關注幾何函數，拓展問題模型

陳麗琴

[摘 ?要] 函數與幾何壓軸題是中考數學的重點題型，一般以壓軸題的形式出現，該類問題的突破需要融合眾多基礎知識，采用適當的方法策略.文章對一道中考函數壓軸題開展思路突破，拓展解題模型，并提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 函數;面積;幾何;模型;思想方法

真題呈現

（2019年江蘇省徐州市中考數學卷第28題）如圖1所示，在平面直角坐標中，O為原點，點A和B分別在x軸、y軸的正半軸上，△AOB的兩條外角平分線交于點P，P在反比例函數y= 的圖像上.PA的延長線交x軸于點C，PB的延長線交y軸于點D，連接CD，回答下列問題：

（1）求∠P的度數及點P的坐標;

（2）求△OCD的面積;

（3）△AOB的面積是否存在最大值？若存在，請求出最大面積;若不存在，請說明理由.

思路突破

上述屬于與幾何相關的函數綜合題，其中涉及反比例函數、角平分線、三角形性質和幾何面積等知識，下面對其突破思路進行探索.

第一步：幾何性質利用，突破點P特性

該問求角的度數和曲線上點的坐標，屬于較為基礎的問題. ∠P是由三角形的兩個外角的角平分線相交形成的，因此只需要利用角平分線的性質及三角形外角和知識即可.

過點P作y軸的垂線，垂足為點E，再過點P作x軸的垂線，垂足為點F，過點P作AB上的垂線，垂足為點M，如圖2. 根據角平分線的性質可知，∠PAM= ∠EAM，∠PBM= ∠FBM，則∠PAM+∠PBM= （∠EAM+∠FBM），由三角形的外角和可知∠EAM+∠FBM+∠AOC=360°，其中∠AOC=90°，則∠EAM+∠FBM=270°，∠PAM+∠PBM=135°，所以∠P=180°-135°=45°.

求點P的坐標，由于點P位于函數曲線上，因此只需要求得橫坐標或縱坐標其中的一個即可.根據角平分線的性質可得PE=PM=PF，因此可將點P的坐標設為（m，m），代入反比例函數解析式可得m2=9，由于點P位于第一象限，則m>0，解得m=3，所以點P（3，3）.

第二步：勾股相似合用，突破三角面積

該問求△OCD的面積，由于該三角形是由PA和PB的延長線以及坐標軸相交形成的，故△OCD為直角三角形，由面積公式可知只需要求得線段OC和OD的長即可.設點A（0，a），B（b，0），由△PEA≌△PMA，△PMB≌△PFB可得AM=AE，BM=BF，于是AB=AM+BM=AE+BF=6-a-b，在Rt△ABO中，由勾股定理可得AB2=OA2+OB2，代入后可解得b= .

分析可證△PEA∽△COA，△PBF∽△DBO，由相似三角形性質可得 = ， = ，代入化簡可得OC= ，OD= ，所以S△OCD= OC·OD= · · =9.

第三步：不等式性質借用，突破面積最值

該問分析△AOB是否存在最大面積，屬于面積存在性問題，由OA+OB+AB=a+b+6-a-b=6可知a+b+ =6，所以2 + ≤6，解得 ≤3（2- ），所以ab≤54-36 ，所以S△AOB= ab≤27-18 ，最大面積為27-18 .

評析 本題目屬于函數與幾何相結合的綜合題，求解時利用到了反比例函數知識、矩形和正方形的性質、全等三角形判定及性質、相似三角形的判定及性質、勾股定理等知識，幾何與函數內容結合緊密，主要考查學生的知識應用和邏輯推理能力.問題的核心是第（2）和第（3）問的幾何面積分析，相對而言面積模型的構建過程較為簡單，難度主要集中在代換運算上，解析時巧妙利用幾何性質實現了參數的代換和簡化.

模型拓展

上述考題的后兩問屬于以函數曲線為背景的幾何面積問題，其特殊之處在于所涉三角形依托兩個坐標軸而構建，且為直角三角形，因此在構建面積模型時可以結合坐標上的點，利用面積公式直接獲得. 實際上，求函數中的幾何面積屬于一類較為典型的問題，根據函數曲線不同、三角形的形狀以及所知點坐標不同，其模型的構建過程也大不相同，下面對函數曲線背景下的三角形面積模型的構建方式進行拓展探究.

1. 巧用函數性質，直接構建模型

該方式指的是利用函數的幾何性質，建立三角形的面積模型，適用于反比例函數背景下的幾何面積問題. 如圖3所示，設反比例函數的解析式為y= ，根據其性質特征可知常數k可表示為兩個變量y和x的乘積，即k=xy，實際上對于該式存在一定的幾何意義. 過曲線上任意一點P，分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點M和N，如圖3，連接OP，則k表示的就是矩形PMON的面積，即S矩形PMON=PM·PN=y ·x =k，而S△OPM=S△OPN= k.因此對于三角形的兩個頂點分別為原點和反比例函數曲線上的點，以及一條邊與坐標軸相重合的三角形，其面積可以表示為 k.

例1：點M為x軸正半軸上的任意一點，過點M作與y軸相平行的直線，與函數y= （x>0）和y= （x>0）的圖像分別相交于點P和Q，如圖4所示，連接OP和OQ，試求△OPQ的面積.

解析 x軸將△OPQ分割成兩部分，所以其面積可以表示為S△OPQ=S△OPM+S△OQM，而結合反比例函數的幾何性質可得S△OPM= k1，S△OQM= k2，即S△OPQ= （k1+k2）.

2. 巧作面積割補，構建“鉛垂高—水平寬”模型

在函數背景中經常出現求一般三角形的面積問題，此時就無法直接利用面積公式來直接構建求解模型，實際上我們可以通過面積割補的方式借用“鉛垂高—水平寬”模型，如圖5所示，分別過△ABC的三個頂點作三條與水平方向垂直的垂線，則外側兩條垂線之間的距離稱之為“水平寬”，記為a;而穿過三角形內部的直線長度稱之為“鉛垂高”，記為h，則S△ABC= ah.

證明過程如下 穿過三角形的垂線將△ABC分割為△ADB和△ADC兩部分，則△ADB和△ADC可以視為是有共同底AD和不同頂點的三角形，即同底三角形. 設AD分別到點B和點C的距離為h1和h2，則S△ABC= S△ADB+S△ADC= a（h1+h2）= ah. 而在函數背景下使用該模型時就可以結合點的坐標來表示a和h，即a=xC-xB，h=yA-yD，則S△ABC= ·xC-xB·yA-yD，因此解析時只需要分析直角坐標系中關鍵點的坐標即可.

例2：如圖6所示，在平面直角坐標系中，已知點A（-1，-1），B（3，-3），若拋物線經過A，B，O三點，連接OA，OB，AB，線段AB交y軸于點C，試回答下列問題：

（1）求拋物線的解析式.

（2）若點P是線段OB上的一個動點，直線PC與拋物線相交于點D和E，其中點D位于y軸的右側，連接OD和BD.

①分析△OPC為等腰三角形時點P的坐標;

②試求△BOD面積的最大值以及此時點D的坐標.

解析 這里只分析第（2）問的第②小問，可求得拋物線的解析式y=- x2+ x，過點D作y軸的平行線，與OB相交于點Q，過點B作x軸的垂線，垂足為點H，則△BOD的“鉛垂高”為DQ，“水平寬”為OH，所以S△BOD= DQ·OH. 設Q（x，-x），則Dx，- x2+ x，QD= - x2+ x，OH=3，所以S△BOD= ×- x2+ x×3=- x- 2+ ，分析可知x= ，S△BOD取得最大值 ，此時點D的坐標為 ，- .

教學思考

1. 聚焦問題重點，強化基礎知識

上述屬于中考常見的函數與幾何圖形相結合的考題，從問題突破的過程來看，充分把握問題重點，靈活使用性質定理是關鍵. 例如上述第（3）問分析面積最大值時，把握了構建面積模型、轉化線段參數的解析重點，充分利用三角形的面積公式和基本不等式的性質等知識來加以突破. 因此在開展考題教學時，需要教師首先引導學生對問題結構進行拆解，挖掘問題實質，然后結合所涉內容來思考問題突破所需的定理定義、公式方法等，并進行系統的整理，幫助學生完成知識的強化.

2. 關注思路構建，拓展解題思維

函數背景中的幾何面積問題是初中數學的代表性問題，因融合了幾何與函數相關知識，具有極高的綜合性，因此在問題突破時特別需要關注思路的構建過程，包括構建模型，轉化策略，解析方法等. 例如上述在分析幾何面積時由面積公式出發，將問題轉化為代數問題，利用基本不等式的性質來分析最值. 另外在教學時還需要教師引導學生探究類型問題的突破策略，總結模型構建的方法，逐步提升學生的解題思維.

3. 滲透思想方法，提升綜合素養

考題突破的過程中需要使用對應的思想方法來指導問題轉化. 例如上述在分析面積問題時涉及了模型思想、化歸轉化思想和數形結合思想，這也是函數與幾何綜合題常用到的數學思想. 因此教學時需要教師適度滲透數學思想，合理引導思考，讓學生經歷思想方法指導解題的過程，在解題中逐步感知數學思想. 考題教學的最終目標是提升學生的綜合素養，而滲透了數學思想的問題探究能夠全方面地提高學生的素質，值得倡導.