注重概念教學，打好數學地基

☉蘇州市蘇州高新區第一中學 蔡軍軍

概念認知是在高中數學學習時需要突破的學習重點，怎樣讓學生對概念進行有效的建構是教師需要面對的一個問題，筆者主要從以下幾個方面進行介紹：

一、關注數學概念的引入過程

在概念教學的過程中，首先要做的就是對概念進行引入.教師可以聯系相關的生活場景來進行，也可以借助于一些有趣的例子來進行.這樣更加貼近于學生的實際生活，并且能夠激發學生的學習興趣［1］.下面對引入概念的幾種方法進行介紹：

1.結合現實原型引入概念

在教學過程中，教師拿出相關的實物模具，學生通過對實物模型的觀察，使其能夠有更加深刻地體驗.對概念進行比較與分析之后，讓學生對概念有更加深刻的認識.例如在進行“異面直線”這一概念的學習時，教師可以以教室為例，對學生進行引導.教師可以讓學生對教室中的各個邊的位置進行觀察，來幫助學生對異面直線有一個深刻的認識，如圖1所示.

圖1

2.結合舊的概念引入新概念

數學認知具有延續性，教師可以根據這一特征，讓學生從已有的舊概念出發，來衍生出對新概念的理解，并根據新舊概念之間的聯系讓學生了解到新概念的含義.比如學生在初中就學習過“角”的相關概念，在初中學習的角的范圍是從0°到360°.到了高中階段，對于“角”的學習進一步的深入：一條射線圍繞端點的旋轉可以是任意角度，轉動的方向也可以隨意調整.這樣，學生對于“角”就有了更加全面的理解，角的范圍也因此得到進一步擴大，其可以拓展成從負無窮到正無窮.

3.利用知識內在關系來引入新概念

很多數學概念之間是存在著一定聯系的，也可以說這些概念之間是密切相關的.所以在進行新概念的學習時，我們可以從與其相關的概念入手.例如在進行對數函數的學習時，由于對數函數與指數函數之間有很大的聯系，這就可以將對數函數演變成：已知底數和冪，要求指數.這樣學生就會很容易理解對數函數的概念以及運算法則了.

4.采用類比法來引入概念

類比是在數學學習的過程中經常使用的一種方法和手段，也是在對新概念進行介紹時常常采用的一種方式.例如，在對等差數列的相關知識掌握之后，在進行等比數列的學習時，教師可以類比等差數列的相關知識來對等比數列進行介紹，使學生建立等比數列的概念.

二、閱讀能力對概念的重要性

在對數學知識進行學習時，離不開數學教材的使用.只有認真細致的閱讀教材，領會教材中的主要思想，才能夠對教材中的概念有更加深刻的認識.同時，教師還要對教材中的標準符號以及書寫方式進行講解，以培養學生的數學表征能力.綜合來看，教師要注重引導學生對教材進行解讀，適時的給予點撥，讓學生掌握概念中的要點，并對概念有一個正確的理解［2］.比如在學習空間幾何體時，可以引用數學文化知識，運用類比的方法求解數學習題.在南北朝時期，我國數學家祖暅提出體積的計算原理：如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等.若是運用祖暅原理，可以簡單的求解出下題.

例1如圖2所示，在平面直角坐標系中，圖2-1是一個形狀不規則的封閉圖形，圖2-2是一個上底為1的梯形，且當實數t?。?，3］上的任意值時，直線y=t被圖2-1和圖2-2所截得的兩線段長始終相等，求圖2-1的面積.

圖2

例題解析：根據題意，圖2-1與圖2-2的面積相同.因為圖2-2是上底為1，下底為2，高為3的梯形，所以圖2-2的面積為所以圖2-1的面積為

例2如圖3所示，四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面SD=2，點M在側棱SC上，∠ABM=60°.

圖3

（Ⅰ）證明：M是側棱SC的中點；

（Ⅱ）求二面角S-AM-B的大小.

例題解析：

（Ⅰ）作ME∥CD交SD于點E，則ME∥AB，ME⊥平面SAD.

連接AE，則四邊形ABME是直角梯形，作MF⊥AB，垂足為F，則四邊形AFME為矩形.

設ME=x，則SE=x，

由MF=FB·tan60°，得

解得x=1.

所以M為側棱SC的中點.

（Ⅱ）利用三垂線定理求解.在新教材中弱化了三垂線定理，并且在這兩年的高考中也基本上不用三垂線定理來求二面角.

過M作MJ∥CD交SD于J，作SH⊥AJ交AJ于H，作HK⊥AM交AM于K，則JM∥CD，JM⊥平面SAD，平面SAD⊥平面MBA，SH⊥平面AMB，所以∠SKH即為所求二面角的補角.（余略）

三、感知概念的探究過程

現代教育理論中提到，學生學習知識的過程主要經過發現問題、分析問題以及解決問題這三個階段.在進行教學時，如果將概念直接告訴學生，會讓學生的學習處于一種被動的地位.這會讓學生在思維上產生一種依賴感，不利于學生的創新能力以及思考能力的發展.所以，教師在教學時應當讓學生先對新的概念進行思考，教師可以創設相關的情境來對學生進行引導，讓學生自己進行探索分析，最終使學生自己對概念形成正確的理解.在這一過程中，學生可能會遇到各種困難，但通過對困難的解決，可以使其思維以及解決問題的能力得到發展.

比如，在學習“橢圓”這一概念時，教師可以讓學生自己進行以下活動：先準備一根細繩以及兩個釘子，用釘子將細繩的兩頭進行固定，將筆套在細繩之內，讓筆繞著細繩滑動，這樣能夠描繪出橢圓的形狀.學生在親身實踐之后，可以通過自身體會并理解繪制橢圓圖形的不同方法.在這個環節當中，學生可以以小組為單位，進行競賽，運用不同的方式以及工具來繪制橢圓.

小組1：

小組2：

小組3：

教師對表現優異的小組給予表揚，并立刻讓學生自己根據實驗對概念進行總結，從而讓學生能夠對橢圓的概念有正確的把握，并加深印象.

四、熟練應用中鞏固認知

教育心理學研究表明，學生在了解了概念之后，如果不能及時的進行復習鞏固，就很容易將已經學到的知識遺忘.在與一些學生交流之后，他們也表示：大部分的概念一聽就明白，但是有時候進行問題的處理時，要想聯想到相關的概念原理卻非常的困難，這充分表明了概念鞏固以及及時復習的必要性.

在進行知識復習的過程中，常常會使用以下幾種方法：（1）找出概念當中的關鍵詞，來幫助概念的記憶；（2）教師在學生對概念初步了解時，創設相關的情境，幫助學生對概念進行深刻地理解.（3）概念具有很強的抽象性，因此教師要引導學生反復的進行練習.