注重數學運算，提升核心素養

☉山西省大同市第二中學 王 虹

結合數學核心素養中的數學運算，從掌握基本運算概念、強化運算技巧意識、優選運算方法等角度出發，下面結合實例來加以闡述.

一、問題的提出

在《普通高中數學課程標準（2017年版）》一文中，對應“課程基本理念”部分第一次創新性地提出：“高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養.”高中階段，結合數學學科的特點，歸納總結出了六大核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.

在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養就是數學運算，其包括的主要內容有：“理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等”.

我們知道，數學運算作為一條主要鏈條貫穿于整個數學的學習過程，是各個階段的學生必須具備的一項基本技能與基本素養，也是數學知識體系的一個主要鏈接點與粘合劑.數學運算是按照數學的相關概念或定義、公式、法則、公理和相關程序等進行的簡單操作過程與邏輯推理過程，更是不同知識點間復雜煩瑣的化歸轉化與思維體現，借助數學運算可以有效地訓練學生的邏輯思維，培養學生的意志品質，提升學生各方面的能力與素養.

二、問題的解決

數學運算是解決數學問題的基本手段和基本過程之一.借助數學運算，不僅能夠有效地發展與提升學生的數學運算能力，有效解決一些相關的實際應用問題，還能夠促進數學知識、能力、思維、素養等各方面的發展，進而養成良好的程序化、系統化、數學化思考、分析、處理與解決問題的習慣，養成正確的科學精神.

1.掌握基本運算概念，作好基礎鋪墊

例1（2018年浙江卷18）已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點

分析：（Ⅰ）由已知條件結合三角函數的定義求得sinα的值，然后利用誘導公式求解sin（α+π）的值即可；（Ⅱ）由已知條件結合三角函數的定義求得cosα的值，結合sin（α+β）的值并根據同角三角函數的基本關系式確定cos（α+β）的值，再通過分類討論利用兩角差的余弦公式代值計算即得答案.

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；，所以

點評：借助三角函數的定義，并結合誘導公式、同角三角函數基本關系式、三角恒等變換公式等，綜合來處理與解決有關的三角函數求值問題.涉及三角函數的數學運算往往融合“繁、長、巧”于一體，正常的數學運算往往會淹沒在“繁”或“長”中，而根據題目條件充分把握好三角函數解題環節中所產生的數學運算，通過合理分析與巧妙轉化，進行有效化歸與調控，深入理解與掌握數學運算的原理，從而有效地提高數學運算的目的性、針對性及靈活性.

2.強化運算技巧意識，分解運算難度

例2（2018年江蘇卷11）若函數f（x）=2x3-ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內有且只有一個零點，則f（x）在［-1，1］上的最大值與最小值的和為______.

分析：通過求導，結合參數a的不同情況分a≤0，a＞0進行討論，確定在不同情況下函數的單調性及對應的最值，進而確定函數在給定區間上的最大值與最小值的和的問題.

解：由f（x）=2x3-ax2+1，可得f′（x）=6x2-2ax.

若a≤0，則f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增，而f（0）=1＞0，故f（x）在（0，+∞）內沒有零點.

若a＞0，由f（′x）=0，解得x=0或，則當時，f′（x）＜0，f（x） 在區間上單調遞減；當x∈時，f（′x）＞0，（fx）在區間上單調遞增.

又函數f（x）在（0，+∞）內有且只有一個零點，則知，解得a=3，此時（fx）=2x3-3x2+1.

f′（x）、f（x）在區間［-1，1］上的變化情況如下表：

x -1 （-1，0） 0 （0，1） 1 f′（x）+0—0 f（x）-4↗極大值1↘極小值0

從上表可知，在［-1，1］上，f（x）max=f（0）=1，f（x）min=f（-1）=-4，所以f（x）在［-1，1］上的最大值與最小值的和為f（x）max+f（x）min=1-4=-3.

點評：在利用導數解決問題時，通過轉化，f（x）在（0，+∞）內有且只有一個零點等價于f（x）min=0，進而得以確定參數a的值，并利用列表來確定給定區間上函數的最值，得以解決問題.強化導數及其應用中的數學運算技巧，經常可以有效分解問題步驟與運算難度，轉化解題難點，進而真正提升解題效率.

三、感悟與反思

我們知道，數學運算能力的培養與提升是一個道路漫長、循序漸進、螺旋上升的過程.學生通過對數學問題的恰當解決，結合不同的數學運算與運算技巧的運用、比較、感悟，從而進一步鞏固相關概念的理解與掌握，數學知識的掌握與應用，以及數學運算規律的掌握與提升，最終達到真正優化數學思維品質，提升數學能力，培養數學素養的目的.數學運算素養與邏輯思維能力的培養與提升是相通的、一脈相承的、休戚相關的.