“1”的加減乘除

☉湖北省棗陽市第一中學(xué) 陳剛明

“1”在高中數(shù)學(xué)的不同章節(jié)中有著不同的等量代換形式，靈活使用“1”的加減乘除運(yùn)算能夠使高中數(shù)學(xué)中的相關(guān)運(yùn)算達(dá)到“柳暗花明又一村”的效果.現(xiàn)舉例說明：

一、“1”的加法

例1計(jì)算的值.

解：原式

例2求的值.

解：

以上兩個(gè)例子均采用的方法是在所求式子的首項(xiàng)前加“1”，配湊后使用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

二、“1”的減法

例3（2013年新課標(biāo)全國2理）設(shè)a=log36，b=log510，c=log714，則（ ）.

解析：本例中要比較的三個(gè)數(shù)都形如“l(fā)oga2a”，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)loga2a=loga2+logaa=loga2+1可知，把每個(gè)數(shù)都減去“1”，還得“廬山真面目”，即a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，則只要比較log32，log52，log72的大小即可.在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)圖像，由三個(gè)函數(shù)圖像的相對(duì)位置關(guān)系，可知a＞b＞c，故選D.

例4在數(shù)列{an}中，當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，an=2an-1-1，且a1=2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：由an=2an-1-1可得，an-1=2（an-1-1），

所以{an-1}構(gòu)成以a1-1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

所以an-1=1·2n-1=2n-1.

所以an=2n-1+1.

點(diǎn)評(píng)：本例中在原等式的兩邊同時(shí)減去“1”，把遞推數(shù)列化歸為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

三、“1”的乘法

例5已知x，y＞0且x+2y=1，求的最小值.

解：因?yàn)閤+2y=1，

例6已知f（x）是定義在［-1，1］上的奇函數(shù)，若m，n∈［-1，1］，m+n≠0時(shí)，有，證明：（fx）在［-1，1］上是增函數(shù).

證明：任取-1≤x1＜x2≤1，則

因?yàn)?1≤x1＜x2≤1，所以x1+x2≠0.

所以f（x）在［-1，1］上是增函數(shù).

例7求函數(shù)的值域.

解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），

四、“1”的除法

例8已知tanα=2，求sinαcosα+sin2α的值.

解 ：

點(diǎn)評(píng)：本例中把sinαcosα+sin2α除以sin2α+cos2α=1轉(zhuǎn)化為齊次式，分子分母再同時(shí)除以cos2α，使得問題得解.

例9函數(shù)f（x）的圖像如圖1所示，下列數(shù)值排序正確的是（ ）.

圖1

解：f′（2），f′（3）分別是x為2，3時(shí)圖像上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線斜率，因?yàn)椋裕╢3）-（f2）是圖像上x分別為2和3時(shí)所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)連線的斜率，故選B.

點(diǎn)評(píng)：本例中把f（3）-f（2）除以3-2=1，使得f（3）-f（2）具有明確的幾何意義（兩點(diǎn)連線的斜率），然后從幾何圖象就可以判斷出它們的大小關(guān)系.