解析化思想和創新思維在二元一次不等式（組）中的應用
——教學中的一點感悟

☉甘肅省靖遠縣第二中學 郭眾民

二元一次不等式（組）的求解思路是理解二元一次不等式（組）與平面區域的關系，借助幾何直觀來解決簡單的線性規劃問題，它是高中數學課程中的難點和重點.若想很好地掌握這部分內容，則學習方法和學習技巧是關鍵.在教育教學實踐中筆者講授二元一次不等式（組）Ax+By+C＞0（或＜0），（A2+B2≠0）在平面直角坐標系中表示的平面區域的判別方法時，在教材人教版必修5中給出的是“直線定邊界，特殊點定區域”的方法來學習和處理這部分內容.一種方法是：取原點（0，0）代入不等式（組）來判斷不等式（組）是否成立來確定不等式（組）表示的平面區域，而當直線過坐標原點時再取點進行判斷；另一種方法是：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側的所有點組成的平面區域.（虛線表示區域不包括邊界直線）對于在直線Ax+By+C=0同一側的所有點（x，y），把它們的坐標（x，y）代入Ax+By+C，所得實數的符號都相同，所以只需在此直線的某一側取一特殊點（x0，y0），然后從Ax0+By0+C的正負即可判斷Ax+By+C＞0表示在直線哪一側的平面區域.（特別的，當C≠0時，常把原點作為此特殊點）.

雖然這些方法是最基本的方法，但筆者感覺這種方法在教材中不夠簡單且不易掌握，學生學習起來特別困難.筆者在有關資料中還看到有一種由直線的一般式方程的系數特征判斷直線位置關系的方法，類比可得到由二元一次不等式（組）Ax+By+C＞0的系數特征（A，B的符號特征），來確定二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0）所表示的平面區域，例如：

若：A＞0，B＞0，筆者感覺用二元一次不等式Ax+By+C＞0來表示直線Ax+By+C=0右上方的平面區域的方法仍沒有體現出解析化思想和創新思維，筆者在教學過程中思考由直線方程Ax+By+C=0的一般式所得不等式中的變量x的取值范圍能否判斷二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0）所表示的平面區域？筆者結合一元一次方程和一元一次不等式的解集的求法來研究這個問題，把二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0）中的兩個未知量中的一個設為零（例如y），這樣就變為一元一次不等式，再根據未知量的取值判斷其所表示的平面區域，通過多次實踐和總結來發現這是一種易于記憶，便于應用的簡易方法，下面筆者就對這種方法做一介紹，與各位同仁商榷.

一、特殊情形

（1）若A=0，B≠0，則By+C＞0（或＜0）可化為從而表示直線By+C=0的上方或下方的平面區域，如圖1或圖2.

圖1

圖2

（2）若A≠0，B=0，則Ax+C＞0（或＜0）可化為從而表示直線Ax+C=0的右側或左側的平面區域，如圖3或圖4.

圖3

圖4

由直線Ax+By+C=0求出直線的斜率然后判斷斜率的符號，直線的斜率大于零或小于零在直角坐標

二、一般情形（A≠0，且B≠0）

系里有兩種位置，如圖5或圖6，

圖5

圖6

1.當k＞0時，

（1）在圖5中的直線構成的不等式Ax+By+C＞0中，令y=0，當A＞0時得，則區間都在不等式所表示的平面區域內，所以Ax+By+C＞0表示的平面區域是直線Ax+By+C=0的右下方的區域，如圖7；當A＜0時得x＜則區間都在不等式所表示的平面區域內，所以Ax+By+C＞0表示的平面區域是直線Ax+By+C=0的左上方的區域，如圖8.

圖7

圖8

（2）在圖5中的直線構成的不等式Ax+By+C＜0中，令y=0，當A＞0時得則區間都在不等式所表示的平面區域內，所以Ax+By+C＜0表示的平面區域是直線Ax+By+C=0的左上方的區域，如圖8；當A＜0時得則區間都在不等式所表示的平面區域內，所以Ax+By+C＜0表示的平面區域是直線Ax+By+C=0的右下方的區域，如圖7.

2.當k＜0時，

（1）在圖6中的直線構成的不等式Ax+By+C＞0中，令y=0，當A＞0時得，則區間都在不等式所表示的平面區域內，所以Ax+By+C＞0表示的平面區域是直線Ax+By+C=0的右上方的區域，如圖9；當A＜0時得x＜則區間都在不等式所表示的平面區域內，所以Ax+By+C＞0表示的平面區域是直線Ax+By+C=0的左下方的區域，如圖10.

（2）在圖6中的直線構成的不等式Ax+By+C＜0中，令y=0，當A＞0時得則區間都在不等式所表示的平面區域內，所以Ax+By+C＜0表示的平面區域是直線Ax+By+C=0的左下方的區域，如圖10；當A＜0時得則區間都在不等式所表示的平面區域內，所以Ax+By+C＜0表示的平面區域是直線Ax+By+C=0的右上方的區域，如圖9.

圖9

圖10

解：先畫出直線x-y+5=0，在不等式x-y+5≥0中令y=0得x≥-5，可得x-y+5≥0所表示的平面區域是直線x-y+5=0的右下方的半平面，再畫直線x+y=0，在不等式x+y≥0中令y=0，得x≥0，可得x+y≥0所表示的平面區域是直線x+y=0的右上方的半平面，然后畫出特殊的不等式x≤3的半平面，則以上三個不等式的公共部分就是不等式組所表示的平面區域.如圖11.筆者感到運用這種方法解此類問題可以既簡單又準確地求出二元一次不等式（組）所表示的平面區域.

圖11

筆者在課堂教學中通過實踐和多次嘗試得到這種求二元一次不等式（組）表示的平面區域是一種比較合理實用且便于記憶的方法，尤其是在線性規劃求最值時，運用這種方法可以簡便快捷地畫出其可行域.隨著新課程改革的不斷深入，解析化思想在學生學習中起著十分重要的作用，在學生對解析化思想的掌握上需要重視其對基礎知識的牢固掌握，在課堂教學中對解析化思想的滲透要靈活，以啟迪學生的創新思維.F