“化折為直” 妙求圓錐曲線最值

☉江蘇省宜興市第二高級中學(xué) 周東偉

高三復(fù)習(xí)圓錐曲線的過程中，我們經(jīng)常會碰到一類求距離和或差的最值問題，許多考生在面對此類問題時一片茫然，感覺“老虎吞天，無從下口”.那么這類問題有何解決良策？我們不妨看個引例.

引例 設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個動點.

（1）求點P到點A（-1，1）的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值；

（2）若B（3，2），求|PB|+|PF|的最小值.

分析：由拋物線方程y2=4x知此拋物線的焦點為F（1，0），準(zhǔn)線是x=-1，由拋物線的定義知：點P到準(zhǔn)線x=-1的距離等于點P到焦點F（1，0）的距離.于是，問題轉(zhuǎn)化為：在拋物線上求一點P，使點P到點A（-1，1）的距離與點P到點F（1，0）的距離之和最小，從而獲得問題的解答.不難得出答案

圖1

從引例分析中可以看出，破解這類問題我們用了“化折為直”的方法.

何謂“化折為直”？簡而言之，就是將折線段問題化為直線段問題來解決，即①|(zhì)AP|+|BP|≥|AB|；其中①中等號成立時，當(dāng)且僅當(dāng)P在線段AB上；②中等號（2）成立時，當(dāng)且僅當(dāng)P在射線BP1上，等號（1）成立時，當(dāng)且僅當(dāng)P在射線AP1上.

那么與橢圓和雙曲線有關(guān)的最值問題，此法是否也能奏效？此法又有哪幾種情形呢？下面結(jié)合實例，具體說明，供大家參考.

一、直接利用三點共線求解

在三角形中有“兩邊之和大于第三邊”和“兩邊之差小于第三邊”之說，如何把大于或小于變成等于，也就是當(dāng)三個頂點在同一條直線上時.

例1（1）已知A（4，0）和B（2，2），M是橢圓上的動點，則|MA|-|MB|的范圍是______.

（2）已知F是雙曲線的左焦點，A（4，1），P是雙曲線右支上的動點，則|PA|+|PF|的最小值為______.

解析：（1）如圖2，在△MAB中，有|MA|-|MB|＜|AB|；當(dāng)點M位于M1、M2處時，有|MA|-|MB|=|AB|，所以|MA|-|MB|≤|AB|.

綜上所述，-|AB|≤|MA|-|MB|≤|AB|，即|MA|-|MB|∈

圖2

圖3

（2）如圖3，在△PAF中有|PA|+|PF|＞|AF|，當(dāng)P，A，F(xiàn)三點共線即點P位于P1處時，有|PA|+|PF|=|AF|，所以（|PA|+

點評：（1）當(dāng)點A，B位于橢圓的內(nèi)部，即兩定點都在曲線的同側(cè)時，可直接求出動點M到兩定點A，B的距離之差的最大值，就是線段AB的長度，而最小值就是-|AB|，即線段AB長度的相反數(shù)；（2）當(dāng)點A，B在雙曲線的兩側(cè)時，可直接求出動點M到兩定點A，B的距離之和的最小值，這個最小值就是線段AB的長度.

二、利用橢圓（或雙曲線）的定義轉(zhuǎn)化后求解

橢圓的定義與雙曲線的定義都與“三角形的兩邊之和”與“三角形的兩邊之差”有著驚人的相似.因此，利用它們的定義同樣可以“化折為直”，直搗黃龍.

例2（1）已知A（4，0）和B（2，2），M是橢圓上的動點，則|MA|+|MB|的最大值是______.

（2）已知F是雙曲線的左焦點，（，），是A14P雙曲線右支上的動點，則|PA|+|PF|的最小值為______.

解析：（1）如圖4，因為點A恰為橢圓的右焦點，所以由橢圓的定義可得|MA|+|MB|=10-|MF|+|MB|（F為橢圓的左焦點），同例1（1）可得|MB|-|MF|≤|BF|（當(dāng)且僅當(dāng)點M位于點M4處時，等號成立），所以（|MA|+|MB|）max=（10-

圖4

圖5

（2）如圖5，設(shè)F2（4，0）是雙曲線的右焦點，由雙曲線的定義可得|PA|+|PF|=|PA|+2a+|PF2|=4+|PA|+|PF2|≥4+|AF2|，

當(dāng)P，A，F(xiàn)2三點共線，即點P位于P2處時等號成立，

所以|PA|+|PF|的最小值為4+|AF2|，其中|AF2|=

故|PA|+|PF|的最小值為9.

點評：當(dāng)A，B兩點都位于橢圓的內(nèi)部，即兩定點都在曲線的同側(cè)時，可直接求出動點M到兩定點A，B的距離之差的最大值，就是線段AB的長度，而最小值就是-|AB|，即線段AB長度的相反數(shù)；若要求動點M到兩定點A，B的距離之和的最大值（其中A恰為焦點），則需要依據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化為動點M到兩定點F，B的距離之差的最大值（點F為另一焦點）.

三、利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義轉(zhuǎn)化后求解

圓錐曲線的統(tǒng)一定義描述的是曲線上的動點、焦點與動點在準(zhǔn)線上的射影這三個點的關(guān)系，動點到焦點的距離與動點到準(zhǔn)線的距離之比就是離心率，利用這個關(guān)系同樣可以“化曲為直”.

例3（1）給定點A（-2，2），已知點B是橢圓1上的動點，F(xiàn)是左焦點.當(dāng)取最小值時，點B的坐標(biāo)是______.

（2）已知點A（5，2），F(xiàn)是雙曲線的右焦點，P是雙曲線右支上的動點，則的最小值是______，此時，點P的坐標(biāo)為______.

解析：（1）如圖6，橢圓的左準(zhǔn)線為設(shè)點B和點A在l上的射影分別是M和N.

由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)點B在直線AN與橢圓的交點B′處時的值最小，最小值為|AN|.

此時，點B的坐標(biāo)為

（2）如圖7，設(shè)點P到右準(zhǔn)線的距離為PP′，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)點P位于點P1處時取等號）.所以，此時點P的坐標(biāo)為

點評：這類問題最顯著的特征是，動點到焦點的距離與動點到準(zhǔn)線的距離的比為e，所以可以利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，將動點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即把兩條線段的距離之和的最小值，轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.對于這類問題，要從“動態(tài)”的觀點來看待問題，這也是我們常用的技巧，動中有靜，靜中有動，在動靜變化中，最值問題迎刃而解.

通過對上述幾個例子的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，此類問題的解法離不開圓錐曲線的定義和數(shù)形結(jié)合思想，我們可歸納為：異側(cè)可求和最小，求和最小化異側(cè)；同側(cè)可求差最大，求差最大化同側(cè).因為根據(jù)三角不等式等號成立的條件，這樣才能實現(xiàn)”化曲為直”，使得等號成立.學(xué)習(xí)需要反思，方法在于總結(jié).對于某些看似很難的數(shù)學(xué)問題，只要我們深入研究，抓住規(guī)律，就一定能“征服”它們！ W