數學抽象：從傳統到現代的探究

葉翠桃

[摘 ?要] 面向初中數學學科的核心素養培育，要從數學學科核心素養組成要素的角度去進行細致的分析，當前數學科學學科核心素養中的要素之一是數學抽象. 在經典理解下，數學抽象強調學科特征，也就是說數學抽象的出發點是數學研究對象，而落腳點則是數學概念等. 在數學抽象的過程中，強調舍棄事物的非數學屬性，只留下數學屬性. 在核心素養視角下，數學抽象可以從心理學角度認識，即數學抽象的過程分為“認識——內化——應用”等三個階段. 未來的初中數學教學本著核心素養培育的需要，也應當積極借鑒腦科學的研究成果，并將其與數學教學經驗結合在一起，這可能是數學學科核心素養落地的一個重要思路.

[關鍵詞] 初中數學;數學抽象;經典理解;核心素養

當前初中數學教學研究的熱點之一，毫無疑問是核心素養. 面向初中數學學科的核心素養培育，要從數學學科核心素養組成要素的角度去進行細致的分析，當前數學科學學科核心素養中的要素之一是數學抽象. 數學抽象這個概念其實教師并不陌生，就算是從教很多年的數學教師也都知道數學抽象這個概念，因此數學抽象實際上是一個非常傳統的概念，將數學抽象納入數學學科核心素養的范疇，說明數學抽象確實是數學學科的重要元素. 那么在核心素養背景之下，培養學生的數學抽象能力，最好就要能夠對數學抽象有一個系統的了解. 于是筆者提出了從傳統到現代的角度去探究數學抽象的思路，并且進行了實踐.

關注數學抽象經典理解

首先應當認識到的是，數學抽象是抽象的下位概念，而所謂的抽象，就是指在對事物進行研究的過程中，舍棄若干具體事物中個別的、非本質的屬性，抽出它們共同的本質屬性. 相對于抽象而言，數學抽象強調學科特征，也就是說數學抽象的出發點是數學研究對象，而落腳點則是數學概念等. 在數學抽象的過程中，強調舍棄事物的非數學屬性，只留下數學屬性. 當然這樣的定義只是用于教師，既可以促進教師對數學抽象有一個準確的理解，對于學生而言，教師要努力的方向是，通過有效的教學設計，讓學生體驗數學抽象的過程，只要學生能夠體驗一個有效的數學抽象過程，那么他們的數學抽象能力就能得到有效的培養.

以上是從宏觀的角度，對數學抽象的經典理解做出的闡述，在傳統與經典的視野中，如果進一步細化，那么數學抽象還有這樣一些含義：

其一，數學抽象的過程往往是舍棄事物和現象的質的過程，而保留事物和現象量的屬性. 這是一個很重要的理解，尤其是對“量”的理解，決定了數學抽象的質量，而且特別需要注意的是，這里所說的“量”，不絕對是指數量. 我們知道，數學是研究數與形的學科，數固然屬于量的范疇，而抽象之后的數學意義角度的形，本質上也屬于量的范疇. 比如初中數學中常常遇到的三角形、圓形等，它們雖然是圖形，但是卻只是一種沒有現實屬性而只有數學屬性的空間形式，這種形式也屬于量的范疇，是數學抽象的結果.

其二，數學抽象雖然是抽象的下位概念，但是數學抽象的程度卻高于一般的抽象. 其實在人們的生活當中，抽象也一直是發生的，但是這種抽象往往只是低水平的抽象，數學抽象強調將非數學的特征剝離干凈，只留下純粹數學的那部分. 比如初中數學中的數軸，看起來是一個形象的圖形，但是實際上在用它來表示數的時候，可以發現其中任何一個元素都不是多余的，而且少一個也是不行的. 這種簡化到了極致的表示數的方法，很大程度上就是數學抽象的結果. 因此從這個角度來看，數學抽象既有可能是從形象事物走向抽象事物的過程，也有可能是人基于數學研究的需要，直接用抽象的方法建立起來的數學對象的過程.

其三，數學抽象需要具體的方法的支撐. 要想剝離事物或者對象的非數學元素，沒有方法的支撐是不可能的. 早在20世紀90年代就有研究者指出，數學抽象本質上是一種建構活動，這種建構活動是需要運用到基本的數學思想方法的，但同時又是超越這些方法的. 在設計學生數學抽象體驗活動的時候，要高度關注學生的建構活動.

綜合上面三點，筆者的觀點是，在初中數學教學已經走向核心素養的時候，將數學抽象的經典理解進行一個簡單的梳理，是為了讓教師能夠在對數學抽象的理解中站穩腳跟，同時將研究的視野轉向核心素養之后，能夠更好地知道數學抽象的來龍去脈.

核心素養下的數學抽象

然后將目光轉移到核心素養及其培育的背景之下，看看初中數學教學中的數學抽象應當如何理解. 可以肯定地講，數學抽象是數學學科素養中最重要的素養. 數學抽象的心理學過程分為“認識——內化——應用”等三個階段. 教師在教學過程中可以與之對應地從概念、總結、類比能力以及數學應用能力等途徑實現培養目標. 這樣的判斷，可以讓一線教師比較清晰地界定核心素養下的數學抽象概念.

這里以“軸對稱”這一知識的分析來說明. 軸對稱是初中數學中比較典型的“形”，在學生的生活當中，有著很多軸對稱的事物，對于初中學生而言，讓他們去加工這些案例，然后進行抽象，就可以得到數學意義上的軸對稱概念. 那么在教學設計的時候，就要注重這樣幾個環節：

一是認識. 認識的過程主要是加工形象事物的過程，在教軸對稱這一知識的時候，首先要給學生提供豐富的軸對稱事物，如人的外表、中國的傳統建筑、臉譜、風箏、剪紙、窗花等;然后還要給足學生時間，讓他們自己去尋找軸對稱. 在這樣一個過程中，教師不必強調軸對稱這一概念，只需要用案例引導學生，以幫助他們建立感性認識.

二是內化. 內化的過程是數學抽象過程的核心，先研究上面所舉的例子中事物的共同特征——對折后能夠重合，然后建立起“軸對稱圖形”的概念，進而建立“對稱軸”這一概念. 其后，將這些研究對象中的非數學屬性去除，比如去除具體的顏色、形狀等，通過分析與歸納的方法，得出軸對稱就是“一個圖形沿著某一條直線折疊之后，能夠與另一個圖形重合”，到了這個時候，學生大腦當中就不應當是具體的事物，而應當是抽象后的圖形. 此時還有一個重要的環節，就是讓學生對自己所舉的例子進行抽象，然后在大腦中去構建出軸對稱的情形.

三是應用. 經過了上述努力，學生已經通過數學抽象建立起了軸對稱的認識，這個認識是需要鞏固的，鞏固軸對稱概念的過程，也就是深化數學抽象的過程. 對于軸對稱概念而言，最有效的應用就是讓學生去畫出軸對稱圖形，教學設計中可以遵循循序漸進的原則，先讓學生去畫一個點的軸對稱點，然后再畫一條線的軸對稱線，最后再給出三角形或者四邊形，等等. 從教學方式的角度來看，還可以采用小組合作的方式，讓小組之內的學生互相出題——這是一個非常有效的教學方式，因為無論是對于出題的學生而言，還是對于答題的學生而言，都需要在大腦當中去尋找一個自己能夠解決，同時又對同學具有一定挑戰性的圖形，這實際上呼應著數學抽象經典理解中的“建構”. 而且這個建構過程是在學生獨立于教師之后，完全通過自身的自主思考完成的，因而這是一個抽象特征非常明顯的過程，對于培養學生的數學抽象能力來說非常有效.

通過這個例子可以看出，核心素養視角下的數據抽象，既具有傳統的數學抽象特征，同時又有著明確的素養特征，這是因為數學抽象往往總是與數學學科核心素養其他要素結合在一起的，這相對于數學抽象的經典理解而言是一種拓展與提升.

面向未來的數學抽象教學

值得一提的是，雖然《義務教育數學課程標準（2011版）》對初中生的核心素養沒有明確界定，目前的研究文獻也多數是針對高中生核心素養的研究，但作為義務教育的重要學段，本著增強學生核心數學能力，以及初高中銜接為高中輸送更多合格的具有成長性的人才的目的，研究核心素養又是非常必要的. 而且可以肯定的是，即將頒布的初中數學學科核心素養中，必然會存在數學抽象這一要素. 因此此時借鑒其他學段的數學學科核心素養的理解，尤其是從傳統的角度以及現代的角度，對數學學科核心素養中的數學抽象進行細致的研究，可以幫助初中數學教師有效地叩響核心素養的大門. 回到數學抽象本身，梳理它的經典理解與現代理解，筆者還發現有人從腦科學的角度對抽象進行了研究，得出的結論是抽象活動的基本步驟為分離屬性與建構模型——概括與一般化——定義與符號化——系統化. 筆者就想，未來的初中數學教學本著核心素養培育的需要，也應當積極借鑒腦科學的研究成果，并將其與數學教學經驗結合在一起，這可能是數學學科核心素養落地的一個重要思路. 綜上所述，數學學科核心素養的培育，對于初中數學教學來說，既在未來，也在眼前. 以數學學科中最為典型的數學抽象這一特征作為切入口，可以奠定學生數學抽象能力培養的基礎，也可以奠定核心素養培育的基礎.