挖掘幾何直觀背景 探索函數問題解決

☉江蘇省南菁高級中學 過家福

函數是認識和刻畫世界、解決數學問題的重要知識工具，是高中數學學習的核心內容，同時也是高考中最重要的考查內容之一．眾所周知，函數具有豐富的代數特征，數學運算、邏輯推理等核心素養的培養均可以在函數的教學過程以及函數問題的解決過程中得到充分的呈現，同時函數圖像也蘊含了諸多幾何性質，在實際教學和解題中注重挖掘和滲透幾何直觀背景，這對培養直觀想象這一核心素養也是至關重要的．在研究和解決函數問題時，若能將函數的幾何特征與代數運算相結合，那必定能起到相得益彰、事半功倍的效果．

縱觀近幾年的一些高考函數真題，常常面目溫和、表述簡潔、易于入手而難以深入，能夠體現出高考試題命制過程中對不同思維層次、不同能力的遞進要求，函數問題是具有較強的選拔功能的熱點考查素材．若考試僅僅從代數角度出發，通過分類討論等方法“暴力”地進行計算，難免會耗時、費力且過程煩瑣．反之，若能充分挖掘函數的幾何背景，緊扣函數的“數、形”兩面性，往往能收到“柳暗花明又一村”的效果．本文以近幾年江蘇、浙江的高考試題為例，與大家一起探討．

一、以形切入

問題1：已知λ∈R，函數當λ=2時，不等式f（x）＜0的解集是______；若函數f（x）恰有2個零點，則λ的取值范圍是______．

分析：此題要求能正確地理解分段函數的意義，分析圖像變化的特點．顯然，在函數解析式確定的前提下，我們可以從圖形的視角直接切入，作出函數的圖像，并在動態變化的過程中尋求λ的取值．

圖1

圖2

（1）如圖1，當λ=2時，從圖形中明顯可以得到f（x）＜0的解集是（1，4）．

（2）如圖2，分類討論當λ在變化時，函數零點的變化情況．

①當λ≤1時，有1個零點；②當1＜λ≤3時，有2個零點；③當3＜λ≤4時，有3個零點；④當λ＞4時，有2個零點.

若函數f（x）恰有2個零點，則λ的取值范圍是（1，3］∪（4，+∞）．

說明：從核心素養的角度來說，本題主要涉及數學學科中的直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養．第（1）問可直接解不等式得到x的解集，亦可作出分段函數的函數圖形，通過觀察函數零點的位置來得到解集．本小題主要考查學生對基本知識與基本方法的掌握．第（2）問隨λ值的變化，分段函數的圖像也會發生相應的動態變化．考生需要理解圖像動態變化的過程，這種直觀想象的過程必須在日常教學中進行滲透，方可讓學生在考試中做到有備無患．本題綜合而言難度不是很大，解答思路也比較直接，教師在教學中需要不斷進行滲透及強化，讓學生做到不丟分．

二、整體代換

問題2：已知t為常數，函數y=|x2-2x-t|在［0，3］上的最大值為2，則t=______．

分析：本題的絕對值中為二次函數，若對二次函數的正負性進行討論，其對考生邏輯思維的要求相當高．筆者曾經做過測試，發現學生都是從討論二次函數的視角逐一分析，這樣的困難在于小題大做，大大浪費了時間，而且違背了命題者真正的意圖．其實從整體換元的角度入手，可以將其降維到數軸上，利用一維絕對值來解決問題．令s=x2-2x∈［-1，3］，即將問題轉化為y=|s-t|，s∈［-1，3］，y的最大值為2，求t的值．如圖3，易得t=1．

圖3

問題3：已知a∈R，函數在區間［1，4］上的最大值是5，則a的取值范圍是______．

分析：本題與問題2類似，通過換元變復雜函數為簡單函數，通過絕對值的幾何意義，即距離對問題進行解答．令，則問題轉化為函數y=|t-a|≤5-a在t∈［4，5］上恒成立.顯然，當a＞5時不成立；當a≤5時，即y=|t-a|≤|5-a|，如圖4，易得

圖4

說明：問題2、問題3呈現的是學生最為恐懼的題型，分別在二次函數和對勾函數外加上了絕對值，伴隨著參數的變化，函數圖像便發生了較為復雜的變化.本題型除了呈現數學學科中的直觀想象、數學運算等核心素養以外，還包含著對邏輯推理、數學抽象素養的培養.學生在解決此類問題時，若采用直接作圖的形式，顯然是行不通的.本題型的核心便是理解|x-a|即為數軸上橫坐標為x的點與橫坐標為a的點之間的距離.通過邏輯分析對進行換元，將二維圖形抽象到一維數軸上來，再通過“距離”便可輕易解答.這樣的邏輯推理與數學抽象需要學生對數學知識有全面的認識和靈活運用的能力，教師在教學中更需要重視對學生思維的培養，重視學生思想方法的發生、生成、內化和升華的過程，這是數學基本功中的“內力”，并非一朝一夕能夠改變的，需要細水長流，才能讓核心素養得以落實.

三、心中有圖

問題4：若函數f（x）=x2+ax+b在區間［0，1］上的最大值為M，最小值為m，則M-m（ ）.

A.與a有關，且與b有關 B.與a有關，但與b無關

C.與a無關，且與b無關 D.與a無關，但與b有關

分析：本題是一道含有兩個參數的二次函數問題，若考生通過對稱軸在［0，1］區間內進行分類討論，那么作為一道選擇題，其計算量就過大了.如果考生能夠熟練地掌握函數的圖像特征，那么只需從幾個最值點入手，便可快速地解決問題.因為最值在f（0）=b，f（1）=1+a+中取得，所以最值之差一定與b無關.所以答案是B.

問題5：已知函數

（1）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）處導數相等，證明：f（x1）+f（x2）＞8-8ln2；

（2）若a≤3-4ln2，證明：對于任意k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點.

分析：本題的函數由兩個最常見的函數組成，第（1）問為中檔題，證明一個條件不等式，思路較為常規.第（2）問有清晰的幾何背景，可以從多個角度思考，考查學生分析問題和解決問題的能力，體現了很好的區分度，為部分學生搭建了展示自己實力的舞臺.本題是2018年浙江卷最后一道解答題，本題考查函數導數求解的基本知識以及利用導數解決復雜函數的能力.從問題的層次來說，難度適度、循序漸進，第（1）問從基本層面入手，利用抽象獲得第（2）問的研究思路則較為開闊，是區分學生數學綜合能力素養的一道不錯的試題.相比2017年浙江卷最后一道數列不等式的壓軸題來看，回歸到函數導數知識，凸顯了兩重優勢：第一，命題者可以有更為寬闊的命題思路，容易命制更好的試題；第二，學生可以有不同的、多角度的切入視角，不同的學生能用不同的方式去思考，體現了廣泛的入口，做到了不同層次的區分.

圖5

說明：問題4由于含有雙參數a、b，學生若想直接作出函數圖像，則難度較大；若根據對稱軸的位置分別求出M-m的值，則解答過程比較煩瑣，不符合浙江省小題小做的考試風格.其實學生只要做到心中有圖像，便可輕易得到最值在中取得，這對學生的邏輯推理素養、直觀想象素養以及數學抽象素養的要求較高.問題5的關鍵在于將“直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點”轉化為與y=k兩個函數在x∈（0，+∞）上有唯一交點”，即將問題轉化為“函數h（x）=的圖像單調且值域為（0，+∞）”．雖然此題在解答過程中并未作出任何一個函數的圖像，但是卻以函數圖像的唯一交點為背景載體，需要學生具備較強的邏輯素養與抽象素養．

本文以高考函數題的解決為載體，從作出函數圖像來直接解決問題到推理函數形狀以深入研究問題，從直觀想象素養到邏輯推理素養層層深入，展現了高中數學中數形結合的重要思想方法．數與形是相互交融、彼此聯系的，缺一不可．數學教學中，教師應引導學生在數與形之間轉換與鏈接，有計劃地促進學生數學思想方法的形成，為學生數學核心素養的提升奠定基礎．