考慮成層地基的黏彈性人工邊界模型

尹 剛, 趙蘭浩, 李同春

(1.河海大學水利水電學院,江蘇 南京 210098; 2.河海大學農業工程學院,江蘇 南京 210098)

天然地基為一半無限域,采用有限元等數值模擬方法進行動力計算時,需從半無限域的地基中截取有限的區域進行計算,并在截取區域的邊界上施加一定的人工邊界條件,使得地震波傳遞到邊界時不再發生反射,以模擬無限地基對于地震波的輻射阻尼效應[1-2]。在眾多種類的人工邊界條件中, Andrew[3]提出的黏彈性人工邊界條件能同時模擬散射波的吸收和半無限地基的彈性恢復能力,且易于編程、穩定性好,得到了廣泛的應用。

地震動輸入方法一直是研究土-結構相互作用的關鍵問題之一[4-6]。黏彈性人工邊界采用波場分離的技術,將波動問題轉化為人工邊界處等效荷載的計算問題[7]。等效荷載的計算需要求解人工邊界上的自由場,傳統的求解方法為延遲法,認為人工邊界點的自由場與入射波場存在行波效應,相位差可由人工邊界點到入射邊界的距離和波速求出[8]。而這種行波效應的存在,也對結構動力響應產生了一定的影響。吳健等[9]分析了拱壩的隨機地震行波效應,李悅良[10]研究了行波效應對地震反應譜的影響,趙博等[11]分析了行波效應對多跨大跨結構的隨機振動響應的影響,范重等[12]分析了超長結構地震行波效應的影響因素。

當地震波穿過不同的介質時,會發生反射與透射,當兩層介質的波阻抗不同時,反射波與透射波的振幅與原入射波一般是不相等的,且會存在波型轉換等問題[13]。傳統的延遲法只能考慮波速的影響,不能考慮振幅的改變和多次反射波及透射波的疊加,因此對于成層地基條件,需要進一步推導適用于成層地基的地震波輸入模式。為此,本文推導了適用于成層地基的考慮波一次反射透射的等效荷載計算公式,以解決水平成層地基的波動輸入問題。

1 地震波入射時的反射和透射系數

地震波穿過兩個波阻抗不同的土層時,會在兩種介質的分界面上發生反射與透射,透射波會在繼續向上傳播,而反射波則會反射至下部土層往下傳播。不同類型的波產生的反射波和折射波的類型也不同,P波、SV波和SH波入射時可能發生的反射折射情況[14]見圖1(圖中下標1、2分別表示第一層和第二層;下標i、r、t分別代表入射波、反射波和透射波;下標P代表P波,SV代表SV波,SH代表SH波;A為振幅;θ為波傳播方向與介質分界面法向的夾角;cP和cS分別為縱波波速和橫波波速)。

圖1 3種波入射時波型轉換情況

設上下兩層介質縱波和橫波波阻抗之比分別為

(1)

式中:αP和αS分別為縱波和橫波的波阻抗之比;ρ1和ρ2分別為下部土層和上部土層的密度。

以P波為例,由分界面處的位移應力協調條件,可得波幅比的方程組為

(2)

由于工程中一般都假定地震波是垂直入射于地基底部的,故主要討論地震波垂直入射的情況,即θiSV=θrSV=θtSV=θrP=θtP=0,代入式(2)可得:

(3)

式(3)的結果表明,當P波垂直入射時,反射SV波和透射SV波的振幅為0,即沒有發生波型轉換,反射波和透射波依然為P波。同時,當界面為自由表面時,令ρ2=0,可得:

(4)

即P波垂直入射至自由表面時,透射波為零,即不存在透射波;反射波波幅大小與入射波相等,方向與圖中規定的正方向相反即與傳播方向相反,最終在頂面入射波和反射波的振動方向相同,即自由表面的位移放大2倍。

同樣地,采用上面相同的方法可以得到SV波入射時的波幅比方程組,當SV波垂直入射時,可求得波幅比為

(5)

對比式(5)和式(3)可以看出,當波垂直入射時,P波和SV波的反射透射規律相似,不發生波型轉換,波幅比的大小與波阻抗相關。當界面為自由表面時,令ρ2=0帶入上式可得出與P波相同的結論,即自由表面的位移呈放大2倍的規律。

SH波的反射透射較為簡單,因為SH波僅有垂直于入射面的位移分量,即不會發生波型轉換;當SH波垂直入射時,波幅比計算公式與SV波相同(式(5));與P波和SV波不同的是,當界面為自由表面時,無論SH波以何種角度入射,自由表面位移均為放大2倍。

2 考慮波一次反射和透射的等效荷載計算

對于層狀地基模型,當地震波從底部入射后,傳播到分界面處會發生反射和透射,反射波會向下傳播在人工邊界處被吸收。向上傳播的透射波在到達下一層的分界面后會再度產生向下傳播的反射波,當新的反射波到達分界面時會再度發生反射和透射,透射波向下傳播至人工邊界被吸收,反射波重新向上傳播至自由面。因此,地基中將不斷發生反射和透射的過程。實際情況中,一般地震動的持續時間較短,且需要考慮地基的阻尼,故主要考慮地震波在每一層的一次反射透射的過程[15]。

黏彈性人工邊界節點Q處在t時刻的等效荷載為

KQωQ(xQ,yQ,t)

(6)

圖2 層狀地基模型

對于側邊界,可以通過反射和透射系數,根據延遲法求得相應的自由波場,進而求得相應的等效荷載。對于側邊界的M點而言,可以將波的入射過程分為以下3部分:

a. 入射波還未到達M點。此時M點的自由波場位移為零。

b. 入射波到達M點,這一層頂部的反射波還未到達M點。這個階段M點的位移由入射波場經過多層透射后產生,要考慮每一層的透射作用對幅值的影響。

c. 入射波到達M點,這一層頂部的反射波也到達M點。這個階段M點的位移由入射波和反射波兩部分疊加而成,入射波需考慮多層透射的影響,反射波由入射波在頂部反射而來,需要考慮反射作用對幅值的影響。

上述3部分可以總結為以下計算公式,為方便表述,令反射系數為β=Ar/Ai,透射系數為γ=At/Ai,則側邊界上一點M的自由波場位移計算公式為

(7)

對于底邊界,自由波場即為入射波場,即

ωN(xN,yN,t)=ω0(t)

(8)

由式(7)和式(8)即可確定人工邊界的自由波場,代入式(6)中即可求出人工邊界上的等效荷載大小,完成地震波的輸入。

3 算例分析

3.1 考慮成層地基的波動輸入方法驗證

對成層地基的波動輸入方法編制了相應的計算程序,通過兩個算例進行驗證。選取如圖3所示的兩層地基模型,坐標原點設為B2點,截取有限的部分進行計算,下層地基編號為①,上層地基編號為②。考慮3個計算方案：方案1為成層地基模型,考慮地震波在分界面處的反射透射過程;方案2為成層地基模型,不考慮地震波在分界面處的反射透射,只考慮不同層地基的波速影響;方案3為均質地基模型,上下兩層的波阻抗相同,不存在反射透射過程。3個計算方案中,兩層地基密度均為2 000 kg/m3,泊松比為0.25,彈模的取值考慮不同的計算方案,前2種方案上層地基彈模為2 GPa,下層地基為10 GPa,第3種方案上下層地基皆為2 GPa。

圖3 兩層地基計算模型(單位：m)

第一個算例假定從地基底部垂直入射一單周期SV波,位移時程如式(9)所示,位移最大值為1.3 m,周期為0.5 s,時間步長設為0.000 1 s,總計算持時為5個周期即2.5 s。坐標原點設為頂部中心點,圖3中4個特征點B1(-200,0)、B2(0,0)、B3(-200,-200)和B4(0,-200)為觀測點,計算得到方案1中各點的位移時程曲線如圖4所示,各計算方案下B1點和B3點的位移時程曲線如圖5所示。

(9)

圖4 方案1各觀測點的x向計算位移與理論值的對比

圖5 各方案B1點和B3點的x向計算位移時程曲線

分析圖4,由透射系數公式可知上層地基的透射系數為1.38,地震波經過透射到達頂部放大兩倍后最大位移的理論值為3.58 m,頂部B1、B2兩點第一個周期內的x向位移最大值為3.51 m,與理論值接近;底部B3、B4兩點的最大值為1.283 m,與輸入波接近,滿足精度要求。傳播規律上,在第1個周期內,同一高程上的B1、B2兩點和B3、B4兩點位移響應幾乎重合,頂部B1、B2兩點的位移響應具有延遲效應,第1個周期內最大值達到的時刻為0.396 s,底部B3、B4兩點的最大值達到的時刻為0.168 6 s,兩者時間差為SV波傳播的時間,符合波的傳播規律。

對于上層地基,透射波在頂部反射到達分界面后再次發生反射與透射過程,反射波向上傳播,透射波向下傳播至下層地基,由于側邊界的波動輸入僅考慮了一次反射透射過程,分界面處產生的二次反射波在側邊界逐漸被吸收,位于側邊界的B1點的位移響應出現了小于B2點的情況。對于下層地基,在第1個周期的后半期,隨著分界面處反射波向下傳播,B3、B4兩點的位移由入射波和反射波疊加而成,此時入射波產生的位移與反射波方向相反,因此B3、B4兩點的負向位移大小減小;0.457 s后,分界面處發生二次反射透射的透射波傳播至底邊界,此時入射波、第1次的反射波和第2次的透射波產生疊加效應,出現了第2個波峰。同樣地,由于側邊界的波動輸入僅考慮了一次反射透射的過程,多次反射透射產生的散射波在側邊界被吸收,因此B3點的位移響應要小于B4點。對于整個系統而言,由于人工邊界單元的存在,多次透射與反射產生的散射波最終被邊界單元所吸收,體現了無限地基的輻射阻尼效應。

比較各點計算時程曲線與理論值,對于頂部各點而言,時程曲線規律與理論值基本吻合,滿足工程中抗震分析的要求。其中,B2點相對于B1點而言誤差更小,這是因為B1點位于側邊界,人工邊界上的位移與地震動輸入方法直接相關,只考慮一次反射透射過程產生的誤差在人工邊界上產生的影響要大于遠離人工邊界的地方。對于底部各點而言,在單周期內,數值計算的結果與理論解基本吻合。時程曲線產生較大誤差的地方為頂部的反射波穿過分界面發生再次透射時。綜合考慮頂部和底部位移響應,本文主要考慮波一次反射透射產生的誤差都沒有發生在最大響應時刻,且時程曲線的發展規律與理論值基本一致。由于工程中主要關心上部結構的最大地震動響應和動響應的時程規律,頂部響應的精度滿足工程設計的要求。

分析圖5,各計算方案下B1、B3兩點的位移時程曲線差異均較大。方案1與方案2由于都考慮了波速的影響,因此兩者得到的時程曲線頻率和相位相同,但振幅不同。對于B1點,方案1的最大位移響應要大于方案2;對于B3點,由于方案1考慮了波在分界面處的反射,因此方案1中到達底部的反射波為分界面處的反射波,方案2中為頂部的反射波,兩個方案得到的響應在方案1中的反射波到底部后出現了較大的差異。方案3的傳播規律與均質地基的傳播規律相同,也側面驗證了黏彈性人工邊界單元的適用性,但地震波到達頂部的時間比方案1和方案2都偏遲,無法真實地模擬地震波的傳播過程。振幅方面,對于頂部而言,方案1考慮了波的反射與透射,地震波向上傳播到達頂部時經歷了分界面和頂部自由面兩次放大過程,而方案2和方案3都只考慮了頂部自由面的放大過程,最大位移響應都偏小。

綜上,相比于方案1,方案2雖考慮了波速的影響即相位的影響,但振幅與理論解相差較大,不能真實地反映地震波的放大效應;方案3則表明成層地基若按均質地基處理,不僅振幅與理論解相差較大,地震波的延遲效應也不能更全面地得到考慮。因此,方案1能比方案2和方案3更好地用于成層地基的波動問題分析,滿足工程抗震分析的精度需求。

第2個算例同樣基于圖3的計算模型,考慮從底部輸入EL波N-S向時程,輸入的位移時程曲線和速度時程曲線如圖6所示,計算總時長為53.72 s,時間步長為0.04 s。參考第1個算例的結果,第2個算例只采用第1個方案進行計算,得到B2點的位移時程曲線如圖7所示。

圖6 輸入的EL波位移與速度時程曲線

圖7 頂部觀測點的x向位移計算與理論值時程曲線

分析圖7,頂部的x向位移響應與理論值變化規律相同,波峰波谷出現的時刻基本一致。位移幅值上,B2點位移的正向最大值為0.221 m,對應的理論正向最大值為0.223 m,誤差在1%以內;負向最大值為-0.216 m,理論值為-0.215 m,誤差在1%以內。綜合算例1和算例2,本文提出的考慮一次反射透射的成層地基波動輸入方法滿足工程設計的需要。

3.2 成層地基重力壩的地震動響應分析

某重力壩壩高100 m,壩頂寬度15 m,壩底寬度70 m,下游壩坡坡度1∶0.7。地基范圍沿上下游方向各取3倍的壩高,深度方向考慮3層地基的影響,每層地基各為100 m，即總深度為3倍的壩高,坐標原點設在壩底中點,選取壩頂中點D1(-22.75,100)、壩踵D2(-35,0)和壩趾D3(35,0)三點為觀測點,模型如圖8所示。假定從底部垂直輸入SV波,輸入的人工波依據規范給出的設計反應譜合成,設計地震動峰值加速度為0.1g,地震動持時為15 s,時間步長取為0.01 s,人工波時程曲線如圖9所示。

圖8 重力壩計算模型(單位：m)

圖9 輸入的地震波加速度、速度、位移時程

圖10 各計算方案D1點x向加速度時程曲線

圖11 各計算方案D2點第1主應力時程曲線

壩體混凝土動彈模為30 GPa,密度為2 400 kg/m3,泊松比為0.167;地基從下往上編號,3層地基的密度皆為2 700 kg/m3,泊松比皆為0.25,地基彈模從下層至上層依次為40 GPa、30 GPa和20 GPa。計算考慮3種地基模型(分別對應3個方案),第1種考慮地基為3層成層場地模型,波動輸入考慮地震波的反射與折射,每層地基的材料參數按實際情況取值;第2種為成層場地模型,不考慮地震波在分界面處的反射與折射,只考慮波速的影響;第3種按傳統的情況來處理,將地基簡化為均質模型,材料參數統一取為與最上層相同,地基彈模為20 GPa。計算得到各種計算方案下D1點的加速度時程曲線、D2點的第1主應力時程曲線和D3點的第3主應力時程曲線如圖10～12所示。

圖12 各計算方案D3點第3主應力時程曲線

由圖10～12可知,不同計算方案下壩體結構的動力響應有一定的差異。最大加速度和最大主應力都出現在方案1中,方案1得到的時程曲線振動范圍比方案2和方案3都要大,這是因為方案1考慮了地震波在不同介質分界面處的反射與透射,輸入的地震波振幅在傳播過程中被放大,因此結構的響應也較大,這與前一節的算例結果相吻合。整體而言,考慮了成層地基模型的方案1和方案2得到的響應比較接近,且都大于按均質地基考慮的方案3,但方案2的結果在峰值響應上仍比方案1小3%左右,考慮到結構的復雜性和工程的重要性,對于高壩的抗震設計仍應采用方案1比較合理。在相位差方面,由于地基的波速較大,各方案得到的時程曲線相位差并不明顯。

對比3種計算方案可知,按成層地基模型來進行動力分析,能更好地反映結構的地震動放大效應。而實際中,地基的分布情況更為復雜,地震波在各層之間的反射透射次數也更多,經過多次放大后,結構的動力響應也更為復雜,同時每個計算方案中,最大主應力都出現在壩踵處,所以對于重力壩而言,壩踵處的應力情況應在抗震設計中應著重關注。

4 結 論

a. 針對成層地基模型,以地震波垂直入射為例,基于波動理論推導了考慮地震波一次反射透射的等效荷載計算公式,建立的考慮成層地基的黏彈性人工邊界模型,經以兩層地基的SV波垂直入射算例驗證,本文的波動輸入方法合理可行。

b. 將考慮成層地基的黏彈性人工邊界模型應用到重力壩的動力計算中,計算結果表明,均質地基模型的處理方法低估了成層地基的地震動放大效應,無法得到結構的真實地震動響應。在層狀地基各層的材料參數相差較大時,應采用更為精確的成層地基模型考慮土-結構的相互作用,更有利于水工建筑物的抗震設計。