問渠那得清如許 為有源頭活水來
——核心素養在教學中的體現

☉湖北省武穴市教育科學研究院 劉全豐

☉湖北省武穴市育才高中 吳加興

隨著2016年“中國學生發展核心素養”的正式誕生，高中數學課程標準修訂組還將“核心素養”與數學課程相結合，“核心素養”在數學教學及研究中迅速走紅，它包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析這六大素養.在2019年的高考大綱中又增添了“新生思想道德素質”“促進學生德智體美勞全面發展”等表述，這實際上反映了教育要回歸到教育的本源問題：培養人的活動.在近幾年，數學核心素養就滲透到了數學教學的方方面面.現在就概率統計中的某些問題來談談核心素養是如何體現的.

例1某地區對垃圾進行無害化處理，從2008年至2014年的處理量（單位：億噸）的折線圖如圖1：

圖1

（Ⅰ）由折線圖看出，y與t的關系可以用線性回歸模型擬合，請用相關系數加以證明；

（Ⅱ）（略）

參考數據

參考公式：相關系數

回歸方程y?=a?+b?t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

分析：這道題目是一道統計題目，它首先通過對某地區2008年至2014年垃圾無害化處理量的數據進行收集，畫出其散點圖，然后通過數學直觀，抽象出它有可能是一個線性回歸模型，但是它是否符合線性回歸模型？我們通過計算相關系數r（數學運算），得到r≈0.99，r＞0.75，r→1，通過對數據的分析，我們知道可以用回歸直線來模擬，從而達到建模的目的，它實際上是數學六個核心素養的一個整體應用.

在計算線性相關系數時，雖然是閱讀材料，但是它告訴了我們線性相關系數的公式，只需要把數據直接代入即可求解，所以這應該是一道簡單的計算題.

但是，現實情況卻出人意料，很多學生看到這道題目時卻傻眼了，大部分學生無從入手.他們發現：題目中的參考數據中并沒有現成的數據可以直接代入，結果只能讓這些分數白白丟失.究其原因，無非就是不能用條件中的參考數據來表示.即使是能夠得分的部分同學有的也是死記結論來得到的，所以是極不可靠的.這道題的命題意圖實際上是要求學生能夠通過數學運算和邏輯推理來得到這兩組公式間的相互轉換：

這個問題在很大程度上反映了我們教學中存在的問題：忽視了每個概念、定義、公式、性質等內容的推導過程，在課堂上迅速地把這些內容擺出來，講例題，套公式，然后通過大量的習題，使學生達到掌握的程度.但是這種學習非常的費時、費力，而且學生不懂得變通，對于平時沒有見過的問題就會束手無策.同時在近幾年高考中增加了概率統計的難度和地位：從過去的“送分”題，到現在的中等及偏難題；從過去的直接套用公式，到現在通過收集的數據、直觀圖形來抽象出數學模型，然后通過數學計算，分析模型，構造函數，得到最優解，這些問題無一不是數學核心素養在高考中的體現.

例2某公司為了能夠進行更好的發展，需要對公司進行宣傳，為了確定下一年度宣傳費的投入，對近8年的宣傳費xi和年銷售量yi（i=1，2，3，…，8）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值，模擬年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）對年宣傳費x（單位：千元）的影響.

圖2

∑（xi-x）2 n x y w i=1 46.6 563 6.8 289.8∑（wi-w）2 n∑（xin∑（win i=1 i=1 x）（yi-y）i=1 w）（yi-y）1.6 1469 108.8

（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；

（3）已知這種產品的年利率z與x、y的關系為z=0.2yx.根據（2）的結果回答下列問題：①年宣傳費x=49時，年利潤及年銷售量的預報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？

分析：根據散點圖，通過直觀想象，本題應該不是線性回歸問題，通過排除法或者圖形的特點，得到適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程.然后通過整體代換令即通過數據運算及邏輯推理把不熟悉的問題變為熟悉的問題，先建立y關于w的線性回歸方程，根據公式可以計算得到：

所以y關于w的線性回歸方程為y?=100.6+68w.

根據模型，通過數據運算、分析，然后預測結果.

由（2）知，當x=49時，年銷售量y的預報值

年利潤z的預報值z?=576.6×0.2-49=66.32.

在第三問中，①是一種特殊的情況，然后從特殊到一般得到一個無理函數，再根據邏輯推理對無理函數進行整體代換，把無理函數轉化為二次函數，根據二次函數的圖像和性質得到最值，從而為我們的日常生活生產服務.

根據（2）的結果知，年利潤z的預報值

所以當，即x=46.24時取得最大值.

故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大.

如果平時在學習中只靠刷題來提高數學成績的同學，可能大多數在高考時對于本題只能是望洋興嘆了，平時只是做過線性回歸的直線方程問題，而這道題很顯然換了一身新的“馬甲”——非線性關系.這也從側面反映了我們在教學過程中輕過程重結果，忽視了知識生成的思維過程，只注重機械的練習，這不符合現在新課改的要求.同時在第（2）（3）問中，使我們理解到數學不只是為了學習數學而學習數學，而是通過對數學的學習來分析世界并服務世界，這些都符合現在課改的精神.現在的大綱提出來的六大核心素養，把新的問題轉化為我們所熟悉的問題，將復雜的問題簡單化，都需要我們注重過程教學，培養學生的思維，注重核心素養在課堂教學中的滲透.

例3從區間［0，1］隨機抽取2n個數xi，yi（i=1，2，3，…，n）構成n個數對（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），其中兩數的平方和小于1的數對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為______.

分析：這道題目是必修三幾何概率中估算圓周率π的一個“撒黃豆”實驗，但是在這道題中，命題人把黃豆改為隨機數，很多學生就不知所云.

（1）由幾何概率可知：記“兩數的平方和小于1”為事件A，記“在區間［0，1］任取兩個實數”為事件B，如圖3，

即

圖3

本題是一道關于圓周率π的值的估算問題，我們實際上可以通過幾何概型和隨機模擬實驗的方法來解決圓周率π和曲邊圖形的面積問題，要學會用數學的眼光來解決我們現實生活中遇到的問題，然后還可以進一步升華：我們古人是如何來估算圓周率π呢？這樣既可以活躍學生的思維，也可以滲透微積分等思想，還可以在教學中加入愛國主義教育等內容，這也符合我們新課程改革的精神.

上面的這些題目學生的得分率普遍不高，從學生的角度來看：一方面，這反映了很多學生學習的方法只是習慣性聽，然后做筆記，做作業時，只是習慣性的模仿，記憶一些結論和性質，在考試時，碰到熟悉的問題，就得心應手，但是碰到新的問題，就束手無策；另一方面也表現出學生在面對困難時的態度還不夠積極，遇到困難容易放棄.從教師的角度來看：教師在教學過程中，只注重概念、公式等的最終結果，而忽視了學生學的過程；只重視學生對一些結論的記憶，而忽視了這些結論的推導過程；只注重教師的講，而忽視了學生的學.

這些問題我們應該如何來解決呢？現在的“流行語”——數學六大核心素養（直觀想象、邏輯推理、數學建模、數學運算和數據分析及數學抽象），它能夠很好的把“不會的問題”轉化為我們“會的問題”，在解決問題時，這六大素養既相互獨立，又相互交匯.

如何在數學教學中滲透數學的六大核心素養呢？

然后由兩種方法計算出的概率相等，從而可以估算出圓周率π的值為

（1）要讓民主“走進”課堂.我們現在很多課堂還停留在教師滿堂講，學生只需要安靜的在臺下聽，記筆記就可以了，這樣的課堂注定是一種高投入，低產出的低效課堂，因為學生只是被動的接受，沒有形成自己的思維，學習的主動性、分析問題和解決問題的能力也沒有得到很好的提高.

我們只有讓學生在課堂中“開口說話”，才能使學生積極參與到課堂教學中，進而引發他們的積極思考，只有這樣，學生們的想法才能得到充分的展示，在講解時，思維過程才能更貼近學生的實際認知水平，更能讓學生接受.從另一個方面來講不同的方法自由的發揮，讓學生把各種想法都展示出來，再與學生一一分享、探討，這樣也能實現師生之間的教學相長.

（2）教學過程要符合學生的認知規律.筆者曾有幸聆聽了陶維林老師的兩節課，課堂對概念的講解，讓人感覺非常的自然、入理.他講解時往往是從特殊（特殊的實例，及數據）到一般（歸納總結結論、性質）、從個別到總體，個體和特殊能夠給學生直觀形象，整體和一般就是引導學生通過數學直觀抽象出概念和性質，然后從一般到特殊，可以讓學生加深概念和性質的理解及運用，這樣既做到了分析過程，又做到了知識的拓廣及思維的訓練，這個過程實際上就是數學的六大核心素養在教學中的綜合體現，也只有這樣，我們的學生才能擁有自己的思維，才能在考試中做到舉一反三.

（3）不要忽視學生在學習過程中遇到的問題.只要是學習，那么就總有犯錯的時候，有些教師對待學生在課堂中出現的問題，可能為了教學進度，采取不予理睬的態度，但是實際上學生出現的問題何嘗不是我們教學中很好的素材，對于這些素材我們可以讓學生積極的分析、討論，既可以活躍學生的思維，也可以使課堂不再單調，還可以鼓勵學生積極的參與到課堂中.

高考數學考試大綱在近幾年增加了基礎性、綜合性、應用性、創新性以及數學文化、思想道德素質等內容，這些內容所反映出來的問題，就是以后想通過“題海戰術”在高考中獲得高分將越來越不現實，因為通過反復練習得到的知識，只是條件反射式的技能，解題時只能照葫蘆畫瓢、生搬硬套，稍有變化，就會出現各種各樣的疏漏，有時甚至會束手無策.因此，我們教師在教學過程中一定要注意知識的生成性教學，把數學學科的六大核心素養貫穿于整個課堂教學，只有六大核心素養在教學中得到全面的體現，我們的學生才能在高考中以不變應萬變，才會由過去的學會變成一個會學的學生.F