淺談巧解多變量取值范圍的特殊策略

☉浙江省武義第一中學 龔超群

對于各個變量，首先要仔細觀察，利用題目所給的條件和形式將多個變量變為單一變量，簡稱消元.常用的消元法有代入消元、加減消元、三角換元等，本文便不作例舉了.特殊的方法有整體代換消元、擱置無關元、確定主次變量、分離雙變量、齊次式轉化、巧用不等式、利用判別式等，希望能在通性通法之外有一些其他思路.

一、整體代換消元

例1（2008·江蘇，11）設x，y，z為正實數，滿足x-2y+3z=0，則的最小值是______.

解：由x-2y+3z=0，得

因為x，y，z是正實數，

評注：本題利用x-2y+3z=0，將整體代入所求的中，同時結合齊次式轉化的思想，綜合運用基本不等式，最后得到最值.

二、擱置無關元

通過觀察和分析，發現有些變量在解題過程中沒有直接影響，可以暫時擱置.

例2已知實數x，y，z滿足x2+2y2+3z2=1，求x+2y的最大值.

解：由x2+2y2+3z2=1變形得：x2+2y2=1-3z2≤1，不妨設r2=1-3z2，0≤r≤1.

評注：本題利用變形發現變量z在解題過程中無關緊要，所以可以擱置，直接求關于x，y的雙變量最值問題，當然也可以用不等式，如果把題目由x+2y變成ax+by的形式可以采用三角代換或者柯西不等式來解答.

三、確定主次變量

例3若存在實數y∈［1，2］，使得關于x的方程|x|（x2-y）=（y2+y）t有四個不相等的實數根，求實數t的取值范圍.

解：將方程變形為關于x的函數，其中y為參數，不妨設

易知g（x）為偶函數，當x≥0時和是g（x）的兩個零點.

因為y∈［1，2］，對g（x）求導得：

所以g（x）在上單調遞減，在上單調遞增.

所以g（x）在（0，+∞）上的最小值為

又因為存在y∈［1，2］，g（x）為偶函數，

所以由函數g（x）的圖像可知：

當h（y）min＜t＜0，關于x的函數與直線f（x）=t有四個不同的交點，

即可知：關于x的方程|x|（x2-y）=（y2+y）t有四個不相等的實數根.

所以

即當時，關于x的方程|x（|x2-y）=（y2+y）t有四個不相等的實數根.

評注：看似比較牽強，本題把變量y看成了一個存在性的參數，先分析并討論了主變量x的函數變化情況，消去x之后又將y看成一個次變量，利用存在性最終得到參數t的取值范圍.在分析多變量函數的恒成立問題時，經?？梢圆捎眠@樣的思路，分析題目中的主次變量，然后按順序分析變量來解決問題，有時候也被稱為變更主元.

如果觀察到兩個變量關系式可以分離為互相獨立的兩個函數f（x），g（y），那么分離雙變量x，y，可以利用兩個變量所對應的函數的值域來解決恒成立或者存在性問題.

四、齊次式轉化

如果題中所給的條件是多個變量的齊次等式（或齊次不等式），可先將式子兩邊同時除以某個含變量的式子，然后用整體換元來減少變量；若是多個變量的齊次分式，則先將分子和分母同時除以某個變量的相同次冪，再用整體換元來減少變量.

例4若實數x，y滿足xy＞0，求的最大值.

解：因為實數x，y滿足xy＞0，可以將所求式子的分子分母同時除以xy，

評注：本題將分子和分母的齊次分式同時除以xy，將xy視為一個整體，達到轉化為單一變量的目的，然后運用基本不等式來解答.

五、巧用不等式

很多文章都論述了運用基本不等式和柯西不等式來解決雙變量問題的思想方法，不等式運用過程中最大的特點是“湊”和“巧”，很多雙變量問題都可以運用不等式來解決.

例5設單位向量a，b的夾角為銳角，若對任意的實數（x，y）∈（{x，y）||xa+yb|=1，xy≥0}，都有成立，求a·b的最小值.

解：設單位向量a，b的夾角為θ，由（x，y）∈{（x，y）||xa+yb|=1，xy≥0}，

得：x2+y2+2xycosθ=1. ①

因為對任意的實數（x，y）都有成立，

由①代入“1”得：15x2+60xy+60y2≤64（x2+y2+2xycosθ）.若對任意的實數（x，y）恒成立，則60-128cosθ≤恒成立，由基本不等式得，即a·b的最小值為

評注：本題先由向量的模得到一個含有參數θ的等式，然后對恒成立問題簡化出來的“64”和等式中的“1”進行靈活代換，并采用將參數θ分離的策略，最后運用基本不等式解決比較巧妙.

六、利用二次方程的判別式

以上幾種方法都可以利用已知條件將多變量變為單一變量，但是有的時候根據題目所給的條件，運用消元法比較困難或者無法消元，此時可以采用二次方程的判別式進行求解.

例6（2011·浙江理，16）設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.

答：設2x+y=t，則y=t-2x，代入4x2+y2+xy=1得：

4x2+（t-2x）2+x（t-2x）=1?6x2-3tx+t2-1=0，

則關于x的方程必定有解，由判別式Δ≥0恒成立可解得所以2x+y的最大值為

評注：本題的解題方法比較多，也比較靈活，但是綜合判斷還是運用判別式的方法比較簡潔.F