對(duì)一道高考題的多解與變式研究

☉山東省臨沂第一中學(xué) 曹方瑜

圓錐曲線中橢圓與雙曲線的離心率問(wèn)題一直是一個(gè)熱點(diǎn)，也是歷年數(shù)學(xué)高考、競(jìng)賽中比較常見的一類問(wèn)題，常考常新，變化較大.解決圓錐曲線的離心率問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找橢圓或雙曲線中參數(shù)a、c所滿足的關(guān)系式，根據(jù)題設(shè)條件可靈活利用圓錐曲線的定義與幾何性質(zhì)、解三角形知識(shí)或利用直線的方程、直線的斜率、平面幾何性質(zhì)等進(jìn)行綜合分析與處理，從而得以解決離心率的求值、離心率的取值范圍等有關(guān)問(wèn)題.

一、高考在線

題目 （2018·全國(guó)Ⅲ理·11）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)F作C的2一條漸近線的垂線，垂足為P，若則C的離心率為（ ）.

分析：根據(jù)題目條件，利用雙曲線中參數(shù)a，b，c的幾何意義可知可得，進(jìn)而可以利用解三角形來(lái)建立參數(shù)a、c之間的關(guān)系式，也可以借助解析幾何中直線的方程來(lái)轉(zhuǎn)化，從而得以求解.

二、多維角度

對(duì)于雙曲線問(wèn)題，可以從多角度切入進(jìn)行深度挖掘，從而達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果.不同的切入點(diǎn)有不同的解法，多點(diǎn)思維，多向開花.

解法1：如圖1，由a，b，c的幾何意義可知|OF2|=c，|PF2|=b，可得|OP|=a，而cos∠POF1=cos（π-

圖1

故選C.

解法2：由a，b，c的幾何意義可知|OF2|=c，|PF2|=b，可得|OP|=a，而

整理可得4c2-6a2=3b2=3（c2-a2），

即c2=3a2，

所以雙曲線C的離心率為

故選C.

解法3：由a，b，c的幾何意義可知，|OF2|=c，|PF2|=b，可得

由雙曲線知其漸近線OP的方程為

整理可得c2=3a2，

所以雙曲線C的離心率為

故選C.

三、變式拓展

當(dāng)我們解完一道題之后，要不斷地領(lǐng)悟反思，通過(guò)對(duì)該題的深入觀察，拓展思維，改變條件，可以得到意想不到的效果.

變式1：設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為P，若|PF1|=2|PF2|，則雙曲線C的離心率為______.

解析：由a，b，c的幾何意義可知|OF2|=c，|PF2|=b，可得|PF1|=2|PF2|=2b，

由雙曲線知其漸近線OP的方程為

則直線PF2的方程為

所以雙曲線C的離心率為

變式2：已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B，若|OF|=|OB|，則雙曲線C的離心率是（ ）.

解析：設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為則直線

AB的方程為

聯(lián)立

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

聯(lián)立

解得

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

由|OF|=|OB|知△OFB為等腰三角形，

則A為FB的中點(diǎn)，

則結(jié)合比例關(guān)系知，點(diǎn)B到x軸的距離為點(diǎn)A到x軸的距離的2倍，即

整理可得b2=3a2，

故選D.

變式3：如圖2所示，已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)F作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，延長(zhǎng)FM與y軸交于點(diǎn)P，且|FM|=4|PM|，則雙曲線C的離心率為______.

圖2

解析：設(shè)F（c，0），則c2=a2+b2，由于雙曲線1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為

則垂線FM的斜率為那么直線FM的方程為

令x=0，得P的坐標(biāo)

設(shè)M（x，y），由|FM|=4|PM|，

可得

即x-c=-4x且，解得

代，得

即4a2=b2，則有4a2=c2-a2，可得5a2=c2，

所以雙曲線C的離心率為

故填答案：

通過(guò)深入觀察，多向思維，巧妙拓展，看似平常的一道圓錐曲線的離心率求解問(wèn)題，卻獨(dú)具匠心，充分體現(xiàn)出命題者“以能力為主”“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題”的命題理念.通過(guò)一題多變，培養(yǎng)了學(xué)生思維的應(yīng)變性，實(shí)現(xiàn)了提高發(fā)散思維的變通性.把課本練習(xí)題、考題等通過(guò)變換條件，變換結(jié)論，變換命題等，使之變?yōu)楦袃r(jià)值、更有新意的新問(wèn)題，從而應(yīng)用更多的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，獲得“一題多練”、“一題多得”的效果.F