對2018年全國卷Ⅲ理科21題（Ⅱ）的質疑*

☉四川內江師范學院數學與信息科學學院 劉成龍

☉四川省瀘州市瀘州高級中學 呂榮春

百度百科對質疑的解釋是提出疑問.提出疑問是創新的重要表現，敢于質疑是科學研究的良好品格.有質疑、有爭鳴才能喚醒固化的思維，才能在碰撞中閃現智慧的火花.2018年全國卷Ⅲ理科第21題（下文簡稱21題）無論是參考答案，還是試題命題上都存在值得質疑的地方，本文將從四個角度對21題提出質疑.

一、試題再現

已知函數f（x）=（2+x+ax2）ln（x+1）-2x.

（Ⅰ）若a=0，證明：當-1＜x＜0時，f（x）＜0；當x＞0時，f（x）＞0.

（Ⅱ）若x=0是f（x）的極大值點，求a.

二、四點質疑

質疑之一：證明過程嚴謹嗎？

答案是試題的重要組成部分.考試中心提供的（Ⅱ）的參考答案（華西都市報刊登）有不妥之處，為了行文方便先摘錄如下：

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，當x＞0時，f（x）＞（2+x）ln（1+x）-2x＞0=f（0），這與x=0是f（x）的極大值點矛盾.（ⅱ）若a＜0，設函數由于當時，2+x+ax2＞0，故h（x）與f（x）的符號相同.又h（0）=f（0）=0，故x=0是f（x）的極大值點當且僅當x=0是h（x）的極大值點.

如果6a+1＞0，則當，且時，h′（x）＞0，故x=0不是h（x）的極大值點.

如果6a+1＜0，則a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1＜0，故當時，且時，h（′x）＜0，所以x=0不是h（x）的極大值點.

如果6a+1=0，則

當x∈（-1，0）時，h′（x）＞0；當x∈（0，1）時，h′（x）＜0.所以x=0是h（x）的極大值點.綜上

疑問：上述證明中利用“2+x+ax2＞0，h（x）與f（x）具有相同的極大值點x=0.”的依據是什么呢？是顯然的嗎？我們認為這并不顯然.事實上，若m為大于零的常數，則具有相同的極值點，這是顯然的，但2+x+ax2為大于零的變量，此時h（x）與f（x）還具有相同的極值點嗎？這需要證明，但參考答案并沒有給出解釋，且這個“結論”在中學教材上也找不到根據.解答上述“結論”需要借助以下引理：

已知函數f（x）滿足f（0）=0，函數g（x）滿足：存在δ＞0，使得對任意的x∈（0，δ），都有g（x）＞0恒成立，令h（x）=，則x=0是（fx）的極大值點的充要條件是x=0是h（x）的極大值點.

這個引理的證明，需要深刻理解鄰域的概念及符號的表達，而高中生沒有接觸過鄰域的概念，更談不上運用符號語言進行證明，所以看似顯然的結論其實并不顯然.

因此，21題第（Ⅱ）問的參考答案不嚴謹.

質疑之二：試題背景公平嗎？

試題背景指命題時選取素材中含有的知識、模型、問題、思想和方法，這些知識、問題、思想和方法稱為數學背景.我們不禁要問該試題背景公平嗎？

21題含有豐富的高等數學背景，借助高等數學工具能夠快速解答，比如：借助極值點的第二充分條件，由f（3（）0）=0且f（4（）0）＜0可得又如，根據極大值點的定義：當x∈（0，δ）時，f′（x）＜0，因為δ可以無限趨近于0，可直接使用洛必達法則，得，同理可得進而得到；再如，由y=ln（x+1）在（1，2）階的帕德逼近函數為，結合函數表達式可直接看出答案為很明顯熟悉高等數學背景的同學解答本題幾乎沒有什么障礙，但因不熟悉高等數學背景而使用初等解法求解卻難于上青天.

因此，21題第（Ⅱ）問背景明顯不公平.

質疑之三：試題選拔功能真的好嗎？

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：“高考是我國最為重要的選拔性考試，數學高考命題應依據人才選拔的要求，發揮數學高考的選拔功能.”［1］我們不禁要問21題的選拔功能真的好嗎？

從對考生的訪談來看，絕大部分考生認為試題太難，不知道怎么下手；從對教師的訪談來看，多數教師認為試題解答涉及精妙的構造，有濃濃的大學數學分析味道，以至于所給的參考答案很難看懂；從閱卷場反饋的信息來看，某省近30萬理科考生近乎無人用初等解法做對，且用高等解法做對的不足30人，可見，用初等解法做對的比例幾乎為零，用高等解法做對的比例也不足萬分之一.不難看出，就算是運用高等解法解答正確的比例也遠遠低于“名校”的招錄比例，甚至低于“一本”的招錄比例，顯然以此來選拔人才不具有科學性和合理性.同時，從試題命制層面上看，21題難度系數遠低于0.2，按考試大綱規定難度在0.2以下的試題不宜出現在試卷中.

因此，21題第（Ⅱ）問不具備良好的選拔功能.

質疑之四：試題的導向功能好嗎？

高考試題具有數學測評、科研選題、命題示范、知識延展、思維訓練、思想承載、教學導向和德育滲透等功能.［2］21題對2019年的復習備考有何啟示呢？2019年的高考復習我們應何去何從？高三復習是否需要命制偏難怪試題？高三復習是否需要補充高等數學相關知識？等等.基于前文的分析，21題有引導高三復習補充高等數學知識之嫌，當然這與中學數學的教學實際不相符.同時，21題也有引導用偏難怪選拔人才之意，這與數年來高考選拔人才的方式相悖.

因此，21題第（Ⅱ）問不具備良好的導向功能.

三、對命制壓軸題的一點思考

高考壓軸題具有選拔功能無可厚非，但試題的難度不能肆意拔高，試題的背景理應公平，試題的立意不能脫離實際，試題應具有良好的導向功能.對此，我們認為命題應該做到以下幾點：

首先，試題應該具有公平的背景，這是試題命制的前提，否則將失去考查的意義；其次，命制試題是一個嚴謹的過程，尤其是像高考這樣的重大考試，試題及答案均應該精心打磨，不應出現爭議；再次，試題的立意應該符合中學數學的教學實際，要具有良好的導向功能；最后，高考的選拔功能要適度，要切實有利于為高校選拔一批人才.

總之，高考壓軸題——想說愛你不容易應是常態，而高考壓軸題——想說愛你不可能應該杜絕.