題,而第3問則存在明顯問題,修正如下.

斜面體與小球分離后向左做勻速直線運動.在t2時間內發生的位移為x2,

所以,斜面體發生的位移為

5 結語

近幾年的江蘇高考試卷和各大市的模考試卷中都出現了大量的連接體問題.這類試題通常情境新穎、綜合性強,具有很好的選拔功能.但是我們同時也必須認識到這類情境新穎的試題在命制時其實很容易出現自洽性問題,希望命題者在今后命制這類試題時能夠進一步注重試題的自洽性,避免類似錯誤再次發生.