“直線的斜率”之教學(xué)設(shè)計

☉江蘇省華羅庚中學(xué) 梁正玲

當前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)伴隨課改的深入而逐漸形成了自主先學(xué)、小組討論、交流展示、質(zhì)疑拓展、檢測反饋、總結(jié)反思的模式.本文是筆者的一次公開課的具體設(shè)計與反思，借助“直線的斜率”這一內(nèi)容將設(shè)計前后的所思所想以文字的形式進行表達，期待同行教師的指導(dǎo).

教學(xué)設(shè)計與反思：

一、從雜亂到有序的課堂導(dǎo)入

設(shè)計一：

1.在同一坐標系內(nèi)作出一次函數(shù)y=x+1、y=2x+1、y=-x+1的圖像，對其共同特點和不同特點進行觀察.

2.現(xiàn)有一個正方形和一個直角三角板，正方形的邊長是100cm，直角三角板的一個腰長是30cm，該正方形的對角線應(yīng)怎樣作出？

設(shè)計二：

預(yù)習(xí)課本中的內(nèi)容并初步感受何為坡度，何為斜率？

如圖1所示，在A、B兩個滑梯中，你更喜歡哪個呢？它們的“陡”和“緩”又該如何刻畫呢？

圖1

設(shè)計三：

自我嘗試（片段實錄）：

自主預(yù)習(xí)并進行以下探究以初步獲得坡度、斜率的概念及概念間的異同.

如圖2所示，大家都玩過滑滑梯，如果要令這一游戲玩起來更刺激，大家認為應(yīng)該對這一滑梯進行怎樣的改造呢？這其中的“陡”和“緩”又該如何刻畫呢？

圖2

生1：方案一：不改變寬度的同時增加其高度；方案二：不改變高度的同時縮短其寬度.

生2：高度和寬度同時改變也是可行的，不過應(yīng)該令高度/寬度的比值變大，這樣才能使坡度變大.

師：很好，坡度變大其實就是高度/寬度的比值變大.

設(shè)計反思：

設(shè)計一中所設(shè)計的兩個問題與后面的概念引入是脫節(jié)的.設(shè)計二能從生活實例中引導(dǎo)學(xué)生感受概念，學(xué)生雖然不太懂得怎樣進行討論和回答，但明顯比設(shè)計一自然了很多.設(shè)計三能從滑梯這一實物中抽象出三角形并引導(dǎo)學(xué)生自主動手實踐和思考，學(xué)生在直觀性、目的性、操作性俱佳的設(shè)計中能夠很好地感受坡度的概念，同時建立在新舊知識上的設(shè)計很好地促進了學(xué)生的探究和思考.

二、從茫然到有據(jù)的概念探索

設(shè)計一：

1.大家能舉出生活中涉及傾斜程度的實例并談?wù)勂鋬A斜程度的刻畫嗎？

2.各小組對生活中的樓梯、滑梯、山坡等進行類比并討論其傾斜程度的刻畫，思考數(shù)學(xué)范疇內(nèi)的直線的傾斜程度的刻畫.

設(shè)計二：

1.大家認為圖3中的兩條直線之間有何區(qū)別呢？這種區(qū)別又應(yīng)該如何數(shù)量化呢？

2.直線的斜率一般應(yīng)怎樣定義？

圖3

設(shè)計三：

1.在同一坐標系內(nèi)作出一次函數(shù)y=x+1、y=2x+1、y=-x+1對應(yīng)的圖像l1、l2、l3，請觀察其共同點與不同點并思考確定直線所需的要素，并類比坡度思考直線的傾斜程度應(yīng)怎樣刻畫.（PPT呈現(xiàn)）

師：大家根據(jù)自己的預(yù)習(xí)所得和以下任務(wù)進行小組交流討論.

小組活動（PPT呈現(xiàn)）：

（1）檢查所作直線的正確與否并分享直線的作法，在其共同點與不同點的比較中感受確定直線所需的要素.

（2）類比滑梯的刻畫計算直線l1與l2哪個更陡？

（3）你能通過計算比較出直線l1和l3的傾斜程度嗎？

各小組代表在討論后進行交流成果的展示.

生3：對于第（1）小題，我們組認為兩點就可以確定一條直線，圖中的三條直線均通過一個點，這是它們的共同點，不過它們各自的傾斜程度并不相同，因此它們是不同的直線，由此可見，由一個點以及直線的傾斜程度也是可以確定直線的.

對于第（2）小題，（投影展示）我們認為可以在直線l1上選兩點（-1，0）、（0，1）并構(gòu)造出直角三角形，計算出其坡度是1，同理l2的坡度是2，因此我們認為l2比l1陡.

生4：我們組計算l1的坡度時選取了（0，1）、（1，2）這兩個點，結(jié)果是一樣的，由此可見，點的選取可以是任意的，大家覺得對嗎？

眾生：是一樣的，因為相似三角形對應(yīng)邊的比例是一樣的啊.

師：這個問題問得很棒，大家的回答也很棒，因此任意選兩點是沒有問題的.

生3：對于第（3）小題，我們計算得出了相同的坡度，不過，其傾斜方向顯然是不一樣的，由此可見，僅僅用坡度來區(qū)分直線應(yīng)該是不靠譜的，大家是否有其他好辦法？

師：表達得很到位，他提出的問題值得我們思考，大家是否覺得此時需要一個新的量來刻畫呢？

生5：我們是這樣想的，l1、l3和x軸的交點并不一樣，由此可見，兩條直線相對于x軸的正方向來說，存在著不同的傾斜角度，因此，是否可以考慮用正負號來表達直線的傾斜程度呢？

生6：我們組也觀察到了l1和l3方向上的不同，因此，找準方向應(yīng)該是必須的，正負之分也就很自然了.

師：很有想法，大家一起來計算一下，用這種方法來區(qū)分l1和l3可行嗎？

（學(xué)生驗證出其可行性）

師：事實上，這一比值就是用來刻畫直線傾斜程度的，叫做直線的斜率.大家認為如何給其下定義呢？

生8：分母不能為零，因此x1≠x2，若x1=x2，則k不存在，此時直線PQ⊥x軸.大家可有其他補充？

師：很好，與x軸不垂直的直線的斜率為定值，直線的方向也因為斜率而得到刻畫，（板書課題）這也是今天的研究主題.

設(shè)計反思：

設(shè)計一雖然能夠聯(lián)系生活實際，但學(xué)生解決第四個問題時往往會感覺無所適從，因此探究過程也就缺失了.設(shè)計二中的問題2并不能令學(xué)生在直線的量化區(qū)別中感到思維上的清晰與明確，很多學(xué)生根本無從回答.設(shè)計三使學(xué)生在探究目標與任務(wù)的引領(lǐng)下獲得了有效的思考，學(xué)生在獲得概念、量化區(qū)分直線的過程中也更好地體會到了斜率的概念學(xué)習(xí)的必要性.

三、從無邏輯到有章法的習(xí)題選擇

設(shè)計一、二：

例1 已知直線過P（3，2）、Q（3t，t）兩點，直線斜率如何？

例2 在同一坐標系內(nèi)作出一次函數(shù)y=x+1、y=2x+1、y=-x+1的圖像并分別求出其斜率.

設(shè)計三：

例1 如圖4所示，直線l1、l2、l3均經(jīng)過點P（3，2），同時l1、l2、l3又分別經(jīng)過點Q1（-2，-1）、Q2（4，-2）、Q3（-3，2），試求直線l1、l2、l3的斜率.

例2 經(jīng)過點（3，2）作直線并令直線的斜率分別是：（1）；（3）0.

圖4

小組活動（PPT呈現(xiàn)活動要求）：

（1）各組推薦2位同學(xué)板書題1、題2（1）.

（2）大家從題1中三條直線在坐標系中的分布情況中可有什么發(fā)現(xiàn)？

（3）請大家將題2（1）的解題方法寫在白紙上并作交流.

（生10作交流并回答了問題2，繼而進行如下變式練習(xí).）

變式1：已知直線過P（3，2）、Q（3t，t）兩點，該直線斜率如何？

（應(yīng)該考慮斜率的存在情況）

變式2：求直線y=x+1、y=-x+1的斜率.

（討論發(fā)現(xiàn)直線的斜率是一次項的系數(shù)）

師：確定斜率之后是不是就可以確定直線了呢？多少條？相互間的位置關(guān)系如何？

生11：無數(shù)條且相互平行.

師：例2中的直線可以確定嗎？該直線可以作出嗎？

生12板書并講解：一直一個點，因此要再確定一個點.設(shè)點P（x，y），則，因此則直線也就可以作出了，大家可有補充？

生13：上述方程有無數(shù)組解，因此，應(yīng)該取一個特殊點并作出圖象.

師：非常好，很細心，值得大家學(xué)習(xí)，解題中的規(guī)范性也是需要大家注意的.

生15：可選（0，0）、（4，3）兩點并作出直線，過點（3，2）作出其平行線.

生16：由斜率的定義可得，把（3，2）向右水平移動4個單位后再豎直向上移動3個單位，可得點（7，5）.

師：太棒了，大家選擇自己喜歡的方法來完成（2）、（3）兩題吧.

設(shè)計反思：

設(shè)計一、二對于學(xué)生預(yù)習(xí)后的知識掌握情況高估了，學(xué)生或許能夠很好地解題，但對于其中的知識與方法卻是沒有辦法進行提煉和變式的.設(shè)計三能在例題的基礎(chǔ)上進行變式，使學(xué)生在演算、講解的實踐中真正體會到斜率的含義與作用.

檢測促學(xué)：

1.已知直線l過點A（-1，2m）、B（m，m+3），其斜率為2，則實數(shù)m=______.

2.已知直線l的斜率k=2，直線l上有一點P（2，3），如果將點P沿x軸方向向右移動3個單位，再沿y軸方向向上移動______個單位后所得的點P1還在直線上.

總之，我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須立足于學(xué)生的認知基礎(chǔ)，同時也應(yīng)注意思維的延展性，唯有如此才能促進學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效提升.F