思維的“種芽枝樹花果”

李賓 周露

[摘 ?要] 中國學生的核心素養以培養“全面發展的人”為核心，其中表現之一是學會學習，因此對于數學學習更應該以培養學生學會思考，發展學生的思考力為目標. 文章以一節“平行四邊形”習題課為例，發現通過課本一道習題的不斷變式，起于課本、變于課本、生長于課本、發展于課本，對學生思考力的發展有很大的提升.

[關鍵詞] 中國學生;核心素養;核心競爭力;思考力

教科書編者在編寫教材時，會根據學生年齡結構的特征及學生對現有知識的儲備，將知識點按照由淺入深、由易到難、由簡單到復雜的螺旋上升的形式呈現. 因此，抓住教材中的典型習題，深入思考、適度變式探究，對調動學生的學習積極性、培養學生的思維品質、提高學生的數學素養具有重要的作用，同時教師的專業素養也能得到發展.

以一節“平行四邊形”的習題課為例，對于一節幾何習題課的教學，作為教師不能就題解題，應該關注所選的題型要鞏固所學知識，更應該關注學生思維的生長. 筆者在本節教學中發現題型的不斷演變對學生思考力的培養和提升有很大的作用.

播下思維的“種”——原型題

“思維的種子”指數學中的基本知識點、基本模型、基本問題，或是指一個問題的基本細節、部分或步驟等;換言之，“種子”指基本知識點或問題起始點，它是問題的根.

已知：AB=DC，AD=BC.

求證：△ABC≌△CDA.

本題是課本的一道基礎題，是學生思維的起點，是對全等三角形判定的考察，絕大部分的學生對這個證明是沒有問題的，設置本題的目的一方面是要調動學生的積極性與自信心，另一方面是提出基本問題為后面的探究做鋪墊，從效果上來看還是非常好的，每一位學生都能積極參與進來.

發出思維的“芽”——變結論

“思維的芽”指在數學基本問題的基礎上進行演變發展，問題有層次，但跳躍性不大，學生能夠夠得著，容易想到，學生的思維正以小坡度慢慢生長.

已知：AB=DC，AD=BC.

求證：AB∥DC，AD∥BC.

本題在前一題的基礎上變了結論，條件沒有變;結論在原有的基礎上再遞進了一步，培養學生在解決幾何問題時不僅僅證出結論即可，而是要讓學生養成一種思考的習慣，“在這個結論的基礎上我還能夠得到哪些新的結論？”“如果將條件再變一個還會有哪些新的結論？”長期通過這種生長性學習，學生很容易想到由“全等”得到“角等”，進而得出“線平行”. 通過習題的改編發展學生的思考力，問題的層層推進，同時又保持適當的距離，學生既不能輕易得手，又不覺得無計可施，使探究更具操作性. 數學的學習應該是以思維活動為核心的學習，在數學教學過程中，教師的重要任務就是培養和激發學生的探究欲望，尋求問題的發展和解決的過程.

抽出思維的“枝”——變圖（課本P24，練習2）

“思維的枝”是指問題各部分或相關聯問題之間的功能、作用及其相互關系等，它是一種聯系，一種內在思維的脈絡.

已知：AB=DC，AD=BC.

求證：AB∥DC，AD∥BC.

本題是在上一題的基礎上進行了“變圖”生長至課本P24的練習2，目的在于培養學生的構圖能力. 從目標結論出發，要證“線平行”就要找“角相等”，從而想到全等，再來構造出兩個三角形. 有了前面兩題的鋪墊，學生很容易想到作輔助線“連接AC”（或者“連接BD”），將本問題轉化成上一個問題來解決. 本題通過變圖發展學生的歸納思維能力，幫助學生的視角由整體走向局部，能夠對圖形進行分析和思考，提升學生的思維水平.

長出思維的“樹”——逆命題考察（補充習題P08，題1）

“思維的樹”指通過由淺入深、由易到難、由簡單到復雜、由正向到逆向不斷地以螺旋上升的方式呈現出來的完整的思維結構;問題的縱向設計與拓展，橫向關聯與變式，可以將簡單問題延伸拓展作為復雜問題的基礎，也可將復雜問題進行分解或轉化為基本的、一些部分或步驟來分析與解決，進而形成思維的正向與逆向雙向關聯.

已知：AB∥DC，AD∥BC.

求證：AB=DC，AD=BC.

條件與結論互換，建立原命題的逆命題，是幾何教學中最為常見的一種變式方法. 本題是上一個命題的逆命題，在前三個問題的基礎上，學生容易想到做輔助線“連接AC”將圖形分割成兩個三角形，由“線平行”得到“角相等”，從而證明出三角形全等，得到“對應邊相等”;此外，還會有部分學生是從目標結論出發，分析推理問題，在上一個問題的基礎上學生逆向思考，要證“線相等”，只要證“三角形全等”，從而找“角等”，最后回到已知條件“線平行”上. 本題通過逆命題培養學生的逆向思維能力，不僅對提高解題能力有幫助，而且可以改善學生的思維方式，激發學生的創新精神，培養良好的思維品性，促進學生思維完整.

開出思維的“花”（課本P18，例4）

“思維的花果”指以教材習題為依托，將其往縱向挖掘，往橫向延展，對相關內容進行整合、變形、變式、引申、拓展，把思維提升至學生的最近發展區，活化思維.

已知：△ABC，D是BC的中點，DE∥AC，DF∥AB.

求證：BE=DF，DE=CF.

本題看似與前幾題圖形有較大的不同，但通過前面幾題畫圖、描圖、作標記、析圖的過程，學生的頭腦里已經初步建立了模型，能夠從較復雜的圖形中剝離出基本圖形. 由上一題生長至課本18頁的例題，鞏固學生的思維成果. 從課堂效果來看，通過前面幾題的鋪墊和變式，絕大部分學生都能夠掌握了. 從基本圖形出發逐漸改變圖形，讓學生清晰地了解圖形的基本要素之間的關系，然后逐漸拓展延伸基本圖形，使學生的思維更具有靈活性.

結出思維的“果”

前一題的結論證明出來后，在這個基礎上讓學生繼續思考還能得出哪些結論. 以下面的變式1為例，引導學生的思維到達“三角形中位線”的最近發展區.

變式1：求證：E，F分別是AB，AC的中點.

在前一題的基礎上學生已經得出BE=DF，DE=CF，要證E，F分別是AB，AC的中點，只要證AE=DF，DE=AF即可，這時就會發現只要將圖①、圖②遮住，這個問題其實就是第三題的原題. 通過大半節課的學習，原圖的思維種子已經在學生的頭腦里生根、發芽、成枝了，再通過讀題、描圖、作標記，學生很快就會發現這個圖中隱藏的平行四邊形，問題就迎刃而解了. 接下來的探究問題不再是給定的了，而是放手讓學生自主去挖掘探究，讓不同的學生都能以探究者的姿態出現，去體驗創造成功的感受，定能讓學生的思維得到錘煉，創造性思維得到發展. 從課堂效果來看，學生的思維已經達到高潮，非常的活躍.

“連接EF”后這個圖形被分成了四個小三角形，由前面的證明已經知道①和②是全等的，③和④是全等的，大部分學生立即猜想這四個小三角形是否都全等？學生通過演繹推理能夠輕松地證明四個三角形全等，視角已經能夠由局部走向整體. 在這樣的探究勁頭下，有學生發現EF∥BC，這時教師適當加以追問“EF在位置上是平行于BC，在數量上是什么關系呢？其他兩條線段DE，DF也有同樣的發現嗎？”雖然沒有給出定義，但這時學生的思維層次已經達到了解三角形中位線的水平了. 此外，還有四個小三角形的周長、面積與大三角形的周長和面積之間的關系，學生都能夠發現并說理出來. 雖然下課鈴已經響起來了，但學生探究的熱情并沒有結束，一節好課的最高境界不是“我會了”，而是“我還想學”.

整節課教學思路清晰，由課本的一道原題，通過“低起點、小坡度、有高度”不斷變式、拓展將學生的思維提升至三角形中位線的水平，甚至“生長”到九下相似三角形的性質的位置;幾個變式圖成系統，有主線，每一個題目的過渡自然流暢，符合學生的認知規律和思維水平;內容上豐富多樣，涵蓋課本、補充習題上的所有同類型的題目. 在整節課中通過描圖、作標記、析圖的過程培養學生抽象建模的能力，通過“一題多變”促進學生的數學思維能力、演繹推理能力和口頭表達能力的提高. 在教學中應關注學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，關注思維的方向性、層次性、靈活性、品質性，才能優化學生主動建構知識的過程，提升思考力，激發智慧.

《義務教育數學課程標準》指出：數學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性，體會對于某些數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解.

思考力的提升是一個積累的過程，要想學好數學，要想成為一個獨立思考的人，思維訓練必不可少，尤其對于幾何這部分的教學，更需要借助對題型的不斷演變，發展學生的思維. 題型的演變必須以“低起點、小坡度、上高度”為主線，讓不同水平的學生都能得到一定的發展. 因此教師在數學教學過程中要把發展學生思考力作為重要的目標，借助典型的問題，引導學生運用已有的知識經驗，將不熟悉的問題與熟悉的問題進行類比;在教學設計時善于將教學內容“生長”下去，促進學生新、舊經驗的相互作用豐富或調整原有的認知結構，順利進行知識建構. 使學生能不僅更系統的、完整的掌握數學知識，更為數學思維的發展打下堅實的基礎.