解析幾何問題常見的突破策略

☉新疆實(shí)驗(yàn)中學(xué) 鄭顯輝

高考中的解析幾何題以圓錐曲線為背景和載體，重點(diǎn)考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、基本性質(zhì)以及直線和曲線的位置關(guān)系.常考題型有：軌跡、最值、定值、對(duì)稱、參數(shù)范圍、幾何證明、實(shí)際應(yīng)用和探究性問題等.

突破解析幾何中的常考題型，需要綜合運(yùn)用“回歸定義”“設(shè)而不求”“借助平幾”“整體代換”“合理引參”“特‘形’引路”等策略，才能簡(jiǎn)化運(yùn)算，起到事半功倍的效果.

策略1：回歸定義，追根溯源

解決數(shù)學(xué)問題總離不開相關(guān)概念、定義.圓錐曲線的定義既是推導(dǎo)圓錐曲線方程的依據(jù)，也是解決圓錐曲線問題的常用方法.若充分使用“回歸定義，追根溯源”的策略，把定性的分析與定量的計(jì)算有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，把比較復(fù)雜乃至無(wú)從下手的問題轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的問題，則可達(dá)到準(zhǔn)確推理、合理運(yùn)算、靈活解題的目的.

例1已知圓C：x2+y2+6x-91=0及圓內(nèi)一點(diǎn)P（3，0），求過點(diǎn)P且與圓C內(nèi)切的圓的圓心M的軌跡方程.

分析：①兩圓內(nèi)切：外圓半徑=內(nèi)圓半徑+圓心距；

②動(dòng)圓滿足等量關(guān)系|MC|+|MP|=10＞|PC|；

③由曲線定義得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是以P、C為焦點(diǎn)的橢圓；

解：由題意得10-|MC|=|MP|?|MC|+|MP|=10＞|PC|=6，

所以所求軌跡是以P、C為焦點(diǎn)的橢圓，

所以2a=10，a=5，2c=6，c=3，b2=a2-c2=52-32=16.

所以圓心M的軌跡方程為

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合圓錐曲線的定義來(lái)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，可避免繁瑣的計(jì)算過程，使解題更加簡(jiǎn)潔、明快.

策略2：設(shè)而不求，多思少算

該策略是指在解題過程中，根據(jù)需要設(shè)出變量但不直接求出變量的具體值，而是利用和、差、積等某種關(guān)系來(lái)表示變量間的聯(lián)系，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、二次函數(shù)等得到需要的結(jié)論.這種方法在解析幾何中有很顯著的應(yīng)用，也是一種重要的解決解析幾何問題的途徑.比如在解析幾何的綜合問題中，常常與直線和二次曲線的位置有關(guān)，如何避免求交點(diǎn)，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算，也就成了處理這類問題的難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn).

例2已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn).

（1）求雙曲線C2的方程；

12兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足6（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍.

分析：（1）由題意設(shè)出橢圓方程，用待定系數(shù)法求得方程；

（2）利用“設(shè)而不求，多思少算”的策略，根據(jù)需要設(shè)出變量A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出變量之間的聯(lián)系，但不直接計(jì)算變量A、B點(diǎn)的坐標(biāo)值，最后通過運(yùn)算獲得k的取值范圍.

解：（1）設(shè)雙曲線C2的方程為再由a2+b2=c2得b2=1.故雙曲線C2的方程為

由直線l與橢圓C1恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得

由直線l與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，得

設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），則

故k的取值范圍為

點(diǎn)評(píng)：本題在求解過程中，利用“設(shè)而不求”的策略，使解題過程變得更加簡(jiǎn)單明了.

策略3：平幾滲透，數(shù)形結(jié)合

解析幾何首先是幾何問題，在用代數(shù)方法研究曲線間關(guān)系的同時(shí)，若能充分利用圖形本身所具有的平面幾何性質(zhì)，則常常可以發(fā)現(xiàn)既簡(jiǎn)便又優(yōu)美的解法.

例3已知A（3，0）是圓x2+y2=25內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，以A為直角頂點(diǎn)作Rt△ABC，且點(diǎn)B、C在圓上，試求BC中點(diǎn)M的軌跡方程.

分析：本題若設(shè)出圓上動(dòng)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再利用代數(shù)方法引入角參數(shù)求解，將導(dǎo)致非常復(fù)雜的計(jì)算.而利用“平幾滲透，數(shù)形結(jié)合”的策略，注意到OM⊥BC（O為原點(diǎn)）（可由“垂徑定理”得知），那么再結(jié)合∠CAB=90°，|AM|=，即可迅速解題.

圖1

解：設(shè)M（x，y），如圖1，連接OC、OM、MA.

因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，則由垂徑定理知，OM⊥BC，所以

因?yàn)樵赗t△ABC中

所以|OM|2+|AM|2=|OC|2，即x2+y2+（x-3）2+y2=25.所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2-3x-8=0.

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)注到OM⊥BC（O為原點(diǎn)）這一幾何特性，避免了使用動(dòng)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)來(lái)表示M的坐標(biāo)時(shí)所帶來(lái)的繁雜計(jì)算，而直接得到了一個(gè)非常明確的結(jié)果|OM|2+|AM|2=|OC|2，這樣就大大減少了計(jì)算量.

策略4：特“形”引路，先知后證

針對(duì)解析幾何的定點(diǎn)、定值等問題，常常使用該策略，先利用圖形的特殊情形、臨界狀態(tài)，由“形”引路得出結(jié)論，再證明在一般情形下的結(jié)論，就是常說的從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.

例4已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)共線.

圖2

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且求證：λ2+μ2為定值.

解：（1）易得離心率

由第（1）問的結(jié)果，得橢圓方程為x2+3y2=3b2，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入即得（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2，

即λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2.

又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，

所以

將其代入（*）式，得

故λ2+μ2為定值.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于（*）這樣復(fù)雜的式子，學(xué)生常常不知所措.而若先通過點(diǎn)M的特殊位置猜出定值，則可以為解題指明方向.

當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，則λ=1，μ=0，λ2+μ2=1，即可發(fā)現(xiàn)定值是1，于是，只要證明x1x2+3y1y2=0即可.

定點(diǎn)、定值問題總會(huì)在變化中表現(xiàn)出某些不變量，那么就可以給變化的量賦予特殊的值，從而找到可能的定值或定點(diǎn)，明確情況后，問題便迎刃而解.

綜上所述，雖說解析幾何在高考試題中處于壓軸題的位置，是考生拉開差距的主要考題，一直以來(lái)也是大多數(shù)考生望而生畏、談之色變的題型，但我們只要落實(shí)基礎(chǔ)、掌握方法、加強(qiáng)訓(xùn)練、注重反思總結(jié)并利用解題策略，就一定能夠突破壓軸題的難關(guān).W