在數學建模教學中滲透核心素養

☉江蘇省梅村高級中學 包正峰

一、問題的提出

《普通高中數學課程標準（2017年版）》一文在“課程基本理念”中創新性地指出：“高中數學課程以學生發展為本，以落實立德樹人為根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養”.從而結合數學學科的基本特點，進一步歸納總結出了高中階段數學的六大核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.

數學建模作為高中階段數學核心素養的一大主要內容，也是教師數學教學與學生數學學習過程中一大必備的技能技巧.數學建模是對具體的現實問題進行數學抽象，進一步用數學語言來表達問題，最后利用數學知識與相應的數學方法來構建出相應的數學模型，從而達到解決問題的目的.

在整個高中數學教學體系中，數學建模伴隨前行，是概念教學與知識應用中的一條重要鏈條.那么如何在實際數學教學中培養與滲透數學建模思維呢？本文結合教學實踐，通過具體的教學案例來剖析數學建模的滲透與培養.

二、問題的解決

數學建模是利用數學方法解決實際問題的一種實踐，即通過抽象、簡化、假設、引進變量等處理后，將實際問題用數學方式表達出來，進而建立起數學模型，然后運用先進的數學方法及計算機技術等進行求解.主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型、求解結論、驗證結果并改進模型、最終解決實際問題.

1.已有數學建模的完善

在很多數學問題中，題目已經給出了相應的數學表達式等相關條件，此時往往在已有的數學建模基礎上進一步完善，通過題中對應的模型加以完善，尋找相應的破解思路，進而得以解決.

例1（2019屆河南省高三一模）已知實數x，y滿足3（x-1）≤ln（x+y-3）+ln（2x-y+2），則3y-5x=（ ）.

分析：利用題目中已有的函數、不等式模型，巧妙地構造函數模型f（t）=lnt-t+1（t＞0），并得到相應的對數不等式的結論：lnx≤x-1，進而結合該結論，利用兩邊夾定理，實現不等與相等的轉化，再結合等號成立時的條件來處理.解析：構造函數（ft）=lnt-t+1（t＞0），由于，所以令f′（t）=0，解得t=1，函數（ft）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減.

所以f（t）max=f（1）=0，即f（t）=lnt-t+1≤0，即有lnt≤t-1成立.

根據以上對數不等式的結論：lnx≤x-1，

可得ln（x+y-3）+ln（2x-y+2）≤（x+y-3-1）+（2x-y+2-1）=3x-3，

所以3（x-1）≤ln（x+y-3）+ln（2x-y+2）≤3x-3，

當且僅當x+y-3=2x-y+2=1時等號成立，解得x=1，y=3，此時3y-5x=4，

故選擇答案：B.

點評：結合題目中已有的數學模型，即對應的對數式或指數式的特點，通過完善數學建模，得到對數不等式的結論lnx≤x-1或指數不等式的結論ex≥x+1，巧妙地轉化其中的對數式或指數式，利用兩邊夾定理得以有效轉化，進而利用等號成立時的條件加以巧妙轉化，從而得以簡單快捷地破解.

2.根據知識體系進行數學建模

借助題目所反映的知識體系，有針對性地進行數學建模，回歸知識本源，進而借助于常見的思維方法來處理.比如在涉及平面向量的問題中，經常通過坐標系的建立，使其回歸到坐標問題，進而借助坐標法來解決.

例2（2018屆江蘇省南京市高三第三次模擬考試·12） 在△ABC中，AB=3，AC=2，D為邊BC上一點，若的值為______.

分析：根據題目所反映的知識，借助坐標系的數學建模——通過建立平面直角坐標系，設出點C（2cosα，2sinα），D（x，y），結合來確定x的值，再結合分別求出y的值，再來確定cosα的值，進而結合平面向量的數量積公式來求解的值.

解析：如圖1，建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（3，0）.

圖1

設C（2cosα，2sinα），D（x，y），

又因為B，D，C三點共線，所以kBD=kBC，

故填答案：-3.

點評：在求解平面向量的相關問題中，利用數學建模，通過建立恰當的平面直角坐標系，將所涉及的平面向量坐標化，利用坐標運算來解答.這是解決平面向量問題的一類比較常見的思維方法，也是一種常見的思維方式.這樣合理地利用知識體系來進行數學建模，可以使得問題的破解更加有效可行.

3.結合條件信息進行數學建模

在題目條件中，通過挖掘條件信息，包括問題背景、函數關系式、等式等，找出其中的內在規律，抓住問題的實質，通過形象思維的拓展，與對應的數學模型加以有機鏈接，從而建立起反映題目條件的數學模型，達到有效數學建模，然后運用數學模型所對應的數學知識和方法來分析與解決問題.

例3（2019屆江蘇省常州市武進區高三第一學期期中考試·14）若正實數x，y滿足x2-xy+y2=9，且|x2-y2|＜9，則xy的取值范圍為______.

分析：根據題目條件“正實數x，y滿足x2-xy+y2=9”，通過變換得到32=x2+y2-2xycos60°，聯想到解三角形中的余弦定理，借助形象思維進行數學建模，構造對應的三角形模型來直觀處理.

解析：對于正實數x，y，根據x2-xy+y2=9，可得32=x2+y2-2xycos60°，

構造如圖2所示的△ABC，其中BC=3，∠A=60°.

根據三角形的面積公式與三角形的性質可得（正三角形時面積最大，此時BC所對應的高最大，點A位于圖中的A1位置），

可得xy≤9；

圖2

由對稱性不妨令x≥y＞0，則有|x2-y2|=x2-y2＜9，即x2＜y2+9，則△ABC為銳角三角形，

此時點A位于圖中的臨界點A2處，A2B⊥BC，則有x=，此時xy=6，

所以xy＞6.

綜上所述，xy∈（6，9］.故填答案：（6，9］.

點評：借助題目條件，通過關系式進行形象思維，結合余弦定理來構造三角形模型，結合三角形的面積公式與直角三角形的性質來確定相應的代數式的取值范圍.借助數學建模，通過直觀模型角度的正常切入，使抽象思維轉化為直觀思維，結合數學模型的展示，達到了優化解題過程、節約解題時間、提升解題能力的目的.

三、感悟與反思

隨著新課程理念的不斷深入，數學建模在數學教學中的滲透與應用也越來越廣泛，諸如函數與方程、不等式、統計與概率、數列、三角函數、解析幾何、立體幾何、排列與組合等眾多的數學知識，都要求我們從數學建模的角度加以理解與掌握，從生活問題中加以切入數學應用.

其實，數學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術；技術大致有章可循，藝術則無法歸納成普遍適用的準則.學生只有通過不斷地套用、模仿、修正、改進并創新，進而加深對數學知識的理解、對數學概念的掌握以及對數學模型的領會.通過數學建模，激發學生的求知熱情與探究精神，領會數學思想，優化數學思維品質，提升數學核心素養.